Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-2t+9=(t-1{)}^2+8$. Trên đoạn $[0;10]$, hàm $v(t)$ là parabol có bề lõm hướng lên nên giá trị lớn nhất đạt tại một đầu mút. Ta có $v(0)=9$, $v(10)=100-20+9=89$. Vậy vận tốc lớn nhất trong 10 giây đầu là $89$ m/s (đạt tại $t=10$).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x^2-1$ trên $[-2;1]$. Có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, nên $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ (thuộc đoạn) và $x=2$ (không thuộc đoạn). Trên $[-2;0]$: $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến); trên $[0;1]$: $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến). Tính giá trị tại các điểm then chốt: $y(-2)=-8-12-1=-21$; $y(0)=-1$; $y(1)=1-3-1=-3$. Vậy giá trị lớn nhất là $y(0)=-1$, đạt tại $x=0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 18, trên đoạn $[-1;2]$ ta có: $f(-1)=2$, $f(0)=-1$ (điểm thấp nhất cục bộ), $f(1)=3$ (đỉnh cao nhất), $f(2)=-2$. So sánh các giá trị này, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;2]$ là $f(1)=3$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(-1)=0$, $f(0)=5$ (cực đại), $f(2)=1$ (cực tiểu), $f(3)=4$. Trên đoạn $[-1;3]$, giá trị lớn nhất $M=5$ tại $x=0$, giá trị nhỏ nhất $m=0$ tại $x=-1$. Vậy $M-m=5-0=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của Câu 12: $f(-1)=1$, $f(0)=2$ (điểm cực đại), $f(2)=-2$ (điểm cực tiểu), $f(3)=3$. Xét trên đoạn $[-1;2]$, ta so sánh các giá trị: $f(-1)=1$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$. Giá trị lớn nhất là $\max \{1;2;-2\}=2$, đạt tại $x=0$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(-1)=3$, $f(0)=0$, $f(1)=2$, $f(2)=1$. Trên đoạn $[-1;2]$, hàm số nghịch biến từ $3$ xuống $0$ trên $[-1;0]$, đồng biến từ $0$ lên $2$ trên $[0;1]$, rồi nghịch biến từ $2$ xuống $1$ trên $[1;2]$. Do đó $M=\max \{3;0;2;1\}=3$ và $m=\min \{3;0;2;1\}=0$. Vậy $M+m=3+0=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ xác định và liên tục trên $[2;4]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x)(x-1)-(x^2+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. Trên $[2;4]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=3$ (nghiệm $x=-1$ không thuộc đoạn). Tính giá trị: $y(2)=\frac{4+3}{1}=7$; $y(3)=\frac{9+3}{2}=6$; $y(4)=\frac{16+3}{3}=\frac{19}{3}$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $m=6$, đạt tại $x=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ xác định trên $[2;4]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x)(x-1)-(x^2+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. Trên $[2;4]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=3$; $y^{\prime }<0$ trên $(2;3)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(3;4)$, nên hàm số đạt cực tiểu (và là GTNN trên đoạn) tại $x=3$. Tính: $y(2)=\frac{7}{1}=7$, $y(3)=\frac{12}{2}=6$, $y(4)=\frac{19}{3}\approx 6,33$. Vậy $\underset{[2;4]}{\min }y=6$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\in [0;2]$. Tính $f(0)=0$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}=-\frac{9}{4}$, $f(2)=4-6=-2$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $-\frac{9}{4}$ tại $x=\frac{3}{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm cực tiểu $x=1$ với $f(1)=-2$ (điểm thấp nhất của đồ thị, thấp hơn $f(-2)$). Giá trị lớn nhất là $f(-1)=2$. Vậy $\underset{[-2;2]}{\min }f(x)=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên, trên đoạn $[0;2]$ hàm số đồng biến từ $x=0$ đến $x=1$ đạt $f(1)=3$, sau đó nghịch biến từ $x=1$ đến $x=2$ với $f(2)=0$. Do đó giá trị lớn nhất của $y=f(x)$ trên $[0;2]$ là $f(1)=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=x-\ln x$ xác định trên $\left[\frac{1}{2};e\right]$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{x}$, nên $y^{\prime }=0\iff x=1$. Trên $\left[\frac{1}{2};1\right]$ thì $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến), trên $[1;e]$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến), nên $m=y(1)=1-\ln 1=1$. So sánh giá trị tại hai đầu: $y\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\ln 2\approx 1,193$ và $y(e)=e-1\approx 1,718$, nên $M=e-1$. Vậy $M-m=(e-1)-1=e-2$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sqrt{4-x^2}$ có tập xác định $[-2;2]$. Ta có $0\le 4-x^2\le 4$ nên $0\le y\le 2$. GTLN bằng 2 đạt được khi $4-x^2=4$, tức $x=0$; GTNN bằng 0 đạt được khi $x=\pm 2$. Vậy A, B, D đúng; khẳng định C sai vì hàm đạt GTLN tại $x=0$ chứ không phải tại $x=2$ (tại $x=2$ hàm đạt GTNN).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên đoạn $[-1;5]$, giá trị lớn nhất của $f(x)$ bằng $3$ (tại $x=4$) nên A sai. Trên đoạn $[-1;3]$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và đạt cực đại gần $x=0$ với giá trị lớn hơn $1$ (không bằng $3$), nên C và D đều sai. Trên đoạn $[3;5]$: $f(3)=0$, hàm tăng đến $f(4)=3$ rồi giảm xuống $f(5)=-2$, nên giá trị nhỏ nhất trên $[3;5]$ là $-2$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2}{x+1}$ xác định trên $[0;2]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. Trên $[0;2]$, $y^{\prime }\ge 0$ (chỉ bằng 0 tại $x=0$), nên hàm số đồng biến trên đoạn này. Do đó GTLN đạt tại $x=2$: $y(2)=\frac{4}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên đoạn $[-1;5]$: $f(-1)=3$, $f(0)=4$, $f(2)=0$, và khi $x\to 5^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên hàm số không tồn tại GTLN trên đoạn $[-1;5]$ (loại C vì không đạt GTLN tại $x=5$). Xét GTNN: hàm đồng biến trên $(-1;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$, đồng biến trên $(2;5)$, nên GTNN trên đoạn là $\min \{f(-1),f(0),f(2)\}=\min \{3,4,0\}=0$, đạt tại $x=2$. Do đó B sai (vì $f(-1)=3>0$), D sai (vì $f(0)=4$). Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\frac{x-2}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}$ trên $(-1;+\infty )$, ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Khi $x\to (+\infty {)}^{+}$ thì $f(x)\to 1$ nhưng $f(x)<1$ với mọi $x>-1$, do đó giá trị 1 không bao giờ đạt được. Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất trên $(-1;+\infty )$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đoạn của hàm số: Trên đoạn $[-2;0]$, $y=-x^2+3$ là parabol có đỉnh tại $x=0$, hàm đồng biến trên $[-2;0]$ nên giá trị lớn nhất trên đoạn này bằng $y(0)=3$ (tại $x=-2$ thì $y=-1$). Trên khoảng $(0;3]$, $y=3-x$ nghịch biến nên $y<3$, giá trị lớn nhất trên đoạn này là $y(3)=0$. Trên khoảng $(3;7]$, $y=x-3$ đồng biến nên đạt giá trị lớn nhất tại $x=7$: $y(7)=7-3=4$. So sánh các giá trị: $\max y=\max \{3;0;4\}=4$ tại $x=7$, điều này cũng khớp với đồ thị đã cho (điểm cao nhất là điểm $(7;4)$). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $4$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên $[-1;3]$: $f(-1)=0$, hàm tăng đến $f(0)=5$, giảm đến $f(2)=1$, rồi tăng đến $f(3)=4$. So sánh các giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút: $\max \{0;5;1;4\}=5=f(0)$. Vậy $\underset{[-1;3]}{\max }f(x)=f(0)$, đáp án A.