Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên đoạn $[-\sqrt{3};\sqrt{5}]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x$. Tích giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-2;2]$ bằng

Một xưởng sản xuất $A$ kí hợp đồng cung cấp cho siêu thị $B$ mỗi tháng là $x$ thùng dầu ăn. Biết siêu thị $B$ tiêu thụ tối đa $130$ thùng/tháng. Đơn giá trong hợp đồng được xác định bởi giá trị biểu thức $P(x)=6-0,000075x^2$ (triệu đồng/thùng). Để cung ứng $x$ thùng dầu ăn cho bên $B$, người ta ước tính chi phí tương ứng xưởng $A$ cần bỏ ra mỗi tháng là $C(x)=10+3,55x-0,00025x^2$ (triệu đồng).

Bạn An dùng đoạn dây kim loại dài $2\text{ m}$ để tạo thành hình $PQRST$ (như hình vẽ dưới đây), trong đó $PQST$ là một hình chữ nhật và $QRS$ là một nửa đường tròn. Gọi diện tích phần hình phẳng được bao bởi hình $PQRST$ là $A{\text{ (m}}^2\text{)}$. Biết $TP=SQ=x\text{ (m)}$ và $PQ=y\text{ (m)}$. Để diện tích $A$ lớn nhất thì giá trị của $x$ bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Tại trường THPT Phan Đình Phùng, để giảm nhiệt độ trong các phòng học từ nhiệt độ ban đầu là $28^{\circ }\text{C}$, một hệ thống điều hòa làm mát được vận hành trong $10$ phút. Gọi $T$ (đơn vị ${}^{\circ }\text{C}$) là nhiệt độ của phòng sau $t$ phút kể từ thời điểm bật máy được cho bởi công thức $T=-0,008t^3-0,16t+28$ với $t\in [0;10]$. Nhiệt độ thấp nhất của phòng trong $10$ phút đầu là bao nhiêu độ C?

Bác Toàn muốn làm một bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $2{\text{ m}}^3$, sao cho tỉ lệ giữa chiều dài đáy bể và chiều cao bể bằng $1,6$. Bác cũng quyết định làm thêm một vách kính (cùng loại kính dùng cho mặt xung quanh) chắn ngang bể để khi thả cá có thể nuôi cách ly một số loại (xem hình minh hoạ).

Tham khảo thị trường, bác được biết giá loại kính để làm mặt xung quanh bể là $170000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, giá loại kính để làm đáy bể là $260000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, bỏ qua các mép dán và mối nối. Nếu chi phí mua kính làm bể là nhỏ nhất thì tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng của đáy bể bằng $\frac{m}{n}$. Tỉ số $\frac{m}{n}$ bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)=x+\frac{4}{x}$ trên đoạn $[1;3]$.

Cho bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $[0;9]$.

Một chiếc tàu chở hàng cần đi ngược dòng trên một quãng sông dài $90\text{ km}$. Vận tốc dòng nước là $3\text{ km/h}$. Gọi $v\text{ (km/h)}$ là vận tốc của tàu so với nước yên lặng ($v>3$). Chi phí vận hành của tàu gồm hai phần:
- Chi phí nhiên liệu: $0,5v^3$ (nghìn đồng/giờ).
- Chi phí cố định (nhân công, thuê tàu): $54$ (nghìn đồng/giờ).
Gọi $C(v)$ (nghìn đồng) là tổng chi phí của cả chuyến đi. Hãy tính tổng chi phí nhỏ nhất của chuyến đi?

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng sau $t$ giờ kể từ khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được tính theo công thức $c(t)=\frac{3t}{t^2+4}\text{ (mg/L)}$. Sau khi tiêm thuốc bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Giả sử số lượng cá thể của một quần thể tảo trong bể nuôi được mô hình hoá bằng hàm số $P(t)=\frac{a}{b+e^{-0,6t}}$ (nghìn cá thể), trong đó thời gian $t$ được tính bằng ngày. Hàm số $P^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ gia tăng của quần thể tại thời điểm $t$. Biết rằng $P(0)=40$ và $P^{\prime }(0)=12$. Theo mô hình này, khi thời gian nuôi càng kéo dài ($t$ rất lớn) thì số lượng cá thể tảo trong bể sẽ không vượt quá bao nhiêu (đơn vị: nghìn cá thể)?

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao $2\text{ m}$ với vận tốc ban đầu là $24,5\text{ m/s}$. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao $h$ (mét) của vật sau $t$ (giây) được cho bởi công thức $h(t)=2+24,5t-4,9t^2$. Sau bao nhiêu giây thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị như hình vẽ. Gọi $m$ và $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;2]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật thể tích là $36{\text{ m}}^3$, không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong trang trại. Do các điều kiện về diện tích trang trại, đáy bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và chiều rộng không quá $4\text{ m}$, biết rằng chi phí vật liệu xây dựng mỗi mét vuông diện tích bề mặt là như nhau. Gọi $x\text{ (m)}$ là chiều rộng của bể, ta có $0<x\le 4$. Khi đó

Bác Phát muốn làm một chiếc thùng hình trụ, thân thùng được làm từ một mảnh tôn hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $90\text{ cm}$. Bác cắt ra một tấm tôn hình chữ nhật $MNPQ$ (với $M,N$ thuộc cạnh $BC$; $P,Q$ lần lượt thuộc các cạnh $AC,AB$) rồi cuộn lại sao cho hai mép $MQ$ và $NP$ trùng khít nhau để tạo thành thân thùng hình trụ có chiều cao bằng $MQ$ (như hình vẽ).

Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bác Phát có thể làm được bằng bao nhiêu centimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Sau khi xuất hiện một dịch bệnh, số người nhiễm bệnh tích lũy tính từ ngày phát hiện ca bệnh đầu tiên đến ngày thứ $t$ ($0\le t\le 30$) được mô hình hóa bởi hàm số $N(t)=45t^2-t^3$. Biết rằng tốc độ truyền bệnh tại thời điểm $t$ được xác định bởi đạo hàm $N^{\prime }(t)$. Tốc độ truyền bệnh lớn nhất là bao nhiêu (người/ngày)?

Trong quy hoạch giao thông của một địa phương, phần đất liền ở hai bờ của một nhánh sông uốn cong được mô hình hóa bởi hai nhánh của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$, trên hệ trục tọa độ $Oxy$ (hình vẽ), trong đó mỗi đơn vị trên các trục tọa độ tương ứng với $100\text{ m}$ trên thực địa.

Biết rằng đồ thị hàm số có một điểm cực trị là $(1;1)$. Người ta dự kiến xây dựng một cây cầu thẳng nối một điểm $A$ ở bờ bên này sang một điểm $B$ ở bờ đối diện sao cho chiều dài cây cầu ngắn nhất. Chiều dài của cây cầu đó bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?