Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=x^3+4x^2-28x+23$ trên đoạn $[-2;3]$. Khi đó, giá trị của biểu thức $T=M+m$ là

Cho hàm số $y=f(x)=e^{x^3-3x^2}$.

Trong một buổi tập luyện của lính đặc công, một chiến sỹ cần phối hợp bơi và chạy bộ để từ điểm $A$ ở bờ sông bên này đến điểm $B$ về phía hạ lưu của bờ sông bên kia (tham khảo hình vẽ bên dưới). Bờ sông thẳng, hai bờ song song và cách nhau một khoảng $AH=300\text{ m}$ và $HB=900\text{ m}$. Dòng nước chảy từ $H$ về phía $B$ với vận tốc không đổi là $1\text{ m/s}$. Chiến sỹ dự định bơi thẳng từ điểm $A$ đến một điểm thuộc đoạn $HB$, sau đó tiếp tục chạy bộ từ điểm đó về điểm $B$. Biết vận tốc bơi của chiến sỹ đối với dòng nước là $1\text{ m/s}$ và vận tốc chạy trên bờ của chiến sỹ là $3\text{ m/s}$. Hỏi chiến sỹ cần ít nhất bao nhiêu giây để hoàn thành kế hoạch trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Công ty du lịch Hòa Bình muốn mở một tour du lịch bằng du thuyền trên biển và giám đốc công ty đang tính toán các chi phí cần thiết để vận hành du thuyền. Để tính toán chi phí, giám đốc Hòa Bình đã mô hình hóa lượng dầu diesel tiêu thụ ước tính theo hàm số $G(x)=\frac{250}{x}+\frac{x}{10}$ (lít/km), với $x$ là vận tốc của du thuyền (giả định rằng vận tốc này duy trì không đổi trong suốt quá trình di chuyển). Biết rằng giá dầu diesel là $17,5$ nghìn đồng/lít. Ngoài ra, công ty cần tuyển thuyền trưởng với mức lương $1,5$ triệu đồng mỗi giờ để lái du thuyền này trong toàn bộ chuyến du lịch dài $640\text{ km}$. Hỏi thuyền trưởng phải duy trì vận tốc của du thuyền bằng bao nhiêu $\text{km/h}$ để tổng chi phí của công ty là thấp nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=t^3-3t^2+5t+2$, trong đó thời gian $t>0$ tính bằng giây và quãng đường $s$ tính bằng mét. Trong $5$ giây đầu vận tốc nhỏ nhất của chất điểm bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

Để điều trị cho một bệnh nhân, bác sĩ tiêm một loại thuốc vào tĩnh mạch. Nồng độ $C(t)$ của thuốc trong máu bệnh nhân (đơn vị: mg/l) thay đổi theo thời gian $t$ (đơn vị: giờ) kể từ lúc tiêm $(t\ge 0)$ được xác định bởi công thức $C(t)=\frac{15t}{t^2+9}$.

Bạn Trung có một tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $15\text{ cm}$ và chiều rộng $10\text{ cm}$. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh $B$ của góc đó chạm lên cạnh $CD$. Biết nếp gấp $MN$ có độ dài nhỏ nhất bằng $\frac{a\sqrt{b}}{c}$, với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast },b,c$ là các số nguyên tố. Tính tổng $a+b+c$.

Một cửa hàng thời trang tự thiết kế (Local Brand) đang bán một mẫu áo phông. Hiện tại, trung bình mỗi tháng cửa hàng bán được $500$ chiếc với giá $300$ nghìn đồng/chiếc. Dữ liệu nghiên cứu thị trường cho thấy nếu cứ giảm giá bán $30$ nghìn đồng/chiếc, số lượng áo bán ra sẽ tăng thêm $100$ chiếc mỗi tháng. Biết hàm giá bán $p(x)$ theo số lượng $x$ chiếc áo bán ra là một hàm số bậc nhất. Cửa hàng sản xuất áo với tổng chi phí hàng tháng là $C(x)=0,12x+50$ (triệu đồng), trong đó $0,12$ triệu đồng là chi phí nguyên vật liệu cho một chiếc áo và $50$ triệu đồng là chi phí mặt bằng, nhân sự. Cửa hàng nên bán mỗi chiếc áo với giá bao nhiêu nghìn đồng để thu được lợi nhuận cao nhất?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^4-7x^2-1$ bằng

Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng $(x\in {\mathbb{N}}^{\ast };1\le x\le 4800)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=-0,01x^2+410x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x)=\frac{23000}{x}+200$ (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn $150$ triệu đồng?

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x-1}{x-2}$ trên đoạn $[-1;1]$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[-1;9]$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;9]$. Tính giá trị của $T=M-m$

Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $3\text{ m}$ và cách bờ $AD$ là $9\text{ m}$, rồi dùng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để nuôi vịt (tam giác $APQ$ như hình vẽ) sao cho cây sào chạm vào hai bờ $AB,AD$ và cây cọc $K$. Tính diện tích của góc hồ nuôi vịt khi chiều dài của cây sào $PQ$ là ngắn nhất. (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của đơn vị ${\text{m}}^2$)

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên trên $[-5;7)$ như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ triệu đồng (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $30$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).

Ông Nam cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích $V=8{\text{ (m}}^3\text{)}$ dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp $\frac{4}{3}$ lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là $990.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng $\frac{2}{9}$ diện tích nắp bể. Chi phí thấp nhất mà ông Nam phải chi trả là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Cho một tấm bìa hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $10\text{ cm}$. Cắt tấm bìa theo các tam giác cân $AEB,BFC,CGD,DHA$ sau đó gấp các tam giác $AEH,BEF,CFG,DGH$ sao cho bốn đỉnh $A,B,C,D$ trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khi đó thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng $\frac{a\sqrt{b}}{c}{\text{ (cm}}^3\text{)}$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương. Tính $P=a+b+c$.

Trong không gian, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$ và $M$ là điểm thay đổi trên đoạn $SO$. Tỉ số $\frac{SM}{SO}$ là bao nhiêu khi $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ nhỏ nhất?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[-1;5]$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[-1;5]$. Giá trị của $M-m$ bằng