Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$. Góc $C=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$, và $\sin 105^{\circ }=\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Suy ra $AB=\frac{BC\cdot \sin C}{\sin A}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=5(\sqrt{6}+\sqrt{2})$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Chùm tia đi từ nguồn tia tới khối u, tạo với mặt da góc $\beta$. Tam giác vuông có cạnh đối (khoảng cách từ khối u đến mặt da) là $6,3$ cm và cạnh kề (khoảng cách từ nguồn tia đến khối u theo phương chùm tia) là $9$ cm. Do đó $\tan \beta =\frac{6,3}{9}=0,7$. Vậy $P=\tan \beta =0,7$, khớp với đáp số nguồn 0,7.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=100-48=52$. Suy ra $a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-80\cdot \frac{1}{2}=89-40=49$. Suy ra $b=7$ (chỉ lấy giá trị dương). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C=2^2+(\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 150^{\circ }=4+3-4\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=7+6=13$. Vậy $AB=\sqrt{13}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin A=12\Rightarrow \sin A=\frac{3}{5}$. Vì góc $A$ nhọn nên $\cos A=\frac{4}{5}$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{4}{5}=89-64=25\Rightarrow BC=5$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Góc nhỏ nhất đối diện cạnh nhỏ nhất là 2. Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{3^2+4^2-2^2}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}$. Suy ra $\sin A=\sqrt{1-\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{15}}{8}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{36+144-81}{2\cdot 6\cdot 12}=\frac{99}{144}=\frac{11}{16}$. Trong tam giác $ABM$ (với $BM=4$): $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B=36+16-2\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{11}{16}=52-33=19$. Vậy $AM=\sqrt{19}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=49+25-56=18$. Suy ra $a=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $BC=a\sqrt{2}$, do đó $BM=\frac{BC}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$. Trong tam giác $ABM$, áp dụng định lí cosin: $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B$. Vì tam giác vuông cân nên $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $A{M}^2=a^2+\frac{2a^2}{9}-2\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=a^2+\frac{2a^2}{9}-\frac{2a^2}{3}=\frac{5a^2}{9}$. Vậy $AM=\frac{a\sqrt{5}}{3}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B=180^{\circ }-C$ nên $\cos (A+B)=-\cos C=-\frac{1}{8}$, suy ra $\cos C=\frac{1}{8}$. Theo định lí cosin: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{1}{8}=41-5=36$. Vậy $AB=6$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot C=2>0$ nên góc $C$ nhọn. Ta có $1+{\cot }^{2}C=\frac{1}{{\sin }^{2}C}$ nên ${\sin }^{2}C=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$, suy ra $\sin C=\frac{1}{\sqrt{5}}$ và $\cos C=\cot C\cdot \sin C=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Áp dụng định lí cosin: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C=9+5-2\cdot 3\cdot \sqrt{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=14-12=2$. Vậy $AB=\sqrt{2}$, trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ và $\tan A=-2\sqrt{2}<0$ nên góc $A$ tù, ta có $\frac{1}{{\tan }^{2}A}=\frac{1}{8}$, suy ra ${\sin }^{2}A=\frac{8}{9}$ và ${\cos }^{2}A=\frac{1}{9}$. Do $A$ tù nên $\cos A=-\frac{1}{3}$, $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=25+8=33$. Vậy $BC=\sqrt{33}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B$. Suy ra $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{4^2+7^2-9^2}{2\cdot 4\cdot 7}=\frac{16+49-81}{56}=\frac{-16}{56}=-\frac{2}{7}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Góc lớn nhất đối diện cạnh lớn nhất là 9. Theo định lí côsin: $\cos C=\frac{5^2+8^2-9^2}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{25+64-81}{80}=\frac{8}{80}=\frac{1}{10}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{36+144-81}{2\cdot 6\cdot 12}=\frac{99}{144}=\frac{11}{16}$. Trong tam giác $ABM$ (với $BM=8$): $A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{11}{16}=100-66=34$. Vậy $AM=\sqrt{34}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phát biểu: A đúng vì $S=\frac{abc}{4R}$ là công thức diện tích quen thuộc. B sai: theo định lý sin, $\frac{a}{\sin A}=2R$, suy ra $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$. C đúng vì $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (tích hai cạnh $a=BC$, $b=CA$ nhân sin của góc $C$ xen giữa). D đúng vì định lý cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\Rightarrow a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$. Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, nên $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$. Thay vào giả thiết $b+c=2a$: $2R\sin B+2R\sin C=2\cdot 2R\sin A$, suy ra $\sin B+\sin C=2\sin A$. Vậy mệnh đề đúng là B.

Kiểm tra các phương án còn lại bằng ví dụ tam giác đều $a=b=c$ (thỏa $b+c=2a$):
- Phương án A: $\cos B+\cos C=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ trong khi $2\cos A=2\cdot \frac{1}{2}=1$ — với tam giác đều A thỏa mãn, nhưng xét ví dụ khác $a=2,b=3,c=1$ (thỏa $b+c=4=2a$): $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{4+1-9}{4}=-1$, $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4+9-1}{12}=1$, nên $\cos B+\cos C=0$; còn $2\cos A=2\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=2\cdot \frac{9+1-4}{6}=2\ne 0$. Vậy A không luôn đúng (lưu ý ví dụ $a=2,b=3,c=1$ thực chất là tam giác suy biến vì $b=a+c$, nên xét ví dụ $a=2,b=\frac{5}{2},c=\frac{3}{2}$ thỏa $b+c=4=2a$: $\cos B=\frac{4+2.25-6.25}{6}=0$, $\cos C=\frac{4+6.25-2.25}{10}=0.8$, $\cos B+\cos C=0.8$; $2\cos A=2\cdot \frac{6.25+2.25-4}{15}=2\cdot \frac{4.5}{15}=0.6\ne 0.8$, vậy A sai).
- Phương án C: $\sin B+\sin C=2\sin A\ne \frac{1}{2}\sin A$ vì $\sin A>0$, nên C sai.
- Phương án D: với tam giác đều $\sin B+\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\ne 2\sin A=\sqrt{3}$, nên D sai.

Kết luận: chỉ phương án B luôn đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ với $C=180^{\circ }-40^{\circ }-60^{\circ }=80^{\circ }$. Suy ra $BC=\frac{5\sin 40^{\circ }}{\sin 80^{\circ }}\approx \frac{5\cdot 0,6428}{0,9848}\approx 3,26$. Vậy $BC$ gần nhất với $3,3$.