Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Hàm số có tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận ngang là $y=2$ và đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ nên hàm số là $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

Ta có nhánh cuối đồ thị hướng lên trên nên loại đáp án A.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-2;2)$, $(0;-2)$, $(1;2)$ nên hàm số $y=x^3+3x^2-2$ thỏa mãn.

**a) Sai.** Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập xác định.

**b) Đúng.** Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận ngang $y=2$ và đường tiệm cận đứng $x=-1$, nên tâm đối xứng là điểm $I(-1;2)$.

**c) Đúng.** Giao điểm của $(C)$ với trục $Oy$ là $A(0;-1)$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $A$ là $k=y^{\prime }(0)=3$. Phương trình tiếp tuyến là $y=3(x-0)-1=3x-1$.

**d) Sai.** Điểm $M\left(x_0;2-\frac{3}{x_0+1}\right)\in (C)$ có tọa độ nguyên khi $x_0+1\in \{1;-1;3;-3\}$, suy ra có $4$ điểm có tọa độ nguyên.

Từ đồ thị ta thấy ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$ nên hệ số $a<0$, và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương ($f(0)=1>0$) nên $f(x)=-x^3+3x+1$.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+3$, $y^{\prime \prime }=-6x=0\iff x=0\Rightarrow y(0)=-2$. Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $J(0;-2)$.

a) **Đúng**. Do ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$ nên đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đường cong $(C)$.
b) **Sai**. Ta có $f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{-x^2+2x}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$.
c) **Sai**. Bảng biến thiên:

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(2;-3)$ chứ không phải $N(2;3)$.
d) **Sai**. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên $y=-x$ (nghịch biến) và ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$, không trùng với đồ thị trong hình vẽ.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba với nhánh cuối đi lên ($a>0$), cắt trục tung tại $(0;1)$ và có hai điểm cực trị tại $x=-1,x=1$. Do đó đồ thị tương ứng với hàm số $y=x^3-3x+1$.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và đi qua điểm $(0;2)$. Thay $x=0$ vào các hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ (phương án A và D), chỉ có hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ thỏa mãn $y(0)=2$ (và đạt cực tiểu tại $(0;2)$, cực đại tại $(-2;-2)$). (Theo lời giải trang 10, mã đề 0101).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 3 Phần II có đáp án: a - Đúng, b - Đúng, c - Sai, d - Đúng (ĐĐSĐ).

- Ý a: Đúng, mẫu số $x-1\ne 0\iff x\ne 1$.
- Ý b: Đúng, $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+4)(x-1)-(x^2+4x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$.
- Ý c: Sai, trên $[2;3]$, $f^{\prime }(x)\le 0$ nên hàm số nghịch biến, do đó ${\min }_{[2;3]}f(x)=f(3)=\frac{3^2+4(3)-1}{3-1}=10\ne 7$.
- Ý d: Đúng, ta có $\frac{x^2+4x-1}{x-1}=x+5+\frac{4}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+5$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 21):
- a) SAI: Đạo hàm của hàm số là $y^{\prime }=-3x^2+6x$, không phải $-3x^3+6x$.
- b) ĐÚNG: $y^{\prime }=-3x(x-2)>0⟺0<x<2$, nên hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$.
- c) SAI: Hai điểm cực trị là $A(0;4)$ và $B(2;8)$. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là $y=2x+4⟺2x-y+4=0$, không phải $2x+y-4=0$.
- d) ĐÚNG: Diện tích tam giác $OAB$ với $O(0;0),A(0;4),B(2;8)$ là $S=\frac{1}{2}OA\cdot |x_B|=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$.

Đồ thị đi qua $(0;-3)$ và $(-2;1)$, đạt cực trị tại $x=-2$ và $x=0$, nên hàm số là $y=x^3+3x^2-3$ (theo đáp án chính thức Trang 10, Mã đề 1202).

Từ bảng biến thiên, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$ và $y^{\prime }<0$ trên từng khoảng xác định. Với $y=\frac{2x+3}{x+1}$ ta có $y^{\prime }=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$ (theo đáp án chính thức Trang 10, Mã đề 1202).

a) Đúng. b) Đúng. c) Sai vì $y=x-2+\frac{4}{x+1}$ có tiệm cận xiên là $y=x-2$. d) Đúng vì $x+1\in \{\pm 1;\pm 2;\pm 4\}$ cho $6$ điểm nguyên (theo đáp án chính thức Trang 10, Mã đề 1202).

Đồ thị đi qua $(0;1)$ và $(-2;-3)$, đạt cực trị tại $x=-2$ và $x=0$, nên hàm số là $y=-x^3-3x^2+1$ (theo đáp án chính thức Trang 5, Mã đề 1201).

Từ bảng biến thiên, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$ và $y^{\prime }>0$ trên từng khoảng xác định. Với $y=\frac{2x-3}{x-1}$ ta có $y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$ (theo đáp án chính thức Trang 5, Mã đề 1201).

a) Đúng vì hàm số có hai điểm cực trị $x=1$ và $x=3$. b) Sai vì hàm số nghịch biến trên $(1;3)$. c) Sai vì ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$. d) Đúng vì điểm $(1;5)$ thuộc đồ thị nên $y(1)=a+b+c+d=5$ (theo đáp án chính thức Trang 5, Mã đề 1201).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17):
- a) ĐÚNG: Điều kiện xác định $x+1\ne 0⟺x\ne -1$. Vậy tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
- b) ĐÚNG: Ta có $f(x)=x+\frac{2}{x+1}⟹f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1{)}^2-2}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-1}{(x+1{)}^2},\forall x\ne -1$.
- c) SAI: $f^{\prime }(x)=0⟺x^2+2x-1=0⟺x=-1\pm \sqrt{2}$. Xét dấu $f^{\prime }(x)$ thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-1-\sqrt{2}$ và đạt cực tiểu tại $x=-1+\sqrt{2}$.
- d) ĐÚNG: Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-x]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2}{x+1}=0$, nên đường thẳng $y=x$ là tiệm cận xiên của đồ thị. Đường thẳng này đi qua gốc toạ độ $M(0;0)$.

Đường cong là đồ thị của hàm đa thức bậc ba với hệ số $a<0$ (nhánh phải đi xuống), có hai điểm cực trị và cắt trục tung tại $(0;1)$, phù hợp với hàm số $y=-x^3+3x+1$.

Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số bậc ba có hệ số $a>0$ và hai điểm cực trị, nên hàm số cần tìm là $y=x^3-3x-1$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 135).

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x=-1$, đường tiệm cận ngang $y=1$, đi qua các điểm $(-2;0)$ và $(0;2)$.
Thay tọa độ các điểm và kiểm tra tiệm cận, ta thấy hàm số $y=\frac{x+2}{x+1}$ thỏa mãn.