Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 81 (trang 59): Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nằm bên trái trục $y$), nên loại C, D (có tiệm cận đứng $x=2$). Xét A: $y=\frac{x^2+x-2}{x+1}=x-1-\frac{1}{x+1}$ có tiệm cận xiên $y=x-1$ (không đi qua gốc tọa độ), cắt trục $y$ tại $y=-2$. Xét B: $y=\frac{x^2+x-1}{x+1}=x-\frac{1}{x+1}$ có tiệm cận xiên $y=x$ đi qua gốc tọa độ (khớp đường nét đứt trong hình), cắt trục $y$ tại $y=-1$ và cắt trục $x$ tại $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0,618$ (sát bên phải gốc). Đồ thị trong hình: nhánh phải đi lên từ dưới tiệm cận đứng, cắt trục $y$ ngay dưới gốc rồi cắt trục $x$ sát bên phải gốc, tiệm cận xiên qua gốc — khớp hoàn toàn với phương án B. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nằm bên trái trục $Oy$) và tiệm cận xiên $y=x$. Xét $y=\frac{x^2+x-2}{x+1}=x-\frac{2}{x+1}$: có TCĐ $x=-1$, TCX $y=x$; khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $y\to +\infty$ (nhánh trái đi lên), khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì $y\to -\infty$ (nhánh phải đi xuống từ $-\infty$), đúng như hình vẽ. Nghiệm $y=0$: $x^2+x-2=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=-2$, khớp hai giao điểm với trục hoành trên đồ thị. Các phương án B, C, D không khớp (B có TCX $y=x+2$; C có TCĐ $x=2$; D có TCĐ $x=2$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2-2x+6}{x+1}$.
a) Điều kiện xác định: $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2-2-x^2+2x-6}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$. Đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-4)$, $f^{\prime }<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$, $f^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=-4$ với $f(-4)=\frac{16+8+6}{-3}=-10$, còn $x=2$ là điểm cực tiểu với $f(2)=2$. Giá trị cực đại bằng $-10$, không phải $2$. Sai.
d) Đặt $t=x^2-2\ge -2$, $t\ne -1$ (tức $x\ne \pm 1$). $y^{\prime }=f^{\prime }(t)\cdot 2x$. Trên $(-\infty ;-1)$: $2x<0$, $t\in [-2;-1)$ nên $f^{\prime }(t)<0$ ⇒ $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Trên $(-1;0)$: $2x<0$, $t\in (-1;2)$, $f^{\prime }(t)<0$ ⇒ $y^{\prime }>0$ (đồng biến) → tại $x=0$ không đổi dấu đạo hàm, không cực trị. Trên $(0;2)$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ → $x=2$ là điểm cực tiểu. Trên $(-2;-1)$: $2x<0$, $t\in (2;4)$, $f^{\prime }(t)>0$ ⇒ $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $(-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ → $x=-2$ là điểm cực đại. Vậy hàm số chỉ có 2 điểm cực trị ($x=\pm 2$), không phải 3. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }=0$ tại $x=-4,x=2$; hàm đạt cực đại tại $x=-4$ với giá trị $f(-4)=-10$; $x=2$ là cực tiểu với $f(2)=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=x^2-2$, $y^{\prime }=f^{\prime }(t)\cdot 2x$; hàm chỉ có 2 điểm cực trị $x=\pm 2$ (cực đại tại $x=-2$, cực tiểu tại $x=2$); $x=0$ không phải cực trị vì đạo hàm không đổi dấu qua $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: điều kiện x-2≠0 nên tập xác định là ℝ\{2}, không phải ℝ\{-2}. b) Đúng: y' = [(x-2)-(x+1)]/(x-2)² = -3/(x-2)² với mọi x≠2. c) Đúng: tại x=3, y'(3) = -3/(3-2)² = -3 = k. d) Đúng: tiếp tuyến song song với (d): y=-3x+12 nên y'=-3 ⇔ -3/(x-2)²=-3 ⇔ (x-2)²=1 ⇔ x=1 hoặc x=3. Với x=1: y=(1+1)/(1-2)=-2, A(1;-2); với x=3: y=(3+1)/(3-2)=4, B(3;4). AB=√((3-1)²+(4+2)²)=√(4+36)=√40=2√10. Khớp đáp án nguồn: a S, b D, c D, d D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi x-2≠0, tức x≠2. Vậy tập xác định là ℝ\{2}, không phải ℝ\{-2}.
b) (AI giải đề cho tôi)
y' = [(x-2)·1-(x+1)·1]/(x-2)² = -3/(x-2)² với mọi x≠2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc tiếp tuyến tại x=3 là k=y'(3)=-3/(3-2)²=-3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến song song với y=-3x+12 nên y'=-3 ⇔ (x-2)²=1 ⇔ x=1 hoặc x=3. A(1;-2), B(3;4), AB=√(2²+6²)=√40=2√10.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nét đứt đỏ) và tiệm cận xiên $y=x$ (nét đứt đỏ chéo), đi qua $(0;1)$ và có cực tiểu bên phải, cực đại bên trái tại $(-2;-3)$. Loại A, B vì chỉ có tiệm cận ngang $y=0$ và $y=2$. Xét C: $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}=x-2+\frac{3}{x+1}$, khi đó $y(0)=1$ nhưng cực đại nhánh trái tại $x=-4$ với $y(-4)=-6$, không khớp điểm $(-2;-3)$. Xét D: $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$, có TCĐ $x=-1$, TCX $y=x$, $y(0)=1$; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\Rightarrow x=0$ (cực tiểu, $y=1$) và $x=-2$ (cực đại, $y(-2)=-2-1=-3$), khớp hoàn toàn với đồ thị. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án in đậm trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
y'=(3/8)(x^2-2x-3)=(3/8)(x-3)(x+1). a) Hàm bậc 3 có tâm đối xứng tại x=1 (x=-b/3a), y(1)=(1-3-9-5)/8=-2, nên tâm là (1;-2): đúng. b) Hệ số góc k=(3/8)(x^2-2x-3) nhỏ nhất tại x=1 (y”=(3/4)(x-1)=0), k_min=(3/8)(1-3)(1+1)=-3/2. Tiếp tuyến tại điểm (1;-2): y=-3/2(x-1)-2=-3x/2-1/2, tại x=0 cho y=-1/2 ≠ -7/3, nên tiếp tuyến này không đi qua A(0;-7/3): sai. c) y'=0 tại x=-1 và x=3 (hai nghiệm phân biệt, đổi dấu), nên đồ thị có 2 điểm cực trị: đúng. d) Trên [4;8] hàm số đồng nhất tăng (x>3), nên max tại x=8 chứ không phải x=4: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc 3 tại x=1; y(1)=(1-3-9-5)/8=-2, nên tâm là (1;-2).
b) (AI giải đề cho tôi)
k=(3/8)(x^2-2x-3) nhỏ nhất tại x=1 với k=-3/2; tiếp tuyến y=-3x/2-1/2 không đi qua A(0;-7/3) vì tại x=0 có y=-1/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
y'=(3/8)(x-3)(x+1) có hai nghiệm phân biệt x=-1, x=3 và đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên có 2 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [4;8] hàm số đồng nhất tăng (x>3), giá trị lớn nhất đạt tại x=8, không phải x=4.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $c+d=0$; tiệm cận ngang $y=-1$ nên $a/c=-1$ tức $a=-c$; đồ thị đi qua $(2;0)$ nên $2a+b=0$ tức $b=-2a=2c$; đồ thị đi qua $(0;-2)$ nên $b/d=-2$, thỏa mãn với $d=-c$. Chọn $c=1$ ta được hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$. a) $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}=\frac{(-1)(-1)-2\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không có khoảng đồng biến. b) Tiệm cận đứng: $x=1$ (vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$); tiệm cận ngang: $y=-1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=a/c=-1$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx-1}$ (hình vẽ ở Câu 2, giống hình ở Câu 21):
- Tiệm cận đứng là $x=1$: mẫu số triệt tiêu tại $x=1$ nên $c\cdot 1-1=0\Rightarrow c=1>0$.
- Tiệm cận ngang là $y=1$: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{ax+b}{cx-1}=\frac{a}{c}=1\Rightarrow a=1>0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $-2$: $y(0)=\frac{b}{-1}=-b=-2\Rightarrow b=2>0$.
- Kiểm tra chiều biến thiên: $y^{\prime }=\frac{-ac-bc}{(cx-1{)}^2}=\frac{-1-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$, hàm nghịch biến trên mỗi nhánh, đúng như hình vẽ.
Vậy cả ba hệ số $a=1$, $b=2$, $c=1$ đều dương: có 3 số dương. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$, có cực đại tại $(-2;-2)$ (đánh dấu nét đứt) và cực tiểu tại $(0;2)$, đồng thời đi qua điểm $(0;2)$. Xét $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$: có TCĐ $x=-1$, TCX $y=x+1$; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; $y(0)=2$, $y(-2)=-2$ khớp hoàn toàn với hình. Loại A (có tiệm cận ngang $y=1$), B (cực trị tại $x=-1\pm \sqrt{5}$ không khớp), C (parabol không có tiệm cận đứng). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: nhánh trái xuống dưới, nhánh phải lên trên nên $a>0$. Đồ thị đi qua điểm cực đại tại $x=-1$ (cao hơn trục) và điểm cực tiểu tại $x=1$ (thấp hơn trục), với điểm cực tiểu nằm xa gốc hơn phía bên phải, suy ra tổng hoành độ hai điểm cực trị $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$ mà $a>0$ nên $b<0$. Trên khoảng $(-1;1)$ hàm số nghịch biến nên $y^{\prime }(0)=c<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm dương (giữa $2$ và giá trị cực tiểu âm) nên $d>0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x_0=-\frac{d}{c-1}$ nằm hơi bên trái trục $Oy$ nên $x_0<0$. Vì $d<0$ nên $-d>0$, do đó $c-1>0\Rightarrow c>1$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a-1}{c-1}$ nằm hơi phía trên trục $Ox$ (nhánh phải tiến về giá trị dương nhỏ) nên $\frac{a-1}{c-1}>0$, mà $c-1>0$ nên $a>1$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có hoành độ $x=0$, tung độ $y=\frac{b}{d}<0$ (dưới gốc $O$); vì $d<0$ nên $b>0$. Vậy $a>1,b>0,c>1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{-x^2+x+1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(-2x+1)(x+1)-(-x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x}{(x+1{)}^2}=\frac{-x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. a) $y^{\prime }>0\iff -x(x+2)>0\iff x\in (-2;0)$, loại $x=-1$, nên hàm số đồng biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ → đúng. b) $y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=0$, đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm có hai điểm cực trị (cực đại tại $x=-2$, cực tiểu tại $x=0$) → đúng. c) Giải $-x^2+x+1=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ (hai nghiệm phân biệt, khác $-1$), nên đồ thị cắt trục $Ox$ tại hai điểm → sai. d) Phân số: $y=\frac{-x^2+x+1}{x+1}=-x+2-\frac{1}{x+1}$, tiệm cận xiên là $y=-x+2$. Tại $x=1$: $y=-1+2=1\ne 2$, nên tiệm cận xiên không đi qua $A(1;2)$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-x(x+2)}{(x+1{)}^2}>0$ trên $(-2;0)$ trừ $x=-1$, nên hàm đồng biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=0$, đạo hàm đổi dấu qua mỗi nghiệm nên có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-x^2+x+1=0$ có hai nghiệm $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$, nên đồ thị cắt trục $Ox$ tại hai điểm phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=-x+2-\frac{1}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x+2$; tại $x=1$ có $y=1\ne 2$ nên không đi qua $A(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có điểm cực tiểu $(1;1)$ và điểm cực đại $(3;5)$, tức $f(1)=1$, $f(3)=5$ và $f^{\prime }(1)=f^{\prime }(3)=0$.

Suy ra $f^{\prime }(x)=k(x-1)(x-3)=k(x^2-4x+3)$, nên $f(x)=k\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+d$.

Tại $x=3$: $f(3)=k(9-18+9)+d=d=5$.

Tại $x=1$: $f(1)=k\left(\frac{1}{3}-2+3\right)+5=\frac{4k}{3}+5=1\Rightarrow k=-3$.

Vậy $f(x)=-x^3+6x^2-9x+5$.

Kiểm tra: $f(1)=-1+6-9+5=1$ ✓, $f(3)=-27+54-27+5=5$ ✓, $f^{\prime }(x)=-3x^2+12x-9=-3(x-1)(x-3)$ ✓.

Do đó $f(5)=-125+150-45+5=-15$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Từ Hình 1: tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị đi qua $(2;2)$ và cắt trục hoành tại $x=-1$.

Viết $y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c(cx+d)}$.
- TCN $y=1\Rightarrow \frac{a}{c}=1\Rightarrow a=c$.
- TCĐ $x=\frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{d}{c}=\frac{1}{2}\Rightarrow c=-2d$. Chọn $d=1$ thì $c=a=-2$.
- $y(2)=2$: $\frac{-4+b}{-4+1}=2\Rightarrow b=-2$.
- Kiểm tra $y(-1)=\frac{2-2}{2+1}=0$ ✓.
Vậy $a=b=c=-2,d=1$, tức $y=\frac{2x+2}{2x-1}$.

b) Từ BBT Hình 2: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=2$; cực tiểu $f(0)=-1$, cực đại $f(2)=3$; hai đầu $f\to \mp \infty$ nên $a<0$.
- $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$.
- $f^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12a+4b=0\Rightarrow b=-3a$.
- $f(0)=d=-1$.
- $f(2)=8a+4b+d=8a-12a-1=-4a-1=3\Rightarrow a=-1$, suy ra $b=3$.
Vậy $a=-1,b=3,c=0,d=-1$.

$T=a+2b+3c-d=-1+6+0+1=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(0)=1\Rightarrow d=1>0$. $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=0$, nên $f^{\prime }(0)=c=0$ và $f^{\prime }(-2)=12a-4b=0\Rightarrow b=3a$. Mặt khác $f(-2)=2$: $-8a+4b+d=2\Rightarrow -8a+12a+1=2\Rightarrow a=\frac{1}{4}>0$, suy ra $b=\frac{3}{4}>0$. Vậy $a>0$, $b>0$, $c=0$, $d>0$: có 3 số dương.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0$ nên $\frac{d}{c}>0$; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0$ (nằm trên trục hoành) mà $a>0$ nên $c>0$, suy ra $d>0$. Hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh nên $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}<0$, tức $ad-bc<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ âm (điểm cắt nằm dưới trục hoành) nên $y(0)=\frac{b}{d}<0$, mà $d>0$ nên $b<0$. Vậy trong các số $b,c,d$ có đúng 2 số dương là $c$ và $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$ nên $x+c=0\Rightarrow c=-2$. Tiệm cận ngang $y=a=-1$ (đồ thị tiệm cận đường thẳng $y=-1$). Kiểm tra: đồ thị đi qua điểm $(3;0)$: $\frac{3a+3}{3+c}=0\Rightarrow a=-1$ (thỏa); giao với trục tung tại $\left(0;-\frac{3}{2}\right)$: $\frac{3}{c}=-\frac{3}{2}\Rightarrow c=-2$ (thỏa). Vậy $a-2c=-1-2(-2)=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$ nên $a<0$. Hàm số có cực tiểu tại $x_1<0$ và cực đại tại $x_2>0$, tức phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu. Theo Viète: $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$, với $a<0$ suy ra $b>0$; $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$, với $a<0$ suy ra $c>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d=y(0)<0$. Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$, chọn đáp án A.