Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

a) Ta chứng minh với $p$ là số nguyên tố lẻ thì $\delta (p^k)$ chẵn khi và chỉ khi $k$ chẵn. Ta có:
$$\delta (p^k)=p^k+p^{k-1}+\cdots +1\equiv k+1(\mathrm{mod}2)\text{(do coˊ }k+1\text{ hạng tử lẻ)}$$
Nên $\delta (p^k)$ lẻ khi và chỉ khi $k$ chẵn (đpcm).
Chiều thuận: Giả sử $\delta (n)$ là số lẻ. Đặt $n=2^k\cdot p_1^{k_1}\dots p_m^{k_m}$ ($p_i$ là các số nguyên tố lẻ). Khi đó:
$$\delta (n)=\delta (2^k)\cdot \delta (p_1^{k_1})\dots \delta (p_m^{k_m})$$
Vì $\delta (n)$ lẻ nên $\delta (p_i^{k_i})$ lẻ với mọi $i$. Suy ra $k_i$ chẵn với mọi $i$, do đó $\frac{n}{2^k}$ là số chính phương.
Chiều đảo: Giả sử tồn tại số tự nhiên $t$ để $\frac{n}{2^t}$ là số chính phương.
Khi đó với mọi số nguyên tố lẻ $p_i$, số mũ $v_{p_i}\left(\frac{n}{2^t}\right)$ là số chẵn $\Rightarrow v_{p_i}(n)$ chẵn $\Rightarrow k_i$ chẵn.
$\Rightarrow \delta (p_i^{k_i})$ lẻ với mọi $i$.
Mà $\delta (2^k)=1+2+\cdots +2^k$ luôn lẻ.
$\Rightarrow \delta (n)=\delta (2^k)\cdot \delta (p_1^{k_1})\dots \delta (p_m^{k_m})$ là số lẻ (đpcm).

b) Giả sử tồn tại số nguyên $n$ thoả mãn tính chất đã cho.
Vì $k\ge 6$ nên có 3 số chẵn liên tiếp $m,m+2,m+4$ thuộc tập hợp sao cho:
$$(m,\delta (m))=1,(m+2,\delta (m+2))=1,(m+4,\delta (m+4))=1$$
Do $m,m+2,m+4$ chẵn nên $\delta (m),\delta (m+2),\delta (m+4)$ phải lẻ. Áp dụng câu a, ta có:
$$m=2^a\cdot x^2,m+2=2^b\cdot y^2,m+4=2^c\cdot z^2\text{(với }x,y,z\text{ lẻ)}$$
Trường hợp 1: $a=1$.
Khi đó $m\equiv 2(\mathrm{mod}4)\Rightarrow m+4\equiv 2(\mathrm{mod}4)\Rightarrow c=1$. Ta có:
$$\frac{m}{2}=x^2\text{vaˋ}\frac{m}{2}+2=z^2⟹(z-x)(z+x)=2\text{(vıˋ lyˊ do VT : 4)}$$
Trường hợp 2: $a>1\Rightarrow b=1$ và $m⋮4$.
Do $b=1\Rightarrow m+2=2y^2\Rightarrow \frac{m}{2}+1=y^2$. Vì $(m+2,\delta (m+2))=1$ nên $m+2/⋮3$.
Mà $\frac{m}{2}$ chẵn $\Rightarrow y$ lẻ $\Rightarrow y^2-1⋮8\Rightarrow \frac{m}{2}⋮8\Rightarrow a\ge 4$.
Do $m⋮16\Rightarrow m+4\equiv 4(\mathrm{mod}16)\Rightarrow c=2\Rightarrow \frac{m}{4}+1=z^2$.
Xét modulo 3, trong 3 số chẵn trên phải có 1 số chia hết cho 3. Vì $m+2/⋮3$, ta xét các khả năng:
- $m⋮3\Rightarrow \delta (m)/⋮3\Rightarrow \delta (2^a)/⋮3\Rightarrow 2^{a+1}-1/⋮3\Rightarrow a$ chẵn.
Vì $a$ chẵn nên $\frac{m}{4}$ là số chính phương.
Mà $\frac{m}{4}+1=z^2\Rightarrow \frac{m}{4}=0\Rightarrow m=0$ (vô lý).
- $m+4⋮3\Rightarrow m+2=(m+4)-2\equiv 1(\mathrm{mod}3)$.
Mà $m+2=2y^2\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ (vô lý do $y^2\equiv 1(\mathrm{mod}3)$).
Vậy không tồn tại số nguyên $n$ thỏa mãn bài toán.

a) Thay $x=a_i$ vào đẳng thức đã cho, ta được $P(a_i)Q(a_i)=1$ với mọi $i=1,2,\dots ,n$. Vì $P(a_i),Q(a_i)$ là các số nguyên nên $P(a_i)=Q(a_i)=\pm 1$. Do đó, đa thức $P(x)-Q(x)$ có $n$ nghiệm phân biệt $a_1,a_2,\dots ,a_n$. Mặt khác, $\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q=n$ và hai đa thức đều có bậc dương, nên $\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q\le n-1$. Suy ra $P(x)-Q(x)$ là đa thức không, tức là $P(x)=Q(x)$.
b) Theo ý trên, ta có $(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)+1=P(x{)}^2$ nên $n$ là số chẵn.
Không mất tính tổng quát, giả sử $a_1=0$ (nếu không ta có thể tính tiên các giá trị). Khi đó $0=a_1<a_2<\cdots <a_n$ và $a_i\ge i-1$ với mọi $i=2,\dots ,n$.
Đặt $F(x)=x(x-a_2)\cdots (x-a_n)+1$. Vì $F(x)$ là bình phương của một đa thức và $n$ chẵn, ta có
$$0\le F\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{(2a_2-1)(2a_3-1)\cdots (2a_n-1)}{2^n}\le 1-\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-3)}{2^n}$$
Nếu $n\ge 6$ thì $\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-3)}{2^n}\ge \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2^6}=\frac{945}{64}>1$, khi đó $F\left(\frac{1}{2}\right)<0$, mâu thuẫn. Vậy ta suy ra được $n=2$ hoặc $n=4$.
Trường hợp 1: Nếu $n=2$ thì $0\le F\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{2a_2-1}{4}$, suy ra $a_2\le \frac{5}{2}$ nên $a_2=1$ hoặc $a_2=2$.
- Với $a_2=1$, đa thức $F(x)=x^2-x+1$ không thể là bình phương của một đa thức bậc nhất.
- Với $a_2=2$, ta có $F(x)=x(x-2)+1=(x-1{)}^2$. Do đó, dãy $(0,2)$ là đẹp.
Trường hợp 2: Nếu $n=4$ thì $0\le F\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{(2a_2-1)(2a_3-1)(2a_4-1)}{16}$. Suy ra
$$(2a_2-1)(2a_3-1)(2a_4-1)\le 16$$
Vì $a_2\ge 1$ và $a_3\ge 2$, ta được $3(2a_4-1)\le 16$, tức là $a_4\le \frac{19}{6}$. Kết hợp với $a_4\ge 3$ và $a_4$ nguyên, suy ra $a_4=3$. Vì $0<a_2<a_3<3$ nên $a_2=1$, $a_3=2$.
Khi đó $F(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)+1=(x^2-3x+1{)}^2$, nên dãy $(0,1,2,3)$ là đẹp.
Tổng quát ta có tất cả dãy đẹp là $(\mathbf{a},\mathbf{a}+2)$ và $(\mathbf{a},\mathbf{a}+1,\mathbf{a}+2,\mathbf{a}+3)$ với $a\in \mathbb{Z}$ do
$$(x-a)(x-a-2)+1=(x-a-1{)}^2$$
$$(x-a)(x-a-1)(x-a-2)(x-a-3)+1={\left((x-a-1)(x-a-2)-1\right)}^2$$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. 1) Giả sử $ab$ là số chính phương, tức $ab=k^2$ với $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Đặt $g=\gcd (a,b)$, viết $a=gx,b=gy$ với $\gcd (x,y)=1$ và $x<y$ (vì $a<b$). Khi đó $ab=g^{2}xy=k^2$ suy ra $xy$ là số chính phương. Vì $x,y$ nguyên tố cùng nhau nên mỗi số $x,y$ đều là số chính phương: $x=u^2,y=v^2$ với $u<v$, tức $v\ge u+1$. Vậy $a=g{u}^2,b=g{v}^2$. Do $m^2<a$ nên $g{u}^2=a\ge m^2+1$, suy ra $gu\ge \sqrt{m^2+1}>m$, mà $gu$ nguyên nên $gu\ge m+1$. Do đó: $$b=g{v}^2\ge g(u+1{)}^2=g{u}^2+2gu+g\ge (m^2+1)+2(m+1)+1=m^2+2m+4>(m+1{)}^2.$$ Vậy $b>(m+1{)}^2$. Đpcm.

2) Trước tiên $a^b+b^a$ là tổng của hai số lẻ nên chẵn, tức $2\mid a^b+b^a$.
Xét tính chia hết cho $p$:
- Nếu $p\mid a$ thì từ $p\mid a+b$ suy ra $p\mid b$, khi đó $p\mid a^b+b^a$.
- Nếu $p\nmid a$: theo đề $p\mid a+b$ nên $b\equiv -a(\mathrm{mod}p)$. Khi đó $$a^b+b^a\equiv a^b+(-a{)}^a=a^b-a^a=a^a\left(a^{b-a}-1\right)(\mathrm{mod}p).$$ Vì $p$ nguyên tố và $p\nmid a$, theo Fermat nhỏ $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$. Mặt khác $(p-1)\mid (a-b)$ nên $(p-1)\mid (b-a)$; do đó $a^{b-a}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ (nếu $b\ge a$ rõ ràng; nếu $b<a$ thì $a^{a-b}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ rồi lấy nghịch đảo modulo $p$ của hai vế, vì $\gcd (a,p)=1$). Vậy $p\mid a^b+b^a$.

Kết hợp: $p\mid a^b+b^a$ và $2\mid a^b+b^a$, mà $\gcd (2,p)=1$ ($p$ nguyên tố lẻ), nên $2p\mid a^b+b^a$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng vì nếu $a=3m,b=3n$ thì $a+b=3(m+n)$ chia hết cho 3. B đúng vì hai tam giác bằng nhau có các cạnh tương ứng bằng nhau nên diện tích bằng nhau. C đúng vì số tận cùng bằng 0 chia hết cho 10, do đó chia hết cho 5. D sai vì một số chia hết cho 5 có thể tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5, ví dụ $15$ chia hết cho 5 nhưng tận cùng là 5. Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10: Xét từng mệnh đề. A sai vì tồn tại $x\in \mathbb{R}$ với $x<0$ (ví dụ $x=-1$). C sai vì tồn tại số hữu tỉ âm, ví dụ $x=-1\in \mathbb{Q}$ mà $-1<0$. D sai vì tồn tại số nguyên âm, ví dụ $x=-1\in \mathbb{Z}$ mà $-1<0$. B đúng vì tập số tự nhiên $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$, mọi phần tử đều $\ge 0$, nên $\forall x\in \mathbb{N},x\ge 0$ là mệnh đề đúng. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu $3+4=7$ là mệnh đề không chứa biến (mệnh đề đúng). Các câu A, B, C đều chứa biến $x$, nhưng trong các đáp án trắc nghiệm này, phát biểu mà tính đúng/sai phụ thuộc vào giá trị của biến $x$ là phương trình $2x^2-3x+1=0$ với $x\in \mathbb{R}$ (đúng với $x=1$ hoặc $x=\frac{1}{2}$, sai với $x$ khác). Đây là mệnh đề chứa biến theo nghĩa chuẩn của SGK. Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) là câu mệnh lệnh (Hãy đi nhanh lên!) nên không phải mệnh đề. Câu b) 'Hà Nội là thủ đô của Việt Nam' là mệnh đề đúng. Câu c) '$5+7+4=15$' là mệnh đề (sai, vì $5+7+4=16$, nhưng vẫn là mệnh đề). Câu d) 'Năm 2018 là năm nhuận' là mệnh đề (sai, vì 2018 không chia hết cho 4). Vậy có 3 câu là mệnh đề: b), c), d). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng câu: A sai vì ví dụ $a=-1\ge b=-2$ nhưng $a^2=1<b^2=4$. B đúng vì nếu $a=9k$ thì $a=3(3k)$, tức $a$ chia hết cho 3. C không phải mệnh đề đúng (kết quả phụ thuộc, không xác định được chân lý). D sai vì tam giác cân có một góc $60^{\circ }$ mới đều; tam giác vuông có góc $60^{\circ }$ không đều. Vậy câu đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề: A: $\pi <-2$ sai và ${\pi }^2<4$ cũng sai (vì ${\pi }^2\approx 9,87>4$), nên hai mệnh đề cùng sai, tương đương đúng. B: $\pi <4$ đúng và ${\pi }^2<16$ đúng (vì ${\pi }^2\approx 9,87<16$), tương đương đúng. C: $\sqrt{23}<5$ đúng (vì $23<25$) nhưng $2\sqrt{23}\approx 9,59<2,5$ sai, nên tương đương sai — mệnh đề này sai. D: $\sqrt{23}<5$ đúng, nhân hai vế với $-2$ (đổi chiều bất đẳng thức) được $-2\sqrt{23}>-10$; thực tế $-2\sqrt{23}\approx -9,59<-2,5$ đúng, nên tương đương đúng. Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A: Nếu $x>3$ thì $x^2>9$ (vì $x>3>0$ nên bình phương hai vế dương giữ nguyên chiều bất đẳng thức). Mệnh đề đúng.
- B: Sai, ví dụ $x=0>-3$ nhưng $0^2=0\ngtr 9$.
- C: Sai, ví dụ $x=-4$ có $x^2=16>9$ nhưng $x<3$.
- D: Sai, ví dụ $x=-4$ có $x^2=16>9$ nhưng $-4<-3$.
Vậy chỉ mệnh đề A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề "$\exists x\in \mathbb{R}|2x^2-3x-5<0$" là "$\forall x\in \mathbb{R}|2x^2-3x-5\ge 0$" (đổi $\exists$ thành $\forall$ và phủ định kết luận $<0$ thành $\ge 0$). Trong các phương án in trong tài liệu, biểu thức được in là $2x^2+3x-5$ (lỗi đánh máy của đề, giữ nguyên như bản in); phương án khớp về lượng từ và dấu bất đẳng thức là A: "$\forall x\in \mathbb{R}|2x^2+3x-5\ge 0$". Các phương án B sai dấu ($>0$ thay vì $\ge 0$), C và D sai lượng từ ($\exists$ thay vì $\forall$).

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề $\forall x\in \mathbb{R},x^2+x+5>0$ là $\exists x\in \mathbb{R},x^2+x+5\le 0$ (đổi $\forall$ thành $\exists$ và phủ định kết luận $>$ thành $\le$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề tồn tại "$\exists$ x $\in$ $\mathbb{Q}$: 2x^{2}-5x+2=0" là mệnh đề toàn phần với phủ định của kết luận: "$\forall$ x $\in$ $\mathbb{Q}$, 2x^{2}-5x+2 $\ne$ 0". Đây chính là đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng giá trị vào mệnh đề $P(x):x+15\le x^2$. Với $x=0$: $0+15=15\le 0$ sai. Với $x=3$: $3+15=18\le 9$ sai. Với $x=4$: $4+15=19\le 16$ sai. Với $x=5$: $5+15=20\le 25$ đúng. Vậy $P(5)$ là mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: $2x+1>0\iff x>-\frac{1}{2}$, nên với $x=-\frac{1}{4}$ ta có $2x+1>0$ nhưng $x<0$.
- B đúng: hai tam giác bằng nhau có các cạnh tương ứng bằng nhau, nên diện tích của chúng bằng nhau.
- C sai: nếu $c<0$ thì bất đẳng thức đổi chiều. Ví dụ $a=2>b=1$, $c=-1$ thì $a.c=-2<b.c=-1$.
- D sai: tứ giác có hai đường chéo vuông góc chưa chắc là hình thoi (cần thêm hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm); ví dụ một hình thang có hai đường chéo vuông góc nhưng không phải hình thoi.
Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $A\Rightarrow B$ có thể phát biểu là: 'Nếu $A$ thì $B$', '$A$ kéo theo $B$', '$A$ là điều kiện đủ để có $B$', hoặc '$B$ là điều kiện cần để có $A$'. Do đó phát biểu '$A$ là điều kiện cần để có $B$' (phương án D) không thể dùng để phát biểu mệnh đề $A\Rightarrow B$; đúng ra phải là '$B$ là điều kiện cần để có $A$'.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\sqrt{6}$ là số vô tỉ (6 không là số chính phương), nên mệnh đề '$\sqrt{6}$ không phải là số vô tỉ' SAI. b) $\Delta =3^2-4\cdot 5=9-20=-11<0$ nên phương trình $x^2+3x+5=0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$, mệnh đề ĐÚNG. c) Đồ thị $y=x^2$ là parabol có đỉnh $O(0;0)$, mệnh đề ĐÚNG. d) Tích hai số: $\sqrt{7+\sqrt{48}}\cdot \sqrt{7-\sqrt{48}}=\sqrt{49-48}=1$, và cả hai số đều dương, nên chúng là hai số nghịch đảo của nhau, mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{6}$ là số vô tỉ vì 6 không là số chính phương, nên khẳng định '$\sqrt{6}$ không phải là số vô tỉ' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =9-20=-11<0$ nên phương trình vô nghiệm trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=x^2$ là parabol đỉnh $O(0;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích hai số bằng $\sqrt{49-48}=1$ và cả hai đều dương, nên chúng nghịch đảo của nhau.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: ví dụ a=1, b=-2 thì a≥b nhưng 1<4. b) Đúng: a=9k=3(3k). c) Sai: tam giác vuông có góc 60° không đều. d) Đúng: a=ck, b=cm nên a+b=c(k+m).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phản ví dụ: a=1, b=-2 thì a≥b nhưng a²=1 < 4=b².
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu a chia hết cho 9 thì a=9k=3·(3k), nên a chia hết cho 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông có các góc 60°, 90°, 30° có một góc 60° nhưng không đều.
d) (AI giải đề cho tôi)
a=ck, b=cm nên a+b=c(k+m), chia hết cho c.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 43: a) Sai. Phủ định của P: '3 là số chính phương' là '3 không là số chính phương', không phải '3³ không là số chính phương' (đã thay 3 bằng 3³). b) Sai. Phủ định của 'Tam giác ABC là tam giác cân' là 'Tam giác ABC không là tam giác cân', không phải 'là tam giác vuông'. c) Đúng. Phủ định của '2^{2003}-1 là số nguyên tố' là '2^{2003}-1 không là số nguyên tố'. d) Đúng. Phủ định của '√2 là số vô tỉ' là '√2 là số hữu tỉ'.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của P: '3 là số chính phương' phải là '3 không là số chính phương'. Khẳng định đưa ra '3³ không là số chính phương' thay đối tượng 3 bằng 3³ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của Q: 'Tam giác ABC là tam giác cân' là 'Tam giác ABC không là tam giác cân', chứ không phải 'Tam giác ABC là tam giác vuông'.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của R: '2^{2003}-1 là số nguyên tố' đúng là '2^{2003}-1 không là số nguyên tố'.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của H: '√2 là số vô tỉ' đúng là '√2 là số hữu tỉ'.

(AI giải đề cho tôi)
Vì 6 = 2·3 và 2, 3 nguyên tố cùng nhau nên n chia hết cho 2 và 3 ⟺ n chia hết cho 6. a) Đúng: P⇔Q được phát biểu 'khi và chỉ khi'. b) Đúng: P⇔Q nghĩa là P là điều kiện cần và đủ để có Q. c) Đúng: n chia hết cho 2 và 3 (vì 2, 3 nguyên tố cùng nhau) suy ra n chia hết cho 6. d) Sai: vì P⇔Q là mệnh đề đúng (như c và chiều ngược lại cũng đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
P⇔Q được phát biểu đúng là 'n chia hết cho 2 và 3 khi và chỉ khi n chia hết cho 6'.
b) (AI giải đề cho tôi)
P⇔Q tương đương với việc P là điều kiện cần và đủ để có Q.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nếu n chia hết cho cả 2 và 3, do 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên n chia hết cho 6; mệnh đề P⇒Q đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
P⇔Q là mệnh đề đúng (cả P⇒Q và Q⇒P đều đúng), nên khẳng định 'P⇔Q là mệnh đề sai' là sai.