Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $P(x)$: '$\exists x\in \mathbb{Z}:x^2=1$'.

a) Thay $x=0$ ta được $0^2=0\ne 1$, nên $P(0)$ là mệnh đề SAI. Do đó khẳng định '$P(0)$ là mệnh đề SAI' là ĐÚNG.

b) Vì tồn tại $x=1\in \mathbb{Z}$ (hoặc $x=-1$) sao cho $x^2=1$, nên $P(x)$ là mệnh đề ĐÚNG. Khẳng định ĐÚNG.

c) Phát biểu bằng lời: 'có một số nguyên $x$ bình phương bằng 1' — đúng nghĩa của tồn tại $\exists$. Khẳng định ĐÚNG.

d) Phủ định của mệnh đề tồn tại là mệnh đề với lượng từ toàn phần và phủ định kết luận: $\overline{P(x)}$: '$\forall x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$'. Đề đưa ra '$\exists x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$' là SAI (chỉ đổi dấu bằng thành khác bằng mà không đổi lượng từ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$: $0^2=0\ne 1$, nên $P(0)$ là mệnh đề SAI; khẳng định 'P(0) là mệnh đề SAI' đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tồn tại $x=1\in \mathbb{Z}$ với $1^2=1$, nên $P(x)$ là mệnh đề ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phát biểu bằng lời 'có một số nguyên $x$ bình phương bằng 1' đúng nghĩa của $\exists x\in \mathbb{Z}:x^2=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định đúng phải là $\forall x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$ (đổi $\exists$ thành $\forall$), không phải $\exists x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
P(x): x > x³. a) P(1): 1 > 1 sai. b) P(1/3): 1/3 > 1/27 đúng. c) ∀x∈N, P(x) sai vì với x=2 ta có 2 > 8 sai. d) ∃x∈N, P(x): xét x=0: 0>0 sai; x=1: 1>1 sai; x≥2: x<x³ sai. Không tồn tại số tự nhiên x thỏa mãn, nên mệnh đề này SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(1): 1 > 1³ = 1 là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(1/3): 1/3 > (1/3)³ = 1/27 là đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì với x = 2 ∈ ℕ ta có 2 > 8 sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Không tồn tại x ∈ ℕ để x > x³: x=0 cho 0>0 sai, x=1 cho 1>1 sai, x≥2 cho x<x³. Vậy mệnh đề ∃x∈ℕ, P(x) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề gốc có dạng $A\Rightarrow B$ với $A$: "hai góc ở vị trí so le trong", $B$: "hai góc đó bằng nhau". Mệnh đề đảo là $B\Rightarrow A$: "Nếu hai góc bằng nhau thì hai góc đó ở vị trí so le trong". Đây chính là phương án A. (B là phủ định B, C là mệnh đề phản chứng $\overline{B}\Rightarrow \overline{A}$, D là $\overline{A}\Rightarrow \overline{B}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề $P\Rightarrow Q$ với $P$: "$x\in \mathbb{N},x>0$" và $Q$: "$x^2-9\le 0$". Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng khi $P$ sai hoặc $Q$ đúng. Vì đề xét các giá trị $x\in \mathbb{N},x>0$ nên $P$ đúng, khi đó mệnh đề đúng khi và chỉ khi $Q$ đúng: $x^2-9\le 0\iff -3\le x\le 3$. Kết hợp $x\in \mathbb{N},x>0$ ta được $x\in \{1;2;3\}$. Vậy có 3 giá trị của $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $\forall x\in \mathbb{R},x^2+2-a>0$ đúng khi và chỉ khi biểu thức $x^2+2-a>0$ với mọi $x$ thực. Vì $x^2\ge 0$ với mọi $x$ và giá trị nhỏ nhất $x^2=0$ đạt tại $x=0$, điều kiện cần và đủ là $2-a>0$, tức $a<2$. Các giá trị nguyên dương của $a$ thỏa mãn $a<2$ là $a=1$. Vậy có đúng 1 giá trị nguyên dương của $a$ để mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A: $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên mệnh đề đúng.
- B: Với mọi $n\in \mathbb{N}$ thì $n\ge 0$, không tồn tại $n<0$, mệnh đề sai.
- C: $x^2=2\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$ là số vô tỉ, không thuộc $\mathbb{Q}$, mệnh đề sai.
- D: Lấy $x=0\in \mathbb{Z}$ thì $\frac{1}{x}$ không xác định; lấy $x=-1$ thì $\frac{1}{x}=-1<0$, mệnh đề sai.
Vậy mệnh đề đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề đảo của từng phương án:
- A: Mệnh đề đảo là 'Nếu $tx=ty$ thì $x=y$'. Sai vì khi $t=0$ thì $tx=ty=0$ với mọi $x,y$, ví dụ $x=1,y=2$ thì $0=0$ nhưng $x\ne y$.
- B: Mệnh đề đảo là 'Nếu $x^3>y^3$ thì $x>y$'. Đúng vì hàm $f(t)=t^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên $x^3>y^3\iff x>y$.
- C: Mệnh đề đảo là 'Nếu số nguyên $n$ chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của $n$ bằng 9'. Sai vì $n=6$ chia hết cho 3 nhưng tổng chữ số bằng 6, không phải 9.
- D: Mệnh đề đảo là 'Nếu $x^2>y^2$ thì $x>y$'. Sai vì lấy $x=-2,y=1$ thì $4>1$ nhưng $-2<1$.
Vậy chỉ có mệnh đề ở phương án B có mệnh đề đảo đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A) Hình vuông là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau — đúng, vì hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì là hình vuông. B) Sai: ba đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm, chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$ (tính từ đỉnh), không phải tại trung điểm mỗi đường. C) Sai: tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông là giao các đường phân giác, không phải trung điểm cạnh huyền (trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp). D) Sai: ba đường cao đồng quy tại trực tâm, nhưng với tam giác tù trực tâm nằm ngoài tam giác. Vậy chỉ mệnh đề A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề $\forall x\in \mathbb{R},x^2-1>0$ là $\exists x\in \mathbb{R},x^2-1\le 0$ (đổi $\forall$ thành $\exists$ và phủ định bất đẳng thức $>$ thành $\le$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định đúng hay sai. a) "Cố lên, sắp đới rồi!" là câu cảm thán, không phải mệnh đề. b) "Số 15 là số nguyên tố" là mệnh đề (sai, vì $15=3\cdot 5$). c) "Tổng các góc của một tam giác là $180^{\circ }$" là mệnh đề (đúng). d) "$x$ có phải là số nguyên dương không?" là câu hỏi, không phải mệnh đề. Vậy có 2 mệnh đề, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì với $x=0$ ta có $x^2=0$, không thỏa $x^2>0$. b) Đúng, ví dụ $a=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$ thì $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$. c) Đúng vì $n^2+n+2=n(n+1)+2$, tích $n(n+1)$ của hai số nguyên liên tiếp luôn chẵn nên $n(n+1)+2$ chẵn, chia hết cho 2. d) Đúng: nếu $5\mid n^2$ thì $5$ là số nguyên tố chia hết $n^2=n\cdot n$ nên $5\mid n$, tức $n⋮5$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $x=0$ thì $x^2=0$, không thỏa mãn $x^2>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng, ví dụ $a=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$, khi đó $a^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì $n^2+n+2=n(n+1)+2$; $n(n+1)$ là tích hai số nguyên liên tiếp nên chẵn, cộng thêm 2 vẫn chẵn, do đó chia hết cho 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: nếu $n^2⋮5$ thì vì 5 là số nguyên tố và $5\mid n\cdot n$ nên $5\mid n$, tức $n⋮5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề "Mọi động vật đều di chuyển" có dạng $\forall x,P(x)$ với $P(x)$: "x di chuyển". Theo quy tắc phủ định mệnh đề chứa lượng từ: phủ định của "Mọi $x$ đều có tính chất $P$" là "Tồn tại (có ít nhất một) $x$ không có tính chất $P$", tức $\neg (\forall x,P(x))\iff \exists x,\neg P(x)$. Do đó phủ định của mệnh đề đã cho là "Có ít nhất một động vật không di chuyển". Các phương án A, B là mệnh đề mang lượng từ "mọi" nên không phải phủ định; D là mệnh đề cùng chiều với mệnh đề gốc. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng câu: a) "Có lên, sắp đối rồi!" là câu cảm thán, không phải mệnh đề. b) "Số 15 là số nguyên tố" là mệnh đề (sai, vì $15=3\cdot 5$). c) "Tổng các góc của một tam giác là $180^{\circ }$" là mệnh đề (đúng). d) "$x$ là số nguyên dương" chứa biến $x$, không xác định đúng/sai, không phải mệnh đề. Vậy có 2 câu là mệnh đề, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P$: 'Số 6 chia hết cho 2', $Q$: 'Số 6 chia hết cho 3'. Mệnh đề đã cho là $P\wedge Q$. Phủ định của nó là $\overline{P\wedge Q}=\overline{P}\vee \overline{Q}$, tức 'Số 6 không chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3'. Đáp án khớp là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng câu: A sai vì ví dụ $a=1,b=-2$: $a\ge b$ nhưng $a^2=1<4=b^2$. B đúng vì nếu $a=9k$ thì $a=3(3k)$, tức $a$ chia hết cho 3. C không phải mệnh đề đúng (kết quả phụ thuộc thực tế, không chứng minh được luôn đúng). D sai vì tam giác có một góc $60^{\circ }$ chưa chắc đều (ví dụ tam giác có các góc $60^{\circ },50^{\circ },70^{\circ }$). Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề $\forall x\in \mathbb{R},x^2+x+1>0$ là $\exists x\in \mathbb{R},x^2+x+1\le 0$ (đổi $\forall$ thành $\exists$ và phủ định kết luận $>$ thành $\le$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $n$ chia hết cho 2 và 3 (với 2, 3 nguyên tố cùng nhau) khi và chỉ khi $n$ chia hết cho $2\cdot 3=6$, nên $P\iff Q$ là mệnh đề đúng. a) Đúng: đó chính là cách phát biểu $P\iff Q$ bằng 'khi và chỉ khi'. b) Đúng: $P\iff Q$ đúng nghĩa $P$ là điều kiện cần và đủ của $Q$. c) Đúng: nếu $n$ chia hết cho 2 và 3 thì $n$ chia hết cho 6. d) Sai: vì $P\iff Q$ là mệnh đề đúng, không phải sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P\iff Q$ được phát biểu '$n$ chia hết cho 2 và 3 khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 6' — đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P\iff Q$ đúng nghĩa '$P$ là điều kiện cần và đủ để $Q$' — đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$n$ chia hết cho cả 2 và 3 (hai số nguyên tố cùng nhau) nên $n$ chia hết cho 6; mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P\iff Q$ là mệnh đề đúng nên khẳng định nó sai là sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: ∀x∈ℝ phát biểu là 'tất cả các số thực x' và x²−x+1>0 nghĩa là x²−x+1 dương. b) Sai: phủ định của ∀ là ∃ và đổi dấu > thành ≤, nên phải là ∃x∈ℝ, x²−x+1≤0, không phải >0. c) Đúng: phủ định đúng của P là ∃x∈ℝ, x²−x+1≤0. d) Đúng: x²−x+1 = (x−1/2)²+3/4 ≥ 3/4 > 0 với mọi x, nên P là mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
∀x∈ℝ, x²−x+1>0 phát biểu bằng lời: 'Tất cả các số thực x đều thỏa mãn x²−x+1 dương'.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của P là ∃x∈ℝ, x²−x+1≤0, không phải x²−x+1>0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định đúng: ∃x∈ℝ, x²−x+1≤0.
d) (AI giải đề cho tôi)
x²−x+1=(x−1/2)²+3/4>0 với mọi x∈ℝ nên P đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 51.

a) Mệnh đề $A$: "$\forall x\in \mathbb{R},x^2-3x=5$". Phủ định của mệnh đề chứa lượng từ "$\forall$" là mệnh đề chứa lượng từ "$\exists$" với kết luận bị phủ định:
$$\overline{A}:\exists x\in \mathbb{R},x^2-3x\ne 5.$$

b) Mệnh đề $B$: "Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau." Đây là mệnh đề có dạng "$P\Rightarrow Q$" (nếu một tam giác là tam giác đều thì nó có ba cạnh bằng nhau). Phủ định của "$P\Rightarrow Q$" là "$P\wedge \overline{Q}$", nên:
$$\overline{B}:\text{Toˆˋn tại một tam giaˊc đeˆˋu khoˆng coˊ ba cạnh ba˘ˋng nhau.}$$

(cách phát biểu khác: "Có một tam giác đều mà ba cạnh của nó không cùng bằng nhau.")

c) Mệnh đề "$A\iff B$" (mệnh đề tương đương) có các cách phát biểu:
- "$A$ khi và chỉ khi $B$";
- "$A$ là điều kiện cần và đủ để có $B$";
- "$B$ là điều kiện cần và đủ để có $A$";
- "$A$ nếu và chỉ nếu $B$";
- "$A$ tương đương với $B$".

Ngoài ra, "$A\iff B$" đúng khi cả "$A\Rightarrow B$" và "$B\Rightarrow A$" cùng đúng, tức là $A$ và $B$ cùng đúng hoặc cùng sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định đúng hay sai. Câu A, B, D đều là các khẳng định có thể xét đúng/sai. Câu C 'Hôm nay trời nóng quá!' là câu cảm thán, không phải mệnh đề.