Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định đúng hay sai. Các phát biểu A, B, C đều là câu khẳng định nên là mệnh đề. Phát biểu D 'Thương Làng Nù quá!' là câu cảm thán, không phải mệnh đề.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (đúng/sai): a) Sai vì $\pi \approx 3,1416>3$. b) Đúng: khi $T\subset S$, phần bù của $T$ trong $S$ chính là $S\setminus T=C_{S}T$. c) Sai: phương trình $x^2+2=0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$ (vì $x^2=-2<0$), nên mệnh đề $\exists x\in \mathbb{R}:x^2+2=0$ là mệnh đề sai. d) Đúng: $\Delta =1^2-4\cdot 12=-47<0$ nên phương trình $x^2+x+12=0$ vô nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $\pi \approx 3,1416>3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: khi $T\subset S$ thì $S\setminus T=C_{S}T$ theo định nghĩa phần bù của $T$ trong $S$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai: $x^2+2=0\iff x^2=-2<0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$, nên mệnh đề tồn tại này sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $\Delta =1-48=-47<0$ nên phương trình vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ (với P: “Tứ giác $T$ là hình thoi”, Q: “Tứ giác $T$ là hình vuông”) được phát biểu là: “P là điều kiện đủ để có Q” hay “Q là điều kiện cần để có P”. Do đó $P\Rightarrow Q$ nghĩa là “Tứ giác $T$ là hình thoi là điều kiện đủ để $T$ là hình vuông”. Phương án A nói điều kiện đủ của Q (tức $Q\Rightarrow P$), B nói điều kiện cần của P (cũng là $Q\Rightarrow P$), D nói điều kiện cần và đủ. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $A$ đúng khi $x^2-5x+4=0$, tức $(x-1)(x-4)=0$ nên $x=1$ hoặc $x=4$ (cả hai đều thuộc $\mathbb{R}$). Tổng các giá trị của $x$ là $1+4=5$ (cũng đúng theo định lý Vi-ét: tổng hai nghiệm bằng $-b/a=5$).

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề $\forall x\in \mathbb{Q},x^2>\frac{1}{x}$ là $\exists x\in \mathbb{Q},x^2\le \frac{1}{x}$: đổi lượng tử $\forall$ thành $\exists$, giữ tập xác định $\mathbb{Q}$ và đổi dấu so sánh $>$ thành $\le$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định đúng hoặc sai. A và B là câu cảm thán, D là câu hỏi, đều không phải mệnh đề. C là câu khẳng định 'Hà Nội là thủ đô của Việt Nam' và có thể xác định đúng/sai (đúng), nên C là mệnh đề.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng giá trị: $P(1)$: $1+10=11\le 1$ sai. $P(2)$: $12\le 4$ sai. $P(3)$: $13\le 9$ sai. $P(4)$: $4+10=14\le 16$ đúng. Vậy mệnh đề đúng là $P(4)$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A) $\exists n\in \mathbb{N}:n-3\ne 0$ đúng, ví dụ $n=0$ thì $0-3=-3\ne 0$. B) Sai vì $x=0$ thì $x^2=0\ngtr 0$. C) Sai vì $a=1,b=-2$: $a\ge b$ nhưng $a^2=1<4=b^2$. D) Sai vì $a=3$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. Vậy mệnh đề đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề $\exists n\in \mathbb{N}\mid n^2-n-1<0$ là $\forall n\in \mathbb{N}\mid n^2-n-1\ge 0$ (đổi $\exists$ thành $\forall$ và phủ định bất đẳng thức $<$ thành $\ge$). Vậy đáp án C.

(1) Đặt $S(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{2026}$. Gọi $A$ là tập các chỉ số $i$ sao cho $a_i=3$. Khi đó $|A|=m$ và
$$P(x)=2S(x)+\sum _{i\in A}{x}^i.$$
Để ý $x^3\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^2+x+1)$, suy ra
$$S(x)\equiv 1+x(\mathrm{mod}{x}^2+x+1).$$
Nếu $m=0$ thì $P(x)=2S(x)$, do đó $P(x)\equiv 2+2x\not\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^2+x+1)$, vô lý.
Nếu $m=1$, giả sử hệ số duy nhất bằng 3 là $a_k$. Khi đó
$$P(x)=2S(x)+x^k\equiv \{\begin{array}{ll}3+2x,& k\equiv 0(\mathrm{mod}3)\\ 2+3x,& k\equiv 1(\mathrm{mod}3)\\ 2+2x+x^2\equiv 1+x,& k\equiv 2(\mathrm{mod}3)\end{array}$$
Vì vậy ta suy ra được $m\ne 0$ và $m\ne 1$.
(2) Giả sử $r$ là một nghiệm nguyên của $P(x)$ thì $r<0$, khi đó $r\mid a_0$, mà $a_0\in \{2,3\}$. Do đó
$$r\in \{-1,-2,-3\}.$$
Ta sẽ chứng minh $r\notin \{-2,-3\}$. Nếu $r=-2$ thì
$$0=P(-2)=a_{2026}{4}^{1013}+\sum _{j=0}^{1012}(a_{2j}-2a_{2j+1})4^j.$$
Suy ra $a_{2026}{4}^{1013}={\sum }_{j=0}^{1012}(2a_{2j+1}-a_{2j})4^j$. Vì $a_i\in \{2,3\}$ nên $2a_{2j+1}-a_{2j}\le 4$. Do đó
$$a_{2026}{4}^{1013}\le 4\sum _{j=0}^{1012}{4}^j=\frac{4(4^{1013}-1)}{3}<2\cdot 4^{1013}$$
mâu thuẫn với $a_{2026}\ge 2$. Tương tự, nếu $r=-3$ thì
$$a_{2026}{9}^{1013}=\sum _{j=0}^{1012}(3a_{2j+1}-a_{2j})9^j\le 7\sum _{j=0}^{1012}{9}^j=\frac{7(9^{1013}-1)}{8}<2\cdot 9^{1013}$$
vì $3a_{2j+1}-a_{2j}\le 7$, điều này mâu thuẫn với $a_{2026}\ge 2$.
Vậy nghiệm nguyên duy nhất có thể có là $r=-1$, từ đây dễ ý $P(-1)\equiv m(\mathrm{mod}2)$ nên $m$ chẵn.

a) Giả sử $q>3$ là một ước nguyên tố của $A=u^2-uv+v^2$. Vì $(u,v)=1$, ta có $q\nmid u$ và $q\nmid v$.
Khi đó tồn tại $v^{-1}$ sao cho $v\cdot v^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}q)$, và đặt $t\equiv u{v}^{-1}(\mathrm{mod}q)$ để suy ra được
$$t^2-t+1\equiv 0(\mathrm{mod}q)$$
Do đó $t^3\equiv -1(\mathrm{mod}q)$. Nếu $t\equiv -1(\mathrm{mod}q)$ thì $t^2-t+1\equiv 3(\mathrm{mod}q)$, vô lý vì $q>3$.
Vì vậy ${\mathrm{ord}}_{q}t=6$, và theo Fermat nhỏ thì $q-1$ chia hết cho 6 nên $q=6k+1$ với $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b) Để ý $2027\mid 2089^y-62^y$ nên $2027\mid x^6+70^6$. Theo bổ đề quen thuộc về số nguyên tố $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$, ta có $x^3$ và $70^3$ đều chia hết cho 2027, tức là 70 chia hết cho 2027, vô lý.
Do đó không tồn tại các số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

a) Gọi $S$ là tổng bình phương của 2026 số đang có trên bảng.

Ta sẽ chứng minh sau mỗi thao tác, $S$ đều giảm một số nguyên dương.

Xét hai số được chọn là $a,b$ và đặt $d=|a-b|>70$, nên $d\ge 71$.

Nếu $a+b$ chẵn thì hai số mới đều bằng $\frac{a+b}{2}$. Khi đó phần giảm của $S$ là

$$a^2+b^2-2{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{(a-b{)}^2}{2}>0.$$

Nếu $a+b$ lẻ thì hai số mới là $\frac{a+b-1}{2}$ và $\frac{a+b+1}{2}$. Khi đó phần giảm của $S$ là

$$a^2+b^2-{\left(\frac{a+b-1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a+b+1}{2}\right)}^2=\frac{(a-b{)}^2-1}{2}>0.$$

Vì tất cả các số trên bảng đều nguyên nên $S$ luôn là một số nguyên không âm. Do đó $S$ không thể giảm ngắt vô hạn lần. Suy ra quá trình phải dừng sau hữu hạn bước.

b) Khi quá trình dừng, với mỗi hai số $a,b$ trên bảng ta có $|a-b|\le 70$. Gọi $m$ là số nhỏ nhất trên bảng. Khi đó mọi số trên bảng đều thuộc tập $\{m,m+1,\dots ,m+70\}$, gồm đúng 71 giá trị nguyên.

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 2026 số phải có ít nhất $\lceil \frac{2026}{71}\rceil =29$ số bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mệnh đề A và B tương đương ($A⟺B$) khi và chỉ khi chúng có cùng giá trị chân lý: cùng đúng hoặc cùng sai. Xét các phương án:
- Phương án A: "A và B là hai mệnh đề sai" → A và B cùng sai, do đó $A⟺B$ là mệnh đề đúng.
- Phương án B: chỉ biết A đúng, chưa biết B → không kết luận được $A⟺B$.
- Phương án C: chỉ biết B sai, chưa biết A → không kết luận được.
- Phương án D: A và B chỉ có một mệnh đề đúng → chúng khác giá trị chân lý, khi đó $A⟺B$ là mệnh đề sai.
Vậy trường hợp làm mệnh đề "A tương đương với B" đúng là khi A và B cùng sai (hoặc cùng đúng, nhưng không có phương án đó). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề $A:\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$ là $\overline{A}:\exists x\in \mathbb{R},x^2<0$ (đổi lượng từ $\forall$ thành $\exists$ và phủ định kết luận $x^2\ge 0$ thành $x^2<0$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề P có dạng $A\Rightarrow B$ với A: “một tam giác có 2 góc có số đo bằng nhau”, B: “tam giác đó là tam giác cân”. Mệnh đề đảo là $B\Rightarrow A$: “Nếu một tam giác là tam giác cân thì nó có 2 góc có số đo bằng nhau”. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề “Mọi số tự nhiên đều là số hữu tỉ” chứa lượng từ toàn thể “mọi”, nên được viết dưới dạng: với mọi $n\in \mathbb{N}$ thì $n\in \mathbb{Q}$, tức là $\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow n\in \mathbb{Q}$. Do đó đáp án đúng là A. Các phương án B, D dùng lượng từ tồn tại $\exists$ sai; phương án C dùng phép tương đương $\iff$ sai vì số hữu tỉ không nhất thiết là số tự nhiên.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $A$: "$\forall x\in \mathbb{N},x\ge 0$" phát biểu rằng với mọi số $x$ thuộc tập hợp các số tự nhiên, ta đều có $x\ge 0$, tức là mọi số tự nhiên đều không âm (vì $x\ge 0$ nghĩa là $x$ không âm, bao gồm cả $x=0$). Do đó mệnh đề được hiểu là "Mọi số tự nhiên đều không âm". Phương án A, B sai vì $x\ge 0$ cho phép $x=0$ (số 0 không phải số dương). Phương án D nói "Số tự nhiên là số không âm" cũng gần đúng về nội dung nhưng cách phát biểu chuẩn khớp với lượng từ "$\forall$" (mọi) là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề P: "số 3 là số nguyên tố" là không P: "số 3 không là số nguyên tố". Các phương án A, B, D không phải phủ định của P. Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $n\in \mathbb{N}$, các giá trị hợp lệ là $n=0,1,2,\dots$ (loại A, B vì $-1,-2\notin \mathbb{N}$). Xét $P(1)$: $2(1)-3=-1<0$ đúng. Xét $P(2)$: $2(2)-3=1>0$ sai. Vậy mệnh đề đúng là $P(1)$, chọn C.