Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu:
- A sai: Qua ba điểm không thẳng hàng chỉ có duy nhất một mặt phẳng (hệ tiên đề về mặt phẳng).
- B sai: Qua hai điểm phân biệt có vô số mặt phẳng (chỉ khi có thêm điểm thứ ba không thẳng hàng mới xác định duy nhất một mặt phẳng).
- C đúng: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì giao của chúng là một đường thẳng đi qua điểm đó, nên chúng có vô số điểm chung. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì cũng có vô số điểm chung. Vậy phát biểu C đúng.
- D sai: Trong không gian, một đường thẳng và một mặt phẳng có thể có vô số điểm chung (khi đường thẳng nằm trong mặt phẳng), nên không phải tối đa một điểm chung.
Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề về giao của hai mặt phẳng: nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có đúng một đường thẳng chung đi qua điểm đó, và mọi điểm chung của chúng đều nằm trên đường thẳng đó (giao tuyến). Vậy tất cả các điểm chung nằm trên một đường thẳng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề về mặt phẳng, qua ba điểm không thẳng hàng luôn có đúng một mặt phẳng, nên một mặt phẳng được xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng. Các phương án khác sai: bốn điểm không thẳng hàng có thể không cùng thuộc một mặt phẳng; một điểm và một đường thẳng chỉ xác định mặt phẳng khi điểm không nằm trên đường thẳng; hai đường thẳng chỉ xác định mặt phẳng khi chúng cắt nhau hoặc song song.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A\in (P)$ và $B\notin (P)$, đường thẳng $d=AB$ không nằm trong $(P)$ (nếu $d\subset (P)$ thì $B\in (P)$, mâu thuẫn). Do đó $d$ cắt $(P)$ tại đúng một điểm là $A$. Nếu $d$ có thêm một điểm chung khác với $(P)$ thì $d\subset (P)$, vô lý. Vậy $d$ và $(P)$ có đúng một điểm chung.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M\in a\subset (P)$ và $M\in b\subset (Q)$ nên $M\in (P)\cap (Q)=d$. Đồng thời $N\in a\cap d\subset d$ và $K\in d\cap b\subset d$. Vậy cả ba điểm $M,N,K$ đều thuộc giao tuyến $d$, tức là ba điểm thẳng hàng. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ba điểm $M,N,K$ đều thuộc mặt phẳng $(P)$ (vì là giao điểm của các đường thẳng với $(P)$). Đồng thời, $M\in AB$, $N\in AC$, $K\in BC$ nên cả ba điểm đều thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(ABC)$ phân biệt (vì $A,B,C$ không nằm trong $(P)$) và có điểm chung (ví dụ $M$), nên chúng cắt nhau theo một giao tuyến là một đường thẳng. Ba điểm $M,N,K$ thuộc giao tuyến này nên thẳng hàng. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hình tứ diện $ABCD$ là hình được tạo bởi bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng, với bốn mặt là các tam giác $ABC,ABD,ACD,BCD$. Do đó khẳng định đúng là bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Các phương án A và D sai vì trong tứ diện, hai đường thẳng chéo nhau như $AB$ với $CD$, $AC$ với $BD$ không cắt nhau (chúng không đồng phẳng). Phương án C sai vì nếu bốn điểm thẳng hàng thì chúng đồng phẳng, mâu thuẫn với định nghĩa tứ diện.

(AI giải đề cho tôi)
Hình tứ diện có 4 đỉnh không đồng phẳng, mỗi mặt được xác định bởi 3 đỉnh, nên mỗi mặt là một tam giác. Vậy các mặt của hình tứ diện là tam giác.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAO)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $O$ (vì $O\in BD$ nên $O\in (SBD)$, và $O\in (SAO)$ theo định nghĩa). Hai điểm phân biệt $S$, $O$ chung của hai mặt phẳng nên giao tuyến là đường thẳng $SO$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng — hai đường thẳng song song luôn đồng phẳng và xác định duy nhất một mặt phẳng. B đúng — nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì theo tiên đề chúng cắt nhau theo một đường thẳng đi qua điểm đó, nên có vô số điểm chung. C đúng — tồn tại 4 điểm không đồng phẳng (ví dụ 4 đỉnh không cùng mặt của một hình lập phương). D sai — qua 3 điểm chỉ xác định duy nhất một mặt phẳng khi ba điểm đó không thẳng hàng; nếu ba điểm thẳng hàng thì qua chúng có vô số mặt phẳng. Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $S$; mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $AB$, mặt phẳng $(SCD)$ chứa đường thẳng $CD$, với $AB\parallel CD$. Theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng: nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song và có một điểm chung thì giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua điểm chung đó và song song với hai đường thẳng đã cho. Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$ (tức song song với $CD$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ là trung điểm của $AD,BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$, do đó $IJ\parallel AB\parallel CD$. Mặt phẳng $(IJG)$ chứa $IJ$ và điểm $G$, nên nó chứa đường thẳng $d$ qua $G$ song song với $IJ$, tức $d\parallel AB\parallel CD$. Vì $G\in (SAB)$ và đường thẳng qua $G$ song song với $AB$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ (do $AB\subset (SAB)$), nên $d\subset (SAB)$. Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(IJG)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $CD$ (cũng song song với $AB$). Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P\in AB\subset (ABC)$, $R\in BC\subset (ABC)$ nên $PR\subset (ABC)$. Vì $PR\parallel AC$ và $AC\subset (ACD)$, $PR\not\subset (ACD)$ nên $PR\parallel (ACD)$. Hai mặt phẳng $(PQR)$ và $(ACD)$ có điểm chung $Q\in CD$. Mặt phẳng $(PQR)$ chứa đường thẳng $PR$ song song với $(ACD)$, theo định lý về giao tuyến, giao tuyến $Qx$ của $(PQR)$ và $(ACD)$ đi qua $Q$ và song song với $PR$, tức là $Qx\parallel AC$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MN\parallel BC$.

Xét mặt phẳng $(DMN)$: đường thẳng $BC$ không nằm trong $(DMN)$ (vì $B,C$ không thuộc $(DMN)$) và $BC\parallel MN$ với $MN\subset (DMN)$, do đó $BC\parallel (DMN)$.

Hai mặt phẳng $(DMN)$ và $(DBC)$ có điểm chung $D$, nên chúng cắt nhau theo giao tuyến $d$ đi qua $D$. Mặt khác $(DBC)$ chứa đường thẳng $BC\parallel (DMN)$, nên giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng này song song với $BC$: $d\parallel BC$.

Vì $d\parallel BC$, $BC\subset (ABC)$ mà $d$ đi qua $D\notin (ABC)$ nên $d\not\subset (ABC)$. Suy ra $d\parallel (ABC)$.

Vậy $d$ song song với mặt phẳng $(ABC)$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề của Câu 37:
- A sai: ba điểm phải phân biệt và không thẳng hàng mới xác định một mặt phẳng; nếu ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua chúng.
- B đúng: hai đường thẳng cắt nhau (phân biệt) xác định một mặt phẳng duy nhất chứa cả hai, nên mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết hai đường thẳng cắt nhau nằm trong nó.
- C sai: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ các cạnh của hình chóp đều song song với mặt đáy theo nhiều vị trí khác nhau).
- D sai: hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau có thể cắt nhau (nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba), song song hoặc chéo nhau.
Vậy mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hình lăng trụ có hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song (A đúng); các mặt bên là hình bình hành (B đúng); hình hộp là lăng trụ có đáy là hình bình hành (C đúng). Các mặt bên của hình lăng trụ chỉ là các hình bình hành nói chung, không nhất thiết bằng nhau (ví dụ lăng trụ xiên có các mặt bên là hình bình hành có kích thước khác nhau), nên khẳng định D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hình lăng trụ: hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau (A đúng), các mặt bên là hình bình hành (B đúng). Hình hộp là lăng trụ có đáy là hình bình hành (C đúng). Các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành nói chung không bằng nhau (chỉ lăng trụ đều mới có mặt bên là hình vuông bằng nhau), nên khẳng định D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 60: a) Đúng — đây là tiên đề về mặt phẳng: qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. b) Sai — nếu điểm nằm trên đường thẳng thì có vô số mặt phẳng đi qua cả hai; chỉ khi điểm không thuộc đường thẳng thì mới có duy nhất một mặt phẳng. c) Đúng — hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai. d) Đúng — nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có duy nhất một đường thẳng chung đi qua điểm đó, gọi là giao tuyến (nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì không áp dụng, nhưng mệnh đề nói về hai mặt phẳng có một điểm chung theo nghĩa phân biệt).
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề: qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu điểm nằm trên đường thẳng thì có vô số mặt phẳng đi qua cả hai; mệnh đề chỉ đúng khi điểm không thuộc đường thẳng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có duy nhất một đường thẳng chung là giao tuyến của chúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: IJ là đường trung bình của tam giác SAB nên IJ ∥ AB ∥ CD và IJ = AB/2 ≠ CD (vì ABCD là hình bình hành, AB = CD nhưng IJ = CD/2). Tứ giác IJCD có IJ ∥ CD và IJ ≠ CD nên là hình thang.
b) Đúng: I ∈ SA ⊂ (SAB) và I ∈ (IBC); B ∈ (SAB) và B ∈ (IBC). Hai mặt phẳng có hai điểm chung I, B nên giao tuyến là IB.
c) Sai: D ∈ (SBD) ∩ (ICD) nhưng J ∈ SB không thuộc mặt phẳng (ICD) (vì (ICD) chỉ chứa I, C, D và J không nằm trên đường thẳng nào tạo nên mặt đó một cách hiển nhiên; J không là điểm chung của hai mặt phẳng). Giao tuyến của (SBD) và (ICD) đi qua D và một điểm chung khác (không phải J), do đó không thể là JD.
d) Sai: O = AC ∩ BD nên O ∈ (IAC) và O ∈ (JBD), tức O là điểm chung. Nhưng A ∈ (IAC) còn A ∉ (JBD) (A không thuộc mặt phẳng (JBD) vì A không nằm trên BD và J không thuộc (ABD) một cách tổng quát). Giao tuyến của (IAC) và (JBD) đi qua O và một điểm chung khác, không phải đường thẳng AO.
a) (AI giải đề cho tôi)
IJ ∥ AB ∥ CD, IJ = AB/2 ≠ CD nên IJCD là hình thang.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có chung hai điểm I, B nên giao tuyến là IB.
c) (AI giải đề cho tôi)
J ∈ SB không thuộc (ICD), nên J không là điểm chung; giao tuyến không phải JD.
d) (AI giải đề cho tôi)
A ∈ (IAC) nhưng A ∉ (JBD), nên giao tuyến không phải AO; chỉ có O là điểm chung xác định.