Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

Ký hiệu diễn đạt mệnh đề mặt phẳng $(P)$ chứa điểm $A$ là $A\in (P)$.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$:

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $O=AC\cap BD$.

Vì $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$ nên điểm $O$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.

Mặt khác, điểm $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

b) Xác định giao điểm của đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ADM)$:

Trong mặt phẳng $(SBC)$, qua điểm $M$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, đường thẳng này cắt cạnh $SB$ tại điểm $H$.

Vì điểm $M$ là trung điểm của cạnh $SC$ nên đoạn thẳng $MH$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, suy ra điểm $H$ là trung điểm của cạnh $SB$.

Vì hình bình hành $ABCD$ có $BC\parallel AD$ nên $MH\parallel AD$.

Do $AD\subset (ADM)$ và $M\in (ADM)$ nên đường thẳng $MH$ nằm trong mặt phẳng $(ADM)$.

Từ đó suy ra điểm $H$ thuộc mặt phẳng $(ADM)$.

Vậy giao điểm của đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ADM)$ là điểm $H$ (chính là trung điểm của đoạn thẳng $SB$).

a) Trình bày cách xác định điểm $K$:

Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $J=BI\cap CD$.

Xét mặt phẳng $(ABJ)$, hai điểm chung của hai mặt phẳng $(ABJ)$ và $(ACD)$ là điểm $A$ và điểm $J$ (do $J\in CD\subset (ACD)$), suy ra giao tuyến là đường thẳng $AJ$.

Trong mặt phẳng $(ABJ)$, qua điểm $I$ kẻ đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $AB$, đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $AJ$ tại điểm $K$.

Vì $K\in AJ\subset (ACD)$ nên điểm $K$ chính là giao điểm của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(ACD)$.

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(DIK)$:

Hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(DIK)$ có điểm chung là điểm $D$.

Mặt khác, đường thẳng $IK$ nằm trong mặt phẳng $(DIK)$, đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$ và $IK\parallel AB$.

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(DIK)$ là đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $D$ và song song với đường thẳng $AB$ (hoặc song song với đường thẳng $IK$).

Trong tam giác $SBC$, hai điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,SC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BC$.

Mặt phẳng $(AMN)$ chứa đường thẳng $MN\parallel BC$ và cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại điểm chung $A$, do đó giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $Ax$ đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $BC$.

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $Q=Ax\cap CD$.

Tứ giác $ABCQ$ có $AB\parallel CQ$ và $AQ\parallel BC$ nên là hình bình hành, suy ra $CQ=AB$.

Vì $AB=2CD$ và điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $CQ$ nên điểm $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $QC$.

Trong mặt phẳng $(SCD)$, giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $QN$.

Gọi $P=QN\cap SD$, khi đó điểm $P$ chính là giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(AMN)$.

Xét tam giác $SQC$:

Đoạn thẳng $QN$ là đường trung tuyến do điểm $N$ là trung điểm của cạnh $SC$.

Đoạn thẳng $SD$ là đường trung tuyến do điểm $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $QC$.

Vì $P=QN\cap SD$ nên điểm $P$ là trọng tâm của tam giác $SQC$.

Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có:

$$\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}$$

Số mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm không đồng phẳng $A,B,C,D$ là 4 mặt phẳng, gồm $(ABC),(ABD),(ACD),(BCD)$.

Khẳng định sai là C vì qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó mới xác định duy nhất một mặt phẳng.

Hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(CDA)$ có hai điểm chung phân biệt là $A$ và $C$, do đó giao tuyến là đường thẳng $AC$.

Trong tam giác $ABD$, đoạn thẳng $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel BD$. Hai mặt phẳng $(CMN)$ và $(BCD)$ có điểm chung $C$, lần lượt chứa hai đường thẳng song song $MN$ và $BD$, nên giao tuyến của chúng đi qua điểm $C$ và song song với đường thẳng $BD$.

Điểm $E=AD\cap BC$ nên $E\in AD\subset (SAD)$ và $E\in BC\subset (SBC)$. Điểm $S$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$. Do đó đường thẳng $SE$ là giao tuyến của cặp mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.

Bể cá dạng hình hộp chữ nhật không nắp có 4 mép tiếp xúc giữa đáy với 4 mặt bên và 4 mép đứng tiếp xúc giữa các mặt bên kề nhau. Tổng số mép nối cần dán keo là $4+4=8$.

a) Sai. Nếu đường thẳng $a$ chứa một điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ thì đường thẳng $a$ có thể cắt $(\alpha )$ tại điểm đó, không nhất thiết đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha )$.

b) Đúng. Nếu đường thẳng $a$ chứa hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ thì đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha )$.

c) Đúng. Giao điểm nếu có của hai đường thẳng $a$ và $b$ thuộc đường thẳng $a\subset (\alpha )$ nên điểm đó cũng nằm trong $(\alpha )$.

d) Sai. Đường thẳng $b$ có thể cắt mặt phẳng $(\alpha )$ tại giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$, do đó đường thẳng $b$ không nhất thiết nằm trong $(\alpha )$.
a) Sai. Nếu đường thẳng $a$ chứa một điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ thì đường thẳng $a$ có thể cắt $(\alpha )$ tại điểm đó, không nhất thiết đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha )$.
b) Đúng. Nếu đường thẳng $a$ chứa hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ thì đường thẳng $a$ nằm trong $(\alpha )$.
c) Đúng. Giao điểm nếu có của hai đường thẳng $a$ và $b$ thuộc đường thẳng $a\subset (\alpha )$ nên điểm đó cũng nằm trong $(\alpha )$.
d) Sai. Đường thẳng $b$ có thể cắt mặt phẳng $(\alpha )$ tại giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$, do đó đường thẳng $b$ không nhất thiết nằm trong $(\alpha )$.

Hai điểm $S$ và $C$ cùng thuộc hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SCD)$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng là $SC$. Chọn A.

$S$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$; $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ và $S\notin AB$ nên giao tuyến $d$ đi qua $S$ và song song với $AB$, $DC$. Chọn D.

a) Đúng. $H\in SA$ và $SA\subset (SAB)$ nên $H\in (SAB)$.

b) Đúng. $H\in SA$, $K\in SB$ nên $H,K$ cùng thuộc $(SAB)$, do đó $HK\subset (SAB)$.

c) Sai. $HK$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $HK\parallel AB$. Mà $AB\parallel CD$ nên $HK\parallel CD$, do đó $HK$ và $CD$ không cắt nhau.

d) Đúng. $S$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$; $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ và $S\notin AB$ nên giao tuyến $d$ đi qua $S$ và $d\parallel AB$. Mà $HK\parallel AB$ và $HK$ không đi qua $S$ nên $d\parallel HK$.
a) Đúng. $H\in SA$ và $SA\subset (SAB)$ nên $H\in (SAB)$.
b) Đúng. $H\in SA$, $K\in SB$ nên $H,K$ cùng thuộc $(SAB)$, do đó $HK\subset (SAB)$.
c) Sai. $HK$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $HK\parallel AB$. Mà $AB\parallel CD$ nên $HK\parallel CD$, do đó $HK$ và $CD$ không cắt nhau.
d) Đúng. $S$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$; $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ và $S\notin AB$ nên giao tuyến $d$ đi qua $S$ và $d\parallel AB$. Mà $HK\parallel AB$ và $HK$ không đi qua $S$ nên $d\parallel HK$.

Đáp án: 35,7.

$MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\parallel AB$ và $MN=\frac{AB}{2}=6$.

Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$ có điểm chung $P$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $MN$, $AB$, mà $P\notin AB$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $P$ và song song với $AB$, cắt $AD$ tại $Q$. Do đó $PQ\parallel AB$.

Trong tam giác $ABD$ có $PQ\parallel AB$ nên $\frac{DQ}{DA}=\frac{DP}{DB}=\frac{PQ}{AB}=\frac{1}{3}$, suy ra $PQ=4$, $AQ=8$.

Tam giác $AMQ$ có $AM=6$, $AQ=8$, $\widehat{MAQ}=60^{\circ }$ nên
$M{Q}^2=A{M}^2+A{Q}^2-2\cdot AM\cdot AQ\cdot \cos 60^{\circ }=36+64-48=52$.

Tương tự, tam giác $BNP$ có $BN=6$, $BP=8$, $\widehat{NBP}=60^{\circ }$ nên $N{P}^2=52$, suy ra $MQ=NP=\sqrt{52}$.

Tứ giác $MNPQ$ có $MN\parallel PQ$, $MN\ne PQ$ và $MQ=NP$ nên là hình thang cân.

Kẻ $QI\perp MN$ $(I\in MN)$, ta có $MI=\frac{MN-PQ}{2}=1$, $QI=\sqrt{M{Q}^2-M{I}^2}=\sqrt{52-1}=\sqrt{51}$.

Vậy $S_{MNPQ}=\frac{(MN+PQ)\cdot QI}{2}=\frac{(6+4)\sqrt{51}}{2}=5\sqrt{51}\approx 35,7\left(c{m}^2\right)$.

a) Ta có $M\in SA\subset (SAB)$ và $M\in (MCD)$ nên $M$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(MCD)$.

Mặt khác $AB\parallel CD$, $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (MCD)$ và $M\notin AB$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(MCD)$ là đường thẳng $Mx$ đi qua $M$ và song song với $AB$, $CD$.

b) Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $Mx$ cắt $SB$ tại $N$. Vì $N\in Mx\subset (MCD)$ nên $N$ là giao điểm của $SB$ và $(MCD)$.

Tam giác $SAB$ có $M$ là trung điểm của $SA$ và $MN\parallel AB$ nên $N$ là trung điểm của $SB$, do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN=\frac{AB}{2}=CD$.

Tứ giác $MNCD$ có $MN\parallel CD$ và $MN=CD$ nên $MNCD$ là hình bình hành.

Hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có 4 cạnh bên $SA,SB,SC,SD$ và 4 cạnh đáy $AB,BC,CD,DA$ nên có 8 cạnh. Chọn D.

Hình bát diện đều thuộc loại đa diện đều $\{3;4\}$, có $8$ mặt (mỗi mặt là tam giác đều) và mỗi đỉnh là đỉnh chung của $4$ mặt. Số cạnh của hình bát diện đều là $C=\frac{8\cdot 3}{2}=12$ cạnh.

Mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ chia khối lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thành hai khối lăng trụ tam giác là $ABD.A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $BCD.B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Theo định nghĩa, tứ diện đều là tứ diện có tất cả $6$ cạnh bằng nhau, tương đương với việc bốn mặt của tứ diện là bốn tam giác đều bằng nhau.

Do đó, mệnh đề đúng là: "Tứ diện có bốn mặt là bốn tam giác đều là tứ diện đều".