Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Chọn D.
Gọi $S$ là đỉnh hình nón, $O$ là tâm đáy. Mặt phẳng $(P)$ cắt đáy theo dây cung $DE$, thiết diện là tam giác $SDE$ vuông cân tại $S$.
Gọi $G$ là trung điểm của $DE⟹OG\perp DE$ và $SG\perp DE$.
Kẻ $OH\perp SG$ tại $H⟹OH\perp (P)⟹OH=3a$.
Tam giác $SOG$ vuông tại $O$ có đường cao $OH$:
$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{G}^2}⟺\frac{1}{(3a{)}^2}=\frac{1}{(6a{)}^2}+\frac{1}{O{G}^2}⟺\frac{1}{O{G}^2}=\frac{1}{9a^2}-\frac{1}{36a^2}=\frac{3}{36a^2}=\frac{1}{12a^2}⟹OG=2a\sqrt{3}$.
Khi đó $SG=\sqrt{S{O}^2+O{G}^2}=\sqrt{36a^2+12a^2}=\sqrt{48a^2}=4a\sqrt{3}$.
Vì $\Delta SDE$ vuông cân tại $S$ và $G$ là trung điểm cạnh huyền $DE$ nên:
$DE=2SG=8a\sqrt{3}⟹GE=\frac{DE}{2}=4a\sqrt{3}$.
Bán kính đáy hình nón là $R=OE=\sqrt{O{G}^2+G{E}^2}=\sqrt{12a^2+48a^2}=\sqrt{60a^2}=2a\sqrt{15}$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (60a^2)(6a)=120\pi a^3$.

Chọn B.
Thể tích của khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là $V=B\cdot h=11\cdot 8=88$.
Đặt các tỉ số trên các cạnh bên:
$x=\frac{AM}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}$,
$y=\frac{BN}{B{B}^{\prime }}=\frac{3}{4}$ (vì $BN=3B^{\prime }N⟹BN=\frac{3}{4}B{B}^{\prime }$),
$z=\frac{CP}{C{C}^{\prime }}=\frac{5}{11}$ (vì $6CP=5C^{\prime }P⟹6CP=5(C{C}^{\prime }-CP)⟹11CP=5C{C}^{\prime }⟹CP=\frac{5}{11}C{C}^{\prime }$),
$t=\frac{DQ}{D{D}^{\prime }}$.
Vì bốn điểm $M,N,P,Q$ cùng thuộc một mặt phẳng cắt các cạnh bên song song của hình hộp có đáy là hình bình hành nên:
$x+z=y+t⟺\frac{1}{2}+\frac{5}{11}=\frac{3}{4}+t⟺t=\frac{21}{22}-\frac{3}{4}=\frac{42-33}{44}=\frac{9}{44}$.
Thể tích khối đa diện $ABCD.MNPQ$ được tính theo công thức:
$\frac{V_{ABCD.MNPQ}}{V}=\frac{x+y+z+t}{4}=\frac{2(x+z)}{4}=\frac{x+z}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{11}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{21}{22}=\frac{21}{44}$.
Do đó:
$V_{ABCD.MNPQ}=\frac{21}{44}V=\frac{21}{44}\cdot 88=42$.

Chọn D.
Diện tích đáy $S_{\text{đaˊy}}=\pi r^2=16\pi ⟹r=4$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh=2\pi \cdot 4\cdot 6=48\pi$.

Chọn D.
Diện tích đáy là tam giác đều cạnh $\sqrt{3}$:
$S_{ABC}=(\sqrt{3}{)}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối chóp là: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot 4=\sqrt{3}$.

Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy $R$, chiều cao $h$ là $S_{xq}=2\pi Rh$.

Ta có $S_{MNPQ}=\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{2}{S}_{ABCD}=\frac{2}{9}{S}_{ABCD}$, và khoảng cách tổng từ $S$ và $E$ đến mặt phẳng $(MNPQ)$ bằng $2h$. Do đó $V_{SMNPQE}=\frac{1}{3}\cdot 2h\cdot \frac{2}{9}{S}_{ABCD}=\frac{4}{9}{V}_{S.ABCD}=\frac{4a^3}{3}$.

Thể tích của khối lăng trụ là $V=B\cdot h=6\cdot 3=18$.

Thể tích của khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (a\sqrt{3}{)}^{2}a=\pi a^3$.

Thể tích của khối nón là $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{đaˊy}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 3\pi \cdot 2=2\pi$.

Gọi cạnh của khối lập phương là $a$. Ta có $V=a^3=27\Rightarrow a=3$.

Diện tích toàn phần của khối lập phương là $S_{tp}=6a^2=6\cdot 3^2=54$.

Thể tích của khối lăng trụ là $V=S\cdot h=6\cdot 5=30$.

Bán kính thiết diện là $r^{\prime }=\sqrt{\frac{9\pi }{\pi }}=3$. Vì mặt phẳng đi qua trung điểm của trục nên bán kính đáy khối nón là $R=2r^{\prime }=6$.

Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2\cdot 6=72\pi$.

Tam giác đều $ABC$ cạnh $2a$ có $AM=a\sqrt{3}$ và diện tích $S_{△ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$.

Trong tam giác vuông $A^{\prime }AM$: $A{A}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{M}^2-A{M}^2}=\sqrt{9a^2-3a^2}=a\sqrt{6}$.

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V=A{A}^{\prime }\cdot S_{△ABC}=a\sqrt{6}\cdot a^2\sqrt{3}=3a^3\sqrt{2}$.

Tam giác $ABC$ cân tại $C$ nên $AC=BC=a$, diện tích đáy $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin 45^{\circ }=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

Chiều cao $A{A}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{5a^2-a^2}=2a$.

Vậy $V=A{A}^{\prime }\cdot S_{△ABC}=2a\cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.

Gọi độ dài đường sinh của ống trụ là $10x\text{ cm}$ $(x>0)$.

Chia ống trụ thành $10$ ống trụ bằng nhau và cắt $1$ ống trụ nhỏ theo $1$ đường sinh rồi trải phẳng ta được một hình chữ nhật có hai kích thước là $x\text{ cm}$ và $2\pi R=4\text{ cm}$. Khi đó độ dài đường chéo hình chữ nhật chính là độ dài của một vòng dây. Do đó ta có:

$\sqrt{x^2+16}\cdot 10=50\iff x=3\text{ (cm)}\Rightarrow h=3\cdot 10=30\text{ cm}$.

Vậy diện tích xung quanh của ống trụ là $2\pi Rh=4\cdot 30=120{\text{ cm}}^2$.

[IMAGE_1]

Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SB$.

Ta có $OB=\sqrt{\frac{2B{C}^2+2B{A}^2-A{C}^2}{4}}=BC$, $OC=\frac{1}{2}AC=BC\sqrt{2}$. Suy ra $OB\perp BC$.

Suy ra $BC\perp (SOB)\Rightarrow BC\perp OH\Rightarrow OH\perp (SBC)$.

Dễ thấy $\widehat{SBO}=\alpha$ và $OH=d(O,(SBC))=\frac{1}{2}d(A,(SBC))=1$.

Suy ra $SO=\frac{OH}{\cos \alpha }=\frac{1}{\cos \alpha }$, $BC=OB=\frac{OH}{\sin \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha }$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO\cdot S_{△ABC}=\frac{1}{3}SO\cdot 2S_{△OBC}=\frac{1}{3\cos \alpha {\sin }^2\alpha }$.

Áp dụng BĐT AM-GM: $1=\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha +\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}{\sin }^4\alpha {\cos }^2\alpha }\Rightarrow \frac{1}{{\sin }^2\alpha \cos \alpha }\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABC}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $\min V_{S.ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow a=3,b=2\Rightarrow a+b=5$.

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{\text{xq}}=2\pi rh=2\pi \cdot 3\cdot 5=30\pi$.

Thể tích của khối lăng trụ là $V=B\cdot h=10\cdot 3=30$.

Thể tích khối lập phương cạnh $a$ là $V=a^3=27⟹a=\sqrt[3]{27}=3$.

Gọi $S$ là đỉnh hình nón, $O$ là tâm đáy, chiều cao $SO=a$.
Thiết diện qua đỉnh là tam giác $SAB$ cân tại $S$, theo giả thiết tam giác $SAB$ vuông nên vuông cân tại $S$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, khi đó $SH\perp AB$ và $OH\perp AB$.
Kẻ $OK\perp SH$ tại $K$, thì $OK\perp (SAB)$, do đó khoảng cách từ $O$ đến $(SAB)$ là $OK=\frac{a}{3}$.
Trong tam giác vuông $SOH$ tại $O$, đường cao $OK$ thỏa mãn:
$\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{H}^2}⟺\frac{9}{a^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{O{H}^2}⟺\frac{1}{O{H}^2}=\frac{8}{a^2}⟹OH=\frac{a}{2\sqrt{2}}$.
$SH=\sqrt{S{O}^2+O{H}^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{8}}=\frac{3a}{2\sqrt{2}}$.
Vì tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ với $SH$ là đường trung tuyến nên $AB=2SH=\frac{3a}{\sqrt{2}}⟹AH=\frac{3a}{2\sqrt{2}}$.
Bán kính đáy của hình nón là $R=OA=\sqrt{O{H}^2+A{H}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{8}+\frac{9a^2}{8}}=\sqrt{\frac{10a^2}{8}}=a\sqrt{\frac{5}{4}}$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{5a^2}{4}\cdot a=\frac{5\pi a^3}{12}$.