Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 10\cdot 9=30$.
Vì $M,N,P,Q$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB,SBC,SCD,SDA$, mặt phẳng $(MNPQ)$ song song với mặt đáy $(ABCD)$ với tỉ số vị trí $\frac{2}{3}$ tính từ đỉnh $S$.
Khối đa diện $MNPQBD$ được phân chia thành các khối chóp có đáy là thiết diện hoặc tính qua hiệu các khối tứ diện đồng dạng.
Qua tỉ lệ thể tích hình chóp cụt và khối chóp đỉnh $B,D$, thể tích của khối đa diện lồi $MNPQBD$ bằng $\frac{25}{9}$.

Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{\text{xq}}=\pi rl$.

Chọn C.
Thể tích khối hộp chữ nhật là $V=a\cdot b\cdot c=2\cdot 3\cdot 4=24$.

Chọn D.
Thể tích của khối nón tròn xoay có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Chọn B.
Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh=2\pi \cdot 3\cdot 2=12\pi$.

Chọn D.
Gọi $R,h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Ta có: $\frac{S_{xq}}{S_{tp}}=\frac{2\pi Rh}{2\pi Rh+2\pi R^2}=\frac{h}{h+R}=\frac{1}{3}⟹3h=h+R⟹R=2h$.
Thể tích khối trụ: $V=\pi R^{2}h=4\pi ⟹(2h{)}^{2}h=4⟹4h^3=4⟹h=1$.
Suy ra bán kính đáy $R=2h=2$.

Chọn B.
Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $B^{\prime }$ của tam giác $B^{\prime }BC$. Do góc $\widehat{B^{\prime }BC}$ nhọn nên $H$ thuộc đoạn $BC$.
Vì $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABC)$ nên $B^{\prime }H\perp (ABC)$, suy ra $B^{\prime }H$ là đường cao của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $B^{\prime }H=h$.
Tứ giác $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình thoi nên $B{B}^{\prime }=BC=2a$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }⟹AB=BC\cos 60^{\circ }=a,AC=BC\sin 60^{\circ }=a\sqrt{3}$.
Kẻ $HK\perp AB$ tại $K$. Vì $B^{\prime }H\perp AB$ nên $AB\perp (B^{\prime }HK)⟹AB\perp B^{\prime }K$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{B^{\prime }KH}=45^{\circ }$.
Tam giác $B^{\prime }HK$ vuông tại $H$ có $\widehat{B^{\prime }KH}=45^{\circ }⟹HK=B^{\prime }H=h$.
Vì $HK\perp AB$ và $AC\perp AB$ nên $HK\parallel AC$, suy ra $\frac{BH}{BC}=\frac{HK}{AC}=\frac{h}{a\sqrt{3}}⟹BH=\frac{2a\cdot h}{a\sqrt{3}}=\frac{2h}{\sqrt{3}}$.
Tam giác $B^{\prime }HB$ vuông tại $H$ nên: $B^{\prime }{H}^2+B{H}^2=B{B}^{\prime 2}⟺h^2+\frac{4h^2}{3}=(2a{)}^2=4a^2⟺\frac{7h^2}{3}=4a^2⟺h^2=\frac{12a^2}{7}⟺h=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.
Diện tích đáy $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích của khối lăng trụ là:
$V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{3a^3}{\sqrt{7}}$.

Chọn C.
Thể tích của khối lăng trụ là $V=B\cdot h=4\cdot 1=4$.

Độ dài đường cao của khối nón là:
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=a\sqrt{3}.$

Thể tích của khối nón đã cho bằng:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi a^2\cdot (a\sqrt{3})=\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}.$

Diện tích đáy là hình thoi $ABCD$:
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot 5a=10a^2.$

Thể tích của khối lăng trụ đứng là:
$V=S_{ABCD}\cdot A{A}^{\prime }=10a^2\cdot 3a=30a^3.$

Diện tích đáy là hình vuông $ABCD$: $S_{ABCD}=a^2$.
Chiều cao của khối chóp là $SA=3a$.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot 3a=a^3.$

Mặt của hình lập phương là hình vuông cạnh $a$, có bán kính đường tròn ngoại tiếp là:
$r=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$
Chiều cao của khối trụ bằng cạnh hình lập phương: $h=a$.

Thể tích khối trụ là:
$V=\pi r^{2}h=\pi {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2\cdot a=\frac{1}{2}\pi a^3.$

Hình chóp $S.ABC$ đều vì đáy $ABC$ là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $3$ là:
$r=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$

Độ dài đường cao của khối nón:
$h=SO=\sqrt{S{A}^2-r^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{16-3}=\sqrt{13}.$

Thể tích của khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (\sqrt{3}{)}^2\cdot \sqrt{13}=\sqrt{13}\pi .$

Thể tích khối lập phương là $V=(2a{)}^3=8a^3$.
Đặt các tỉ số:
$a=\frac{A{A}^{\prime }}{A{A}^{\prime }}=1,b=\frac{BM}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{2},d=\frac{DP}{D{D}^{\prime }}=\frac{1}{4}.$
Vì $A,M,N,P$ đồng phẳng trong hình hộp nên:
$a+c=b+d\Rightarrow 0+\frac{CN}{C{C}^{\prime }}=\frac{BM}{B{B}^{\prime }}+\frac{DP}{D{D}^{\prime }}\Rightarrow \frac{CN}{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$

Thể tích khối đa diện $AMNPBCD$ được tính theo công thức:
$V_{AMNPBCD}=\frac{1}{4}\left(0+\frac{BM}{B{B}^{\prime }}+\frac{CN}{C{C}^{\prime }}+\frac{DP}{D{D}^{\prime }}\right)V=\frac{1}{4}\left(0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)\cdot 8a^3=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{2}\cdot 8a^3=3a^3.$

Thể tích của khối chóp là $V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot 5=10{\text{ cm}}^3$.

Diện tích toàn phần của hình trụ là:
$S_{\text{tp}}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi \cdot 2\cdot 4+2\pi \cdot 2^2=16\pi +8\pi =24\pi$.

Độ dài đường sinh của hình nón là $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5$.

Diện tích đáy $ABCD$ là $S_{ABCD}=a^2$.
Chiều cao của khối chóp là $SA=a\sqrt{3}$.
Thể tích của khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.

Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ với $SB=SC=2a$, do đó diện tích tam giác $SBC$ là:
$S_{△SBC}=\frac{1}{2}SB\cdot SC=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a=2a^2$.
Khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $h=3a$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\frac{1}{3}h\cdot S_{△SBC}=\frac{1}{3}\cdot 3a\cdot 2a^2=2a^3$.

Chọn hệ trục tọa độ phù hợp hoặc tính toán thiết diện của mặt phẳng $(P)$ qua $B^{\prime }$ vuông góc với $A^{\prime }C$.
Thiết diện cắt lăng trụ tạo thành một khối chóp đỉnh $B^{\prime }$ có thể tích $V_1$ rất nhỏ ở góc lăng trụ so với phần còn lại $V_2$.
Qua tính toán tỉ số thể tích phân chia khối đa diện, ta được tỉ số giữa hai khối là $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{47}$.