Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $S_{{\Delta OAD}} = \frac

V_{{S.ABCD}} $\Rightarrow$ V_{{S.ABCD}} = 4 V_{{S.OAD}} = 4 $\cdot$ 10 = 40$\text{ cm}$^3$.

Ta có $S_{{\Delta ABC}} = \frac

a^2 $\cdot$ 6a = 3a^3$.

Khối lập phương cạnh $a$.
- Trụ ngoại tiếp có bán kính $r_1=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, chiều cao $h_1=a\Rightarrow V_1=\pi r_1^2{h}_1=\frac{\pi a^3}{2}$.
- Cầu nội tiếp có bán kính $R_2=\frac{a}{2}\Rightarrow V_2=\frac{4}{3}\pi R_2^3=\frac{\pi a^3}{6}$.
- Cầu ngoại tiếp có bán kính $R_3=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_3=\frac{4}{3}\pi R_3^3=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{2}$.
Do đó $\frac{V_1+V_2}{V_3}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$ hay theo phân số của đề: Chọn D.

Gọi $E$ là trung điểm cạnh $AB$. Ta có $\frac{{SN}}{{ND}} = 2 \Rightarrow \frac{{SN}}{{SD}} = \frac

V_{{S.ABCD}}$. Chọn B.

Xác định điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình vuông. Khi đó thể tích khối chóp $S.ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{{4a^3}}

$. Chọn D.

Ta có $S_{{\Delta ABC}} = \frac

$\cdot$ 2a = a^3$.

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi Rl=2\pi \cdot 8\cdot 3=48\pi$. Chọn D.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}B\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 4=12$. Chọn D.

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là $V=Bh$. Chọn C.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SC$ và đáy là góc $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Đáy $ABCD$ có cạnh $2a$ nên $AC=2a\sqrt{2}$. Trong tam giác vuông $SAC$: $SA=AC\cdot \tan 45^{\circ }=2a\sqrt{2}$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=(2a{)}^2=4a^2$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 2a\sqrt{2}\cdot 4a^2=\frac{8a^3\sqrt{2}}{3}$. Chọn B.

Gắn hệ trục tọa độ $Bxyz$ với $B(0;0;0),A(a;0;0),C(0;a;0),B^{\prime }(0;0;h)$. Từ góc giữa hai mặt phẳng bằng $60^{\circ }$, giải phương trình tìm được $h=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Khi đó thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$. Khối chóp $B.AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ có thể tích bằng $\frac{2}{3}$ thể tích lăng trụ: $V_{B.AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$. Chọn D.

**Chọn D**
a2 3 a3 3
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng V = S d .h = .a = .
4 4

**Chọn D**
3π a 2
Ta có S xq = π .R.l  3π a 2 = π .a.l  l = = 3a .
πa

**Chọn B**
1 2
V = .a 2 .2a = a 3
3 3

13

π
4

**Chọn A**

17

Gọi S là đỉnh của hình nón ( N ) và H là chân đường cao kẻ tử S lên mặt đáy
1 2
Ta có SH = HA = HB = AB = SB = a .
2 2
1 π a3
 V( N ) = SH .π .HA =
2
.
3 3

20

**Chọn D**

Gọi N là trung điểm của BC ;
H là hình chiếu của S xuống ( ABC ) ;
M là hình chiếu của N trên AB ;
gt  BC  AN   BC  ( SAN ) 
   BC  MN .
mà BC  SH ( do SH  ( ABC ) )  mà MN  ( SAN ) 
2
3a ( a 3 ( ( 3a ( 2 a 3
Suy ra d( SA, BC ) = MN = . Ta có: AM = AN 2 - MN 2 = - = .
4 ) 2 ) ) 4 ) 4

a 3 2 a 3 a2 3
ABC đều cạnh a  AN = ; AH = AN = ; S ABC = .
2 3 3 4
3a a 3
.
SH AH MN . AH 4 3 = a.
AMN  AHS  =  SH = =
MN AM AM a 3
4
1 1 a 2 3 a3 3
VS . ABC = .SH .S ABC = .a. = .
3 3 4 12

**Chọn C**

Gọi l , h, R lần lượt là đường sinh, đường cao và bán kính đáy của hình nón.
 = 30°  OA = 3SO  R = 3h  l = R 2 + h 2 = 3h 2 + h 2 = 2h .
Vì SAO
Kẻ OH  AB  H là trung điểm AB .
Vì khoảng cách từ O đến AB bằng a  OH = a .
 = 60°  SAB đều  SH = SA · 3 3
Vì SAB = 2h. =h 3.
2 2
a 2
Xét SOH vuông tại O có SH 2 = SO 2 + OH 2  3h 2 = h 2 + a 2  2h 2 = a 2  h = .
2
a 2 6a 6a
R = 3· = và l = a 2 . Do đó S xq = π Rl = π · · a 2 = π 3a 2
2 2 2

**Chọn A**
V = h.S = 42.6 = 96

Thể tích khối lăng trụ là $V=B\cdot h=10\cdot 6=60$. Chọn B.

Diện tích toàn phần của hình trụ là $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(r+h)$. Chọn B.