Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

- a) Đúng: Dựa vào đồ thị ta thấy tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2⟺x+2=0$, suy ra $d=2$.
- b) Đúng: Đồ thị đi qua điểm $C(0;-5)$ nên $f(0)=-5$.
- c) Sai: Tiệm cận xiên là đường thẳng $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A(-2;0),B(0;-4)$ nên $\{\begin{array}{l}-2a+b=0\\ b=-4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-4\end{array}$, suy ra tiệm cận xiên là $y=-2x-4$.
- d) Đúng: Từ các dữ kiện trên ta có $y=-2x-4+\frac{c}{x+2}$ mà $f(0)=-5⟹c=-2$. Vậy hàm số đã cho là $y=-2x-4-\frac{2}{x+2}$.

Theo lời giải chính thức trong đề (Mã đề 0101), Câu 3 (Phần I) chọn đáp án C.

Theo hình vẽ, đường thẳng nét đứt xiên $d$ đi qua $(-1;0)$ và $(0;1)$, nên có phương trình $y=x+1$.

Theo lời giải chính thức trong đề (Mã đề 0101), Câu 12 (Phần I) chọn đáp án B.

Đường thẳng nét đứt $d$ đi qua $(1;0)$ và $(0;-1)$, nên có phương trình $d:y=x-1$.

Theo lời giải chính thức trong đề (Mã đề 0101), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $3$.

Với $g(x)$, tiệm cận ngang là $y=2$ nên $a=2$. Với $h(x)=x+1+\frac{1}{x-2}$, tiệm cận xiên là $y=x+1$ nên $b=1$. Vậy $a+b=3$.

Chia đa thức: $2x^2-3x-1=(2x-1)(x-1)-2\Rightarrow f(x)=2x-1-\frac{2}{x-1}$.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y=2x-1$.

Quan sát đồ thị, đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm $(2;0)$ và $(0;-2)$ nên có phương trình là $y=x-2$.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1201; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Từ đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{x+c}$, ta thấy:
- Đường tiệm cận đứng là $x=-c$. Theo vị trí trên trục $Ox$, tiệm cận đứng nằm bên trái gốc tọa độ $O$, tức $-c<0\Rightarrow c>0$.
- Đường tiệm cận ngang là $y=a$ nằm phía trên trục hoành $Ox$, tức $a>0$.
- Giao điểm của đồ thị với trục tung $Oy$ tại điểm $(0;\frac{b}{c})$ nằm phía trên trục hoành, tức $\frac{b}{c}>0$. Do $c>0$ nên $b>0$.
Vậy cả 3 giá trị $a,b,c$ đều dương (có 3 giá trị dương).
(Theo bảng đáp án chính thức trang 6, mã đề 0017: Chọn D).

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+3}{-x+2}=-1$.
Vậy tiệm cận ngang có phương trình $y=-1$.

Ta có $y=f(x)=\frac{-x^2-2x+5}{x+2}=-x+\frac{5}{x+2}$.
Khi đó ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(-x)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5}{x+2}=0$.
Vậy đường thẳng $y=-x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ${\lim }_{x\to +\infty }y=-1$ (và ${\lim }_{x\to -\infty }y=-1$), do đó đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1101 (trang 17): Chọn D ($y=x-1$).

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1001/0001 (trang 15): Chọn B ($2$ đường tiệm cận xiên $y=x+1$ và $y=-x-1$).

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1001/0001 (trang 15): Chọn C ($3$ đường tiệm cận: $x=0,y=1,y=3$).

Dựa vào bảng biến thiên, ta có ${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=+\infty$ nên đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng. Tại các điểm khác không có giới hạn vô cực khi $x$ tiến tới giá trị hữu hạn. Vậy đồ thị hàm số có $1$ đường tiệm cận đứng.

Thực hiện phép chia đa thức: $y=\frac{4x^2+6x-6}{4x-2}=x+2-\frac{2}{4x-2}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x+2)]=0$ nên đường tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+2$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5-6x}{3-4x}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}$. Do đó, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=\frac{3}{2}$.

Thực hiện chia đa thức: $\frac{-8x^2+6x+7}{2x+2}=-4x+7-\frac{7}{2x+2}$. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=-4x+7$, suy ra $a=-4$ và $b=7$. Giá trị $2a-3b=2(-4)-3(7)=-29$.

Đồ thị hàm số $y=\frac{1-x}{x+2}$ có đường tiệm cận đứng là $x=-2$ và đường tiệm cận ngang là $y=-1$, tức là có đúng $2$ đường tiệm cận.

Do ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ nên $y=2$ là đường tiệm cận ngang. Do ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-2$ nên $y=-2$ là đường tiệm cận ngang. Do ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ nên $x=1$ là đường tiệm cận đứng. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+2=3$.