Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ (loại A vì đó là tiệm cận đứng, không phải xiên). Đường thẳng màu xanh (tiệm cận xiên) cắt trục tung tại $y=\frac{5}{4}$ và có hệ số góc dương nhỏ; đường thẳng $y=x+\frac{1}{2}$ có hệ số góc 1 (loại B), đường $y=x-\frac{5}{4}$ cũng hệ số góc 1 (loại D). Đường tiệm cận xiên đi qua điểm $(0,\frac{5}{4})$ và gần điểm $(1,\frac{7}{4})$ nên có dạng $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$, khớp với đồ thị khi $x\to \pm \infty$. Đáp án C, trùng đáp án nguồn (đề 0102, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}$. Tại $x=1$, mẫu và tử cùng triệt tiêu nên hàm số không có tiệm cận đứng tại $x=1$ (đồ thị bị thủng, giới hạn hữu hạn). Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=-\infty$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 0102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 5$ nên có tiệm cận ngang $y=5$; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to -5$ nên có tiệm cận ngang $y=-5$. Tổng cộng $1$ tiệm cận đứng và $2$ tiệm cận ngang, tức $3$ đường tiệm cận. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ và nhánh đồ thị tiến gần đường thẳng $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$ khi $x\to \pm \infty$ (đường này cắt trục tung tại $\frac{5}{4}$, đúng như hình vẽ). Vậy tiệm cận xiên là $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án đề 0101.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}$. Tại $x=1$, tử và mẫu cùng triệt tiêu nên hàm số không xác định tại $x=1$ nhưng ${\lim }_{x\to 1}y=\frac{x+2}{x+1}{|}_{x=1}=\frac{3}{2}$ (giới hạn hữu hạn), do đó $x=1$ không phải tiệm cận đứng. Tại $x=-1$: mẫu bằng 0, tử $=(-1{)}^2-1-2=-2\ne 0$ nên ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$, vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. (Tiệm cận ngang là $y=1$.) Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 5$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=5$; khi $x\to +\infty$ thì $y\to -5$ nên có tiệm cận ngang $y=-5$. Tại $x=-1$ (điểm không xác định của hàm số), $y\to +\infty$ khi $x\to -1^{-}$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Tổng số tiệm cận: $2+1=3$, khớp đáp án B (đáp án nguồn cũng là B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số không có cực trị → a) Đúng. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$ → b) Đúng. Hàm số xác định khi $x\ne -1$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$ (không phải $x=1$) → c) Sai. Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(-1;2)$ → d) Đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, hàm số không có cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{x+1}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2x-1}{x+1}=+\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của hai tiệm cận: $I(-1;2)$.

Giải:
+ Ta có:
${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty \Rightarrow$ đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng
${\lim }_{x\to +\infty }\left[y-(x-1)\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x+1}=0\Rightarrow$ đường thẳng $y=x-1$ là tiệm cận xiên
Giao điểm của hai đường tiệm cận: $I(-1;-2)$
$T=3a-b=-1$

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta viết lại $y=\frac{2(x+1)-3}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$.
a) $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số không có cực trị. → Đúng.
b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$. → Đúng.
c) ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$. → Sai.
d) Đồ thị $y=2-\frac{3}{x+1}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $I(-1;2)$. → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$ nên hàm số không có cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{x+1}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm hai tiệm cận: $I(-1;2)$.

Giải:
+ Ta có:
${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty \Rightarrow$ đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng
${\lim }_{x\to +\infty }\left[y-(x-1)\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x+1}=0\Rightarrow$ đường thẳng $y=x-1$ là tiệm cận xiên
Giao điểm của hai đường tiệm cận: $I(-1;-2)$
$T=3a-b=-1$

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 2$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 2$. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$. (Đường $x=-2$ là tiệm cận đứng vì tại đó $y\to +\infty$ một bên và $-\infty$ một bên.) Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+3x+2}{x-3}=x+6+\frac{20}{x-3}$. Vậy tiệm cận xiên là $g(x)=x+6$, tức $a=1,b=6$. Do đó $g(-2)=-2+6=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x+4}{x+2}=\frac{(x+2)x+4}{x+2}=x+\frac{4}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{4}{x+2}\to 0$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2-7x+5}{x-3}=2x-1+\frac{2}{x-3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $g(x)=2x-1$, tức $a=2,b=-1$. Vậy $g(2)=2\cdot 2-1=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, nhánh bên phải của đồ thị tiến lên vô cực khi $x\to 1^{+}$ và nhánh bên trái tiến xuống $-\infty$ khi $x\to 1^{-}$, tức đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng. Đồ thị không có tiệm cận ngang (các nhánh không tiến tới một giá trị hữu hạn nào khi $x\to \pm \infty$). Vậy đường tiệm cận đúng là $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $x^2-2x+3=(x+2)(x-4)+11$, nên $y=\frac{x^2-2x+3}{x+2}=x-4+\frac{11}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{11}{x+2}\to 0$, do đó tiệm cận xiên là $y=x-4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$ và tiệm cận đứng là đường thẳng đứng đi qua $x=2$ (đường đứt nét tại $x=2$, nhánh phải tiến lên $+\infty$ khi $x\to 2^{+}$). Vậy tiệm cận đứng có phương trình $x=2$, khớp với đáp án D trong bảng mã đề 0212.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x+2}$ xác định khi $x\ne -2$.

- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to -2^{-}}\frac{3x-2}{x+2}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -2^{+}}\frac{3x-2}{x+2}=-\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$.

- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x-2}{x+2}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3-\frac{2}{x}}{1+\frac{2}{x}}=3$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=3$.

Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận ngang $y=1$ và đường tiệm cận đứng là đường đứt nét tại $x=2$. Với hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\ne 0$), tiệm cận đứng có phương trình $x=-\frac{d}{c}$, ở đây là $x=2$. Vậy đáp án đúng là D, khớp với đáp án nguồn (đề 0211, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x+2}$ xác định khi $x\ne -2$.

- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to -2^{-}}\frac{3x-2}{x+2}=-\infty$, ${\lim }_{x\to -2^{+}}\frac{3x-2}{x+2}=+\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$.

- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x-2}{x+2}=3$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=3$.

Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=3$.