Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-2x}{x-2}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số nên tiệm cận ngang là $y=\frac{-2}{1}=-2$ (hệ số của $x$ ở tử chia hệ số của $x$ ở mẫu). Thật vậy, ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1-2x}{x-2}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1/x-2}{1-2/x}=-2$. Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-2$, tương ứng đáp án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=2x-1+\frac{1}{x-1}$. a) Sai: tại $x=1$ thì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$, không phải $y=2$. b) Đúng: vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(2x-1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$. c) Đúng: giao của hai tiệm cận $x=1$ và $y=2x-1$ (tại $x=1$, $y=1$) là $I(1;1)$, là tâm đối xứng của $(C)$. d) Đúng: $y^{\prime }=2-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=\frac{1}{2}\iff x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, hai nghiệm đều thuộc tập xác định và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm số có đúng hai điểm cực trị. Kết quả khớp đáp án nguồn: S-Đ-Đ-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=1$ (vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$), không phải $y=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=2x-1+\frac{1}{x-1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=2x-1$ là $I(1;1)$, tâm đối xứng của $(C)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, hai nghiệm hợp lệ và $y^{\prime }$ đổi dấu, nên có đúng hai điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $bx+c=0$ tại $x=1$ ⇒ $c=-b$. Tiệm cận ngang $y=\frac{1}{b}=-1$ (đường tiệm cận ngang $y=-1$ theo hình vẽ) ⇒ $b=-1$, suy ra $c=1$. Đồ thị cắt $Ox$ tại $x=2$ nên $\frac{x-a}{bx+c}=0$ tại $x=2$ ⇒ $a=2$. Vậy $P=2a-b+c=2\cdot 2-(-1)+1=6$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2-x+1}{x-1}=2x+1+\frac{2}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-1}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+1$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-2x}{x-2}$ có bậc tử bằng bậc mẫu, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{-2}{1}=-2$ (tức hệ số của $x$ ở tử chia hệ số của $x$ ở mẫu). Cụ thể ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1-2x}{x-2}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{\frac{1}{x}-2}{1-\frac{2}{x}}=-2$. Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-2$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $bx+c=0$ tại $x=1\Rightarrow b+c=0$. Tiệm cận ngang $y=\frac{1}{b}=-1$ (đồ thị tiệm cận ngang $y=-1$) nên $b=-1$, suy ra $c=1$. Đồ thị cắt $Ox$ tại $x=2$ nên $a=2$ (kiểm tra: cắt $Oy$ tại $y=\frac{-a}{c}=-2$, khớp hình vẽ). Vậy $P=2a-b+c=2\cdot 2-(-1)+1=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2-x+1}{x-1}=2x+1+\frac{2}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-1}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+1$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=1$ nên $mx+n=m(x-1)$, tức $n=-m$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{m\left[x^2-2x-(b+c)\right]}{(mx+n{)}^2}$ có hai nghiệm $x=-1$ và $x=3$ (điểm cực trị), suy ra $b+c=3$. Tiệm cận xiên: chia $x^2+bx+c$ cho $m(x-1)$ được $y=\frac{1}{m}x+\frac{b+1}{m}$. Vì hàm số tăng lên $+\infty$ khi $x\to +\infty$ nên hệ số góc $\frac{1}{m}>0$. Thử phương án $y=x$: $m=1$, $b=-1$, $c=4$, khi đó $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}$. Kiểm tra: $y(-1)=\frac{6}{-2}=-3$ (đúng), $y(3)=\frac{10}{2}=5$ (đúng), khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Vậy tiệm cận xiên là $y=x$, đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $y=\frac{m{x}^2+x-3}{x-1}=mx+(m+1)+\frac{m+2}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=mx+m+1$. Giao với Ox: $x=-\frac{m+1}{m}$ (cần $m\ne 0$); giao với Oy: $y=m+1$. Diện tích tam giác: $\frac{1}{2}\left|\frac{m+1}{m}\right|\cdot |m+1|=2\iff (m+1{)}^2=4|m|$.
- Với $m>0$: $m^2-2m+1=0\Rightarrow m=1$.
- Với $m<0$: $m^2+6m+1=0\Rightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$ (đều âm, thỏa mãn).
Tổng các giá trị: $1+(-3+2\sqrt{2})+(-3-2\sqrt{2})=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $S(x)=300\left(2+\frac{4}{x+2}\right)=600+\frac{1200}{x+2}$. Khi $x\to +\infty$ thì $\frac{1200}{x+2}\to 0$, nên ${\lim }_{x\to +\infty }S(x)=600$. Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=600$, tức $a=600$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (600).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$. Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 132: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3+2x}{2x-2}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số nên tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{2}=1$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 5, Mã đề 132: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-1}{x+5}=x-5+\frac{24}{x+5}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{24}{x+5}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 6, Mã đề 132: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+3x-1}{x+2}=x+1-\frac{3}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+2}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngang y=-1, đồ thị đi qua (0;-2) và (2;0). Suy ra b=f(0)=-2; a/c=-1; f(2)=0 nên 2a+b=0 → a=1, c=-1. Vậy f(x)=(x-2)/(1-x). f'(x)=(a-bc)/(cx+1)^2=(1-2)/(1-x)^2=-1/(1-x)^2<0 trên tập xác định ℝ\{1}. a) Sai vì f'(x)<0 chỉ trên tập xác định, không xác định tại x=1 nên không thể nói f'(x)<0 với mọi x∈ℝ. b) Đúng: f'(x)<0 trên (-∞;1) và (1;+∞) nên hàm nghịch biến trên các khoảng đó. c) Sai: tiệm cận đứng x=1 đúng nhưng tiệm cận ngang là y=-1 chứ không phải y=1. d) Đúng: a+b+c=1+(-2)+(-1)=-2. Kết quả khớp đáp án nguồn mã đề 1702: a)S - b)Đ - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=-1/(cx+1)^2<0 chỉ trên tập xác định ℝ\{1}; tại x=1 hàm không xác định nên khẳng định f'(x)<0 với mọi x∈ℝ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với a=1,b=-2,c=-1 ta có f'(x)=-1/(1-x)^2<0 trên (-∞;1) và (1;+∞), nên hàm nghịch biến trên các khoảng đó.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là x=1 đúng, nhưng tiệm cận ngang là y=a/c=-1, không phải y=1.
d) (AI giải đề cho tôi)
a=1, b=-2, c=-1 nên a+b+c=-2.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x^2+x-5}{x+3}=\frac{(x+3)(2x-5)-20}{x+3}=2x-5-\frac{20}{x+3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{20}{x+3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $\Delta :y=2x-5$, tức $a=2,b=-5$. Vậy $a+b=2+(-5)=-3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1702, câu 3: C).

a) Sai: $f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 1$. b) Sai: từ đồ thị, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. c) Đúng: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$. d) Sai: TCĐ $x=-\frac{1}{c}=1\Rightarrow c=-1$; TCN $y=\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=1$; đồ thị cắt trục tung tại $(0;-2)\Rightarrow b=-2$. Vậy $a+b+c=1-2-1=-2$.
a) a) Sai. Đạo hàm của hàm số $f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 1$. Dựa vào hình vẽ, đạo hàm của hàm số $f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 1$.
b) b) Sai. Từ đồ thị ta có hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
c) c) Đúng. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$ và đường tiệm cận ngang là $y=-1$.
d) d) Sai. Tổng $a+b+c=-2$. Đồ thị hàm số có TCĐ $x=-\frac{1}{c}=1\Rightarrow c=-1$. Đồ thị hàm số có TCN $y=\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=1$. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;-2)\Rightarrow b=-2$. Vậy $a+b+c=1-2-1=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+x-5}{x+3}=2x-5+\frac{10}{x+3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{10}{x+3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $\Delta :y=2x-5$, tức $a=2,b=-5$. Vậy $a+b=2+(-5)=-3$, khớp đáp án D (đáp án nguồn: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)$ cho từng hàm số:
- A: $y=\frac{1}{x+3}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$.
- B: $y=\frac{x+1}{2x-3}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{2}$ nên có tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$.
- C: $y=\frac{x^2+1}{x-1}$, bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty$, đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận xiên $y=x+1$ và tiệm cận đứng $x=1$).
- D: $y=\frac{x-1}{x^2+1}$, bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$, có tiệm cận ngang $y=0$.
Vậy đồ thị không có tiệm cận ngang là hàm ở phương án C, trùng với đáp án của đề (mã đề 1114, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-3}{x-2}$ xác định khi $x\ne 2$. Tại $x=2$: mẫu số bằng 0, tử số $2-3=-1\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. (Ngoài ra tiệm cận ngang là $y=1$.) Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1114, Câu 11: A).