Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có bậc tử và bậc mẫu bằng nhau. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x+1}{x-1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 1114 (Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+5}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{-7}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, không đồng biến trên $\mathbb{R}$ → a) Sai. Vì bậc tử trên bằng bậc mẫu dưới nên tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{1}=2$ → b) Đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, tổng cộng 2 đường tiệm cận → c) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất là giao hai tiệm cận $I(1;2)$ → d) Đúng. Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1114: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+5)}{(x-1{)}^2}=\frac{-7}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử bằng bậc mẫu, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{2}{1}=2$, nên tiệm cận ngang là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (mẫu bằng 0) và tiệm cận ngang $y=2$, tức 2 đường tiệm cận.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận: $x=1$, $y=2$, tức $I(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{3x+3}{x-10}$ có tiệm cận đứng $x=10$ và tiệm cận ngang $y=3$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=3$). Hai tiệm cận này cùng hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật với các cạnh $10$ và $3$, diện tích $S=10\times 3=30$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3: 30).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-2x-3}{x+1}$ xác định khi $x+1\ne 0$, tức $x\ne -1$. Tại $x=-1$, mẫu số bằng $0$ nên ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{-2x-3}{x+1}=\pm \infty$. Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=-1$. (Tiệm cận ngang là $y=-2$.) Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1010: câu 7 là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+3x-1}{x+2}=2x-1+\frac{1}{x+2}$. Tiệm cận xiên là $y=2x-1$. Đường thẳng này cắt $Oy$ tại $(0;-1)$ và cắt $Ox$ tại $\left(\frac{1}{2};0\right)$. Diện tích tam giác tạo với hai trục: $S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=0,25$ (đvdt). Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ nên $n=-m$; chọn $m=1,n=-1$ (không mất tổng quát vì tiệm cận xiên không phụ thuộc tỷ lệ). Khi đó $y=\frac{x^2+bx+c}{x-1}$, đạo hàm $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-(b+c)}{(x-1{)}^2}$. Cực trị tại $x=-1$ và $x=3$ nên $x^2-2x-(b+c)=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$, suy ra $b+c=3$. Giá trị tại $x=3$ bằng $5$: $\frac{9+3b+c}{2}=5\Rightarrow 3b+c=1$, suy ra $b=-1,c=4$. Kiểm tra tại $x=-1$: $\frac{1+1+4}{-2}=-3$ đúng. Vậy $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}=x+\frac{4}{x-1}$, tiệm cận xiên là $y=x$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{7-4x}{2x-1}$ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=-2$. Với $M\left(x;\frac{7-4x}{2x-1}\right)\in (H)$, ta có $y+2=\frac{7-4x+2(2x-1)}{2x-1}=\frac{5}{2x-1}$. Đặt $t=|2x-1|>0$, tổng khoảng cách từ $M$ tới hai tiệm cận là $d=\left|x-\frac{1}{2}\right|+|y+2|=\frac{t}{2}+\frac{5}{t}\ge 2\sqrt{\frac{t}{2}\cdot \frac{5}{t}}=2\sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{10}$, dấu bằng khi $t=\sqrt{10}$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $\sqrt{10}$, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $4-x>0\Rightarrow x<4$. Xét $x\to -\infty$: $\sqrt{9x^2-x+10}=|x|\sqrt{9-\frac{1}{x}+\frac{10}{x^2}}=-x\sqrt{9-\frac{1}{x}+\frac{10}{x^2}}=-3x\sqrt{1-\frac{1}{9x}+\frac{10}{x^2}}\approx -3x+\frac{1}{6}$. Khi đó $y=6x-\left(-3x+\frac{1}{6}\right)-\frac{8}{\sqrt{4-x}}\to 9x-\frac{1}{6}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=9x-\frac{1}{6}$. Giao với $Ox$: $9x-\frac{1}{6}=0\Rightarrow x=\frac{1}{54}$, tức $A\left(\frac{1}{54};0\right)$. Giao với $Oy$: $y=-\frac{1}{6}$, tức $B\left(0;-\frac{1}{6}\right)$. Diện tích tam giác $OAB$: $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{54}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{648}$. Kết quả khớp đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2}{x-2}$ có bậc tử số (0) nhỏ hơn bậc mẫu số (1), nên tiệm cận ngang là $y=0$ (đường thẳng mà đồ thị tiến gần khi $x\to \pm \infty$). Đường $x=2$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=-2$ nên $b=2$; tiệm cận ngang $y=3$ nên $a=3$. Vậy $f(x)=\frac{3x+8}{x+2}$.
a) Tâm đối xứng của đồ thị là giao hai tiệm cận $I(-2;3)$, không phải $I(3;-2)$ → sai.
b) Hàm số liên tục trên mỗi khoảng và có tiệm cận ngang $y=3$, không đạt giá trị 3, nên tập giá trị $T=\mathbb{R}\setminus \{3\}$ → đúng.
c) $a+2b=3+2\cdot 2=7\ne -1$ → sai.
d) Hai tiệm cận: $x=-2$ và $y=3$. Với $A(x;y)\in (C)$: $y=3-\frac{2}{x+2}$, tổng khoảng cách $d=|x+2|+\left|y-3\right|=|x+2|+\frac{2}{|x+2|}\ge 2\sqrt{2}\approx 2,8284$. Vì $2\sqrt{2}<2,83$ (ví dụ khi $|x+2|=\sqrt{2}$ thì $d=2\sqrt{2}\approx 2,8284<2,83$), khẳng định 'luôn lớn hơn 2,83' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận $x=-2$ và $y=3$, tức $I(-2;3)$, không phải $I(3;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Do có tiệm cận ngang $y=3$, hàm số không nhận giá trị 3 và nhận mọi giá trị khác: $T=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a=3$, $b=2$ nên $a+2b=7\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng khoảng cách $d=|x+2|+\frac{2}{|x+2|}\ge 2\sqrt{2}\approx 2,8284<2,83$, nên không luôn lớn hơn 2,83.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $x^2+2x-2=(x-2)(x+4)+6$, nên $y=\frac{x^2+2x-2}{x-2}=x+4+\frac{6}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{6}{x-2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x+4$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (MD0911, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử (1) thấp hơn bậc mẫu (2), nên $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5x-2}{4x^2-4}=0$. Vậy đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-2}$ xác định khi $x\ne 2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$: ý a) Đúng. Vì bậc tử - bậc mẫu $=0$, tiệm cận đứng là $x=2$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{3}{1}=3$ (không phải $y=2$): ý b) Sai. $y^{\prime }=\frac{3(x-2)-(3x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-7}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và không có điểm cực trị: ý c) Đúng. Hai tiệm cận $x=2$, $y=3$ cùng hai trục tạo hình chữ nhật cạnh $2$ và $3$, diện tích $2\times 3=6$: ý d) Đúng. Khớp đáp án nguồn ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi mẫu $x-2\ne 0$, tức $x\ne 2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=2$ đúng, nhưng tiệm cận ngang là $y=\frac{3}{1}=3$, không phải $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-7}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, hàm số không có điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật tạo bởi $x=2$, $y=3$ và hai trục có diện tích $2\times 3=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne \pm 2$, ta có $y=\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 0$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$. (Hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$; tại $x=2$ hàm số được rút gọn nên không có tiệm cận.) Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử số (1) nhỏ hơn bậc mẫu số (2), nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5x-2}{4x^2-4}=0$. Vậy đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$, trùng với đáp án nguồn (6.B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x^2-4}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{\pm 2\}$. Vì bậc tử số (1) nhỏ hơn bậc mẫu số (2) nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$. Do đó đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$, trùng với đáp án B (khớp đáp án nguồn trang 5).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}$ xác định khi $x\ne 1$. Tại $x=1$, mẫu số bằng 0 và tử số $2x+2=4\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 259, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$. a) Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f(x)-(x+2)\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x-2$ → Sai. b) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=2$. $f(0)=1$, $f(2)=5$ nên $A(0;1)$, $B(2;5)$. Đường thẳng $AB$: $y=2x+1\iff 2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$: $d=\frac{|1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ → Đúng. c) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nhưng hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ nên không thể nói nghịch biến trên toàn tập xác định (chỉ nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$) → Sai. d) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2a: S, 2b: D, 2c: S, 2d: D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên là $y=x+2$ vì $f(x)-(x+2)=\frac{1}{x-1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $A(0;1)$, $B(2;5)$, đường thẳng $AB$: $2x-y+1=0$, $d(O,AB)=\frac{1}{\sqrt{5}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ trên từng khoảng nhưng hàm gián đoạn tại $x=1$, nên không nghịch biến trên toàn tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{2x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{\frac{1}{2}\}$. a) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ và ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{-}}y=-\infty$ nên tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$, tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$: ĐÚNG. b) $y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{6x-3-6x+2}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}\ne \frac{-5}{(2x-1{)}^2}$: SAI. c) Vì $y^{\prime }<0$ trên mỗi khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$: SAI. d) Tại $x=0$: $y=\frac{-1}{-1}=1\ne 0$, đồ thị cắt Oy tại $(0;1)$: SAI. Kết quả khớp đáp án nguồn (4a: Đ, 4b: S, 4c: S, 4d: S).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x-1}{2x-1}=\frac{3}{2}$ nên TCN $y=\frac{3}{2}$; mẫu số triệt tiêu tại $x=\frac{1}{2}$ và tử khác 0 tại đó nên TCĐ $x=\frac{1}{2}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$, không phải $\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne \frac{1}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng, không đồng biến. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $y=\frac{3\cdot 0-1}{2\cdot 0-1}=1$, đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ $y=1\ne 0$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở hình vẽ (trang 5): khi $x\to -2^{\pm }$ thì $y\to \pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$. Khi $x\to \pm \infty$ thì đồ thị dần tiến tới đường thẳng $y=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 259, câu 5: A).