Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to -4$ và khi $x\to +\infty$, $y\to -1$ nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=-4$ và $y=-1$. Tại $x=-1$, $y\to +\infty$ (bên trái) và $y\to -\infty$ (bên phải) nên $x=-1$ là tiệm cận đứng; tại $x=1$, $y\to -\infty$ từ cả hai phía nên $x=1$ cũng là tiệm cận đứng. Tại $x=0$, hàm số đạt giá trị $2$ (cực đại), không phải tiệm cận đứng. Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $2+2=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{x-2}$ xác định khi $x\ne 2$. Tại $x=2$, mẫu số bằng 0 và tử số $3\cdot 2+2=8\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ xác định khi $x\ne 2$. Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x+1}{x-2}=+\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử số bằng bậc mẫu số, tiệm cận ngang là $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x+1}=\frac{1}{1}=1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, đường đỏ thẳng đứng tại $x=1$ là tiệm cận đứng (hàm số tiến đến $\pm \infty$ khi $x\to 1^{\pm }$); đường $y=-1$ là tiệm cận ngang. Vậy tiệm cận đứng là $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ của Câu 35: đồ thị có đường tiệm cận đứng $x=1$ (hai nhánh tiến ra vô cực khi $x\to 1$) và một đường tiệm cận xiên (đường nét đứt mà hai nhánh đồ thị tiến gần khi $x\to \pm \infty$). Không có tiệm cận ngang. Vậy tổng số đường tiệm cận là $2$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ ở Câu 36: đồ thị có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$ (nhánh đồ thị tiến vô cực khi $x\to 1^{\pm }$) và một đường tiệm cận xiên (đồ thị tiến gần một đường thẳng dốc khi $x\to \pm \infty$). Không có tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có tất cả 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: có hai đường tiệm cận đứng $x=-2$ và $x=2$ (hai nhánh đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to -2^{+}$, $x\to 2^{-}$...). Về tiệm cận ngang: khi $x\to +\infty$, đồ thị tiến đến đường $y=1$; khi $x\to -\infty$, đồ thị tiến đến đường $y=-1$. Vậy có 2 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang, tổng cộng 4 đường tiệm cận. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát đồ thị ở trang 13: khi $x\to 0^{+}$ và $x\to 0^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên đồ thị có một tiệm cận đứng $x=0$ (trục Oy). Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 3$ nên có tiệm cận ngang $y=3$; khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to 1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+2=3$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đường thẳng đứng $x=-2$ là tiệm cận đứng (nhánh trái vọt lên $+\infty$ khi $x\to -2^{-}$, nhánh phải xuống $-\infty$ khi $x\to -2^{+}$). Đường ngang $y=1$ là tiệm cận ngang vì khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến tới đường thẳng $y=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{x^2+5x+3}{x+2}=x+3-\frac{3}{x+2}$. a) TXĐ: $x\ne -2$ nên $D=\mathbb{R}\backslash \{-2\}$, phát biểu $D=\mathbb{R}\backslash \{2\}$ SAI. b) Tiệm cận đứng là $x=-2$ (vì ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$), còn $y=-2$ là đường ngang nên SAI. c) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(x+3)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-3}{x+2}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+3$, ĐÚNG. d) Đồ thị $y=x+3-\frac{3}{x+2}$ có tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận xiên và tiệm cận đứng: $I(-2;1)$, không phải $I(1;-2)$, SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
TXĐ yêu cầu $x+2\ne 0$ tức $x\ne -2$, nên $D=\mathbb{R}\backslash \{-2\}$, không phải $\mathbb{R}\backslash \{2\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là đường thẳng đứng $x=-2$; $y=-2$ là đường thẳng ngang, không phải tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+3-\frac{3}{x+2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-3}{x+2}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị $y=x+3-\frac{3}{x+2}$ là giao điểm của tiệm cận xiên $y=x+3$ và tiệm cận đứng $x=-2$, tức $I(-2;1)$, không phải $I(1;-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$. a) Điều kiện xác định: $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên $D=\mathbb{R}\backslash \{-1\}$, không phải $\mathbb{R}\backslash \{\pm 1\}$ → sai. b) Tiệm cận đứng là $x=-1$ (tử mẫu khác 0 tại $x=-1$), còn $x=1$ không phải tiệm cận đứng → sai. c) Bậc tử bằng bậc mẫu nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$ và không có tiệm cận xiên → đúng. d) $f(x)=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$, đồ thị là hyperbol nhận giao của hai tiệm cận $x=-1$, $y=1$ làm tâm đối xứng, tức $I(-1;1)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên $D=\mathbb{R}\backslash \{-1\}$, không loại $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-1$: mẫu bằng 0, tử bằng $-2\ne 0$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bậc tử bằng bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=1$; khi bậc tử không lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận xiên.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=1-\frac{2}{x+1}$ có hai tiệm cận $x=-1$ và $y=1$, giao của chúng là $I(-1;1)$ là tâm đối xứng của đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{x^2+3x+5}{x+2}=x+1+\frac{3}{x+2}$. a) TXĐ $D=\mathbb{R}\backslash \{-2\}$: đúng. b) ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ (tức $x+2=0$): đúng. c) Tiệm cận xiên là $y=x+1+0=x+1$... kiểm tra lại: phần nguyên là $x+1$, nên TCX là $y=x+1$; phát biểu c) đúng. d) Đồ thị $y=x+1+\frac{3}{x+2}$ nhận giao điểm của $x=-2$ và $y=1$ làm tâm đối xứng, tức $I(-2;1)$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x+2\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\backslash \{-2\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x^2+3x+5}{x+2}=\pm \infty$, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$, tức $x+2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+3x+5}{x+2}=x+1+\frac{3}{x+2}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-(x+1)\right]=0$: tiệm cận xiên là $y=x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=x+1+\frac{3}{x+2}$ có tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng $x=-2$ và đường thẳng $y=x+1$ tại $x=-2$ (cho $y=1$), tức $I(-2;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+1}{bx-2}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $I(2;3)$.
- Tiệm cận đứng: $bx-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow 2b-2=0\Rightarrow b=1$.
- Tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{b}=3\Rightarrow a=3b=3$.
Vậy $T=a+2b=3+2\cdot 1=5$, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ (do mẫu số bằng 0 tại $x=-1$) và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$ (tỉ số hệ số cao nhất của tử và mẫu). Giao điểm hai tiệm cận là $I(-1;2)$, tức $a=-1$, $b=2$. Vậy $2a+b=2(-1)+2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{ax+3}{x+c}$ có tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-c$ và tiệm cận ngang $y=a$. Vì tâm đối xứng $I(-2;-1)$ nên $-c=-2\Rightarrow c=2$ và $a=-1$. Khi đó $a-2c=-1-2\cdot 2=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $c=-1$. Tiệm cận xiên $y=ax+2$ đi qua điểm $(0;2)$ và đồ thị có điểm cực tiểu $(0;3)$: $y(0)=2+\frac{b}{c}=2-b=3$ nên $b=-1$. Tại điểm cực tiểu $x=0$: $y^{\prime }=a-\frac{b}{(x+c{)}^2}=0⟹a=\frac{b}{c^2}=-1$. Vậy $a=-1$, $b=-1$, $c=-1$, $P=a+b+c=-3$. Kiểm tra: tiệm cận xiên $y=-x+2$ phù hợp đường đứt nét trên hình.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=3$ nên $3b+c=0\Rightarrow c=-3b$. Giới hạn tại $\pm \infty$ đều bằng $-2$ nên $\frac{a}{b}=-2\Rightarrow a=-2b$. Cận $x\to 3^{+}$: $f\to +\infty$ và $x\to 3^{-}$: $f\to -\infty$. Viết $f(x)=\frac{ax+1}{b(x-3)}$, tại $x=3$ tử số bằng $3a+1=-6b+1$. Cần $\frac{-6b+1}{b}>0$ khi $x\to 3^{+}$. Nếu $b>0$ thì cần $-6b+1>0\Rightarrow b<\frac{1}{6}$ (thỏa); khi đó $a=-2b<0$, $c=-3b<0$. Nếu $b<0$ thì cần $b>\frac{1}{6}$, mâu thuẫn. Vậy chỉ có $b$ dương: có đúng 1 số dương.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số nên có tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$. Thật vậy, ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x-1}=2$. Đường $x=1$ là tiệm cận đứng (không phải ngang). Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{2-x}$ có bậc tử và bậc mẫu bằng nhau. Tính ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{2-x}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2-\frac{1}{x}}{\frac{2}{x}-1}=-2$. Vậy tiệm cận ngang là $y=-2$, đáp án B. (Tiệm cận đứng là $x=2$.)