Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng nên $\vec{b}$ cùng hướng với $\vec{a}$. Vì $\vec{a}$ và $\vec{c}$ đối nhau nên $\vec{c}$ ngược hướng với $\vec{a}$. Suy ra $\vec{b}$ và $\vec{c}$ ngược hướng. Do đó khẳng định đúng là B. Lưu ý: 'đối nhau' nghĩa là cùng phương, ngược hướng và khác độ dài nên không thể kết luận B và C đối nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$: a) Quy tắc hình bình hành tại đỉnh $C$ với hai cạnh $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CB}$ cho $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}$ (vì $ABDC$... thực chất $CDAB$ là hình bình hành với đường chéo $CA$) → Đúng. b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, còn $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{AD}$ → Sai. c) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$, còn $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$, không bằng nhau → Sai. d) $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{AC}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}$ vì $CDBA$ là hình bình hành có đường chéo $CA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 36: Cho hình bình hành $ABCD$.
a) Theo quy tắc hình bình hành tại đỉnh $C$: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}\ne \overrightarrow{CD}$. Sai.
c) $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\ne \overrightarrow{AC}$. Sai.
d) $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành tại $C$: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}\ne \overrightarrow{CD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\ne \overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $k<0$ thì $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$ (với $\vec{a}\ne \vec{0}$), nên khẳng định C là sai. Các khẳng định A, B, D đều đúng theo định nghĩa tích của vecto với một số.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $\overline{AB}=-3\overline{AC}$, ta có $\overline{BC}=\overline{AC}-\overline{AB}=\overline{AC}-(-3\overline{AC})=4\overline{AC}$. Vậy đẳng thức đúng là $\overline{BC}=4\overline{AC}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $I$ nằm giữa $B$ và $C$ với $BI=IC$, do đó $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo nguồn không có lời giải. Lời giải do AI cung cấp: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=-4\vec{a}-3\vec{a}=-7\vec{a}$. Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án nguồn. Lưu ý: trong nguồn, phương án D trùng với B ($\overrightarrow{MN}=-5\vec{a}$), đây là lỗi trùng lặp của đề gốc nhưng không ảnh hưởng đến đáp án đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=m\vec{b}$ và $\vec{a},\vec{b}$ ngược hướng nên $m<0$. Lấy độ lớn: $|\vec{a}|=|m|\cdot |\vec{b}|$ suy ra $5=|m|\cdot 15$, tức $|m|=\frac{1}{3}$. Kết hợp $m<0$ ta được $m=-\frac{1}{3}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto vận tốc ngược hướng nhau nên $k<0$, độ lớn $|k|=\frac{60}{40}=1,5$. Vậy $k=-1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(3-(-1);1-3)=(4;-2)$. Độ dài $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4^2+(-2{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{x}-2\vec{a}=\vec{b}-3\vec{c}$ suy ra $\vec{x}=2\vec{a}+\vec{b}-3\vec{c}$. Với $\vec{a}=(2;1)$, $\vec{b}=(3;4)$, $\vec{c}=(-7;2)$: $2\vec{a}=(4;2)$, $3\vec{c}=(-21;6)$. Vậy $\vec{x}=(4;2)+(3;4)-(-21;6)=(4+3+21;2+4-6)=(28;0)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ $\vec{a}=(-5;0)$ và $\vec{b}=(4;x)$ cùng phương khi và chỉ khi định thức $(-5)\cdot x-0\cdot 4=0$, tức $-5x=0\Rightarrow x=0$. Khi đó $\vec{b}=(4;0)$ cùng phương với $\vec{a}$ (cùng nằm trên phương trục hoành). Kết quả khớp với đáp số nguồn: 0.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\vec{a}+3\vec{b}=(2x;4)+(-15;3)=(2x-15;7)$. Vì $\vec{c}=2\vec{a}+3\vec{b}$ nên $x=2x-15$, suy ra $x=15$. Kiểm tra tung độ: $7=7$ thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp số nguồn: 15.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Do đó $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos 60^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}.$$ Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng hướng nên góc giữa chúng bằng $0^{\circ }$, do đó $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 0^{\circ }=|\vec{a}||\vec{b}|$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$, hai cạnh kề $AB$ và $AD$ vuông góc với nhau nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=90^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|\cos 90^{\circ }=a\cdot a\cdot 0=0$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}$ là vecto đối của $\vec{b}$ nên $\vec{a}=-\vec{b}$: hai vecto cùng phương (A đúng), ngược hướng (B đúng), cùng độ dài $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ (C đúng). Hai vecto đối không nhất thiết phải chung điểm đầu (điểm đầu có thể khác nhau), nên khẳng định D là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $ABCD$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=3$, $BC=4$. Theo định lí Pythagoras: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Vậy $|\overrightarrow{AC}|=AC=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $I$ nằm giữa $A$ và $B$ và $IA=IB$, tức là hai vecto $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ có cùng điểm đầu $I$, cùng độ dài nhưng ngược hướng, nghĩa là $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$. Xét các phương án: A) $IA=IB$ chỉ cho biết $I$ nằm trên trung trực của $AB$, chưa đảm bảo $I$ nằm trên đoạn $AB$, nên sai. B) $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}$ suy ra $A=B$, mâu thuẫn với $A,B$ phân biệt, sai. C) $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$ đúng như trên. D) $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}$ suy ra $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$, tức $I$ là điểm đầu của $\overrightarrow{IB}$... thực chất $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}$ với $I$ chung: $I-A=B-I$ suy ra $A+I...$ kiểm tra: $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}$ nghĩa là $I-A=I-B$ suy ra $A=B$, sai. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng hướng nên góc giữa chúng bằng 0°. Do đó $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 0^{\circ }=|\vec{a}|.|\vec{b}|$. Vậy đáp án A.