Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ có 4 đỉnh. Vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt: chọn điểm đầu có 4 cách, chọn điểm cuối khác điểm đầu có 3 cách, nên có $4\times 3=12$ vectơ. Cụ thể gồm 4 cạnh với 2 chiều mỗi cạnh ($\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{AD}$) và 2 đường chéo với 2 chiều mỗi đường chéo ($\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB}$), tổng cộng 12 vectơ. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, các cạnh và đường chéo song song với $AB$ theo cùng chiều là: $\overrightarrow{FO}$ (vì $FO\parallel AB$, cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$, độ dài bằng cạnh), $\overrightarrow{OC}$ (vì $OC\parallel AB$ cùng hướng, độ dài bằng cạnh), $\overrightarrow{ED}$ (vì $ED\parallel AB$ cùng hướng, độ dài bằng cạnh). Còn $\overrightarrow{FD}$ nằm trên đường chéo $FD$ đi qua tâm, không song song với $AB$ nên không bằng $\overrightarrow{AB}$. Vậy các vectơ bằng $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{FO},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{ED}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang, do đó $MN\parallel CD$ (và $MN\parallel AB$). Mệnh đề đúng.

b), d) Các vecto khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ mà giá không trùng với đường thẳng $AB$ phải nằm trên các đường thẳng song song với $AB$ trong hình: đường thẳng $CD$ (vì $CD$ là đáy nên $CD\parallel AB$) cho các vecto $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$; đường thẳng $MN$ (đường trung bình, $MN\parallel AB$) cho các vecto $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$. Tổng cộng có đúng 4 vecto. Vậy b) đúng, d) sai.

c) Vecto cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ (giá không trùng $AB$): trong 4 vecto trên, $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{NM}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$, chỉ còn $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng, tức là 2 vecto chứ không phải 3. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình của hình thang nên $MN\parallel CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các vecto cần tìm: $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$ (trên đường $CD$) và $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$ (trên đường $MN$) — đúng 4 vecto.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$, tức 2 vecto chứ không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 4 vecto như ở ý b), không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là định lý quen thuộc: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân (và ngược lại, hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau).
a) Đúng: giả thiết cho $|AC|=|BD|$, tức hai đường chéo $AC$ và $BD$ có độ dài bằng nhau.
b) Đúng: hình thang $ABCD$ có hai đường chéo $AC=BD$ thì là hình thang cân (định lý).
c) Sai: vì $ABCD$ là hình thang cân nên hai cạnh bên $AD$ và $BC$ có độ dài bằng nhau (điều này cũng khớp với kết luận $|BC|=|AD|$ của giả thiết).
d) Đúng: đây là định lý đảo — hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân, mà hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau, nên nếu $|BC|=|AD|$ thì $|AC|=|BD|$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết cho $|AC|=|BD|$ nên hai đường chéo có độ dài bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
c) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình thang cân nên hai cạnh bên $AD$ và $BC$ bằng nhau, không phải khác nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Định lý đảo: hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân, do đó hai đường chéo bằng nhau, tức $|AC|=|BD|$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$. Do đó $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}$ (quy tắc ba điểm). Vậy khẳng định A đúng. Kiểm tra các phương án khác: B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$; C sai vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{IB}$; D sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}\ne \overrightarrow{BI}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ và $\overrightarrow{DC}=\vec{c}-\vec{d}$, suy ra $\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{d}$, tức $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$. Vậy khẳng định đúng là phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$ (quy tắc trung điểm với $O$ là trung điểm $AC$ và $O^{\prime }$ là trung điểm $A^{\prime }{C}^{\prime }$). Tương tự $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=2\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}+\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+\overrightarrow{O{C}^{\prime }}+\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=4\overrightarrow{O{O}^{\prime }}$. Vì $O{O}^{\prime }=A{A}^{\prime }=a$ nên độ dài vectơ bằng $4a$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ tứ giác đều, các cạnh bên song song và bằng nhau nên $\overrightarrow{C^{\prime }C}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (hai vectơ ngược hướng, cùng độ dài 2). Do đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }C}=-|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}{|}^2=-2^2=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $P$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$... Cách tính trực tiếp: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CQ}$ không tiện; dùng trung điểm: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)$ (tính chất trung điểm hai cạnh trong tam giác/ba điểm). Cụ thể: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}$ với $\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{DQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$, nên $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề bằng phép tính vectơ:
- A: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, còn $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CA}$. Vì $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$ nên A sai.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$, còn $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}$. Vì $\overrightarrow{DC}\ne \overrightarrow{CD}$ nên B sai.
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}$. Hai vế bằng nhau, mệnh đề đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, còn $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$. Vì $\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{BD}$ nên D sai.
Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$. Suy ra $\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{DC}$. Vậy $BN\parallel DC$ và $BN=DC$, do đó tứ giác $BCDN$ là hình bình hành (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{ND}$ cũng thỏa mãn). Kiểm tra các phương án khác: $N$ không phải trung điểm $BD$ (khi đó $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$), không phải $N\equiv A$ (vì $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{DC}\ne \vec{0}$ nói chung). Vậy $N$ là đỉnh hình bình hành $BCDN$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $4BI=BG$ nên $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BG}$. Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ ta có $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\vec{b}+\vec{c}$. Do đó $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\vec{a}+\frac{1}{4}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=4\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=4\cdot AC\cdot \frac{1}{2}=2AC$. Theo đề $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6$ nên $2AC=6\Rightarrow AC=3$. Vậy độ dài $\overrightarrow{AC}$ bằng $3$, khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình la bàn 8 hướng: vectơ $\vec{a}$ nằm ở hướng NNE (khoảng $22,5^{\circ }$) và vectơ $\vec{c}$ nằm ở hướng SSW (khoảng $202,5^{\circ }$), hai hướng này lệch nhau đúng $180^{\circ }$ nên $\vec{a}$ và $\vec{c}$ nằm trên cùng một đường thẳng qua tâm nhưng chỉ về hai phía ngược nhau. Do đó: A đúng (cùng phương), B đúng (ngược hướng), D sai (không cùng hướng). Tương tự, $\vec{b}$ ở hướng SE ($135^{\circ }$) và $\vec{d}$ ở hướng NW ($315^{\circ }$) cũng lệch nhau $180^{\circ }$ nên C đúng (cùng phương). Mệnh đề sai là D, khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 1201: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos \widehat{BAC}=4\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos 60^{\circ }=2|\overrightarrow{AC}|=6$, suy ra $|\overrightarrow{AC}|=3$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 1201 (Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (cùng hướng, cùng độ dài). Do đó $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, tức mệnh đề $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ở phương án A là sai. Các mệnh đề còn lại đúng: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành); $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; và $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|=a$ (cùng độ dài cạnh lập phương).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{CD}$. Do đó: $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.$$ Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 9 được gạch chân C ở trang 7).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{x}\perp \vec{y}$ nên $\vec{x}\cdot \vec{y}=0$. Tính: $\vec{x}\cdot \vec{y}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=2|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 2-4+\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b}=0$. Vậy $\vec{a}\perp \vec{b}$, góc giữa hai vectơ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$). Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc ba điểm, vì $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$). Vậy mệnh đề đúng là B. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; C sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; D sai vì tổng bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ chứ không phải $\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$, suy ra A đúng; cũng từ đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$ (C đúng) và với điểm B bất kỳ: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BG}$ (D đúng). Xét B: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}=\vec{0}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GB}\ne \vec{0}$ vì $B$ không trùng $G$. Vậy khẳng định B sai.