Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, ta có $(A-I)+3(B-I)=\vec{0}$, suy ra $4I=A+3B$, tức $I=\frac{A+3B}{4}$. Tính tọa độ: $a=\frac{1+3(-1)}{4}=-\frac{1}{2}$, $b=\frac{2+3\cdot 3}{4}=\frac{11}{4}$, $c=\frac{0+3\cdot 5}{4}=\frac{15}{4}$. Kiểm tra: $\overrightarrow{IA}=\left(\frac{3}{2};-\frac{3}{4};-\frac{15}{4}\right)$, $\overrightarrow{IB}=\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{5}{4}\right)$, thật vậy $\overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{IB}$ nên $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ đúng. Vậy $a+2b+2c=-\frac{1}{2}+\frac{11}{2}+\frac{15}{2}=\frac{25}{2}$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều S.ABCD, đáy là hình vuông, O là giao hai đường chéo nên là trung điểm AC và BD, đồng thời SO ⊥ (ABCD).
a) Trong hình vuông ABCD, vectơ CD = -AB (cùng độ dài, ngược hướng), nên AB + CD = 0. Đúng.
b) O là trung điểm AC nên OA + OC = 0. Đúng.
c) O là trọng tâm (tâm) đáy, với điểm S bất kỳ: SA + SB + SC + SD = 4SO, không phải 2SO. Sai.
d) SA - SC = CA và SB + SD = 2SO. Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ CA, do đó CA · 2SO = 0. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông ABCD, CD = -AB nên AB + CD = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm của AC nên OA + OC = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
O là tâm đáy nên SA + SB + SC + SD = 4SO, không phải 2SO.
d) (AI giải đề cho tôi)
SA - SC = CA, SB + SD = 2SO; SO ⊥ (ABCD) nên CA ⊥ SO, tích vô hướng bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\vec{a}-2\vec{b}=(-2+2;1+6;-3-4)=(0;7;-7)\ne (0;1;-1)$ → sai. b) $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-4;7-6;-6+3)=(-2;1;-3)=\vec{a}$ → đúng. c) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không tỉ lệ ($-2/(-1)\ne 1/(-3)$) nên không cùng phương → sai. d) $\vec{a}\cdot \vec{b}=2-3-6=-7$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{14}$, $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-7}{14}=-\frac{1}{2}$ → góc bằng $120^{\circ }$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}-2\vec{b}=(0;7;-7)\ne (0;1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-4;7-6;-6+3)=(-2;1;-3)=\vec{a}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ không tỉ lệ nên hai vectơ không cùng phương.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-7}{\sqrt{14}\sqrt{14}}=-\frac{1}{2}$ nên góc bằng $120^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: O là tâm hình vuông ABCD, trục Ox hướng về C, Oy hướng về D, Oz hướng lên. Cạnh 2 nên nửa đường chéo bằng $\sqrt{2}$. Do đó $C(\sqrt{2};0;0)$, $A(-\sqrt{2};0;0)$, $B(0;-\sqrt{2};0)$, $D(0;\sqrt{2};0)$, và các đỉnh trên có cao 2: $C^{\prime }(\sqrt{2};0;2)$, $D^{\prime }(0;\sqrt{2};2)$.
a) $A(-\sqrt{2};0;0)\ne (-1;0;0)$ → Sai.
b) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=C^{\prime }-A=(2\sqrt{2};0;2)$ → Đúng.
c) $D^{\prime }(0;\sqrt{2};2)$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=D^{\prime }-B=(0;2\sqrt{2};2)\ne (0;0;2)$ → Sai.
a) Vì $AC=2\sqrt{2}$ nên $OA=\sqrt{2}$, A nằm trên trục Ox phía âm: $A(-\sqrt{2};0;0)$, không phải $(-1;0;0)$.
b) $A(-\sqrt{2};0;0)$, $C^{\prime }(\sqrt{2};0;2)$ nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2\sqrt{2};0;2)$.
c) D nằm trên trục Oy với $OD=\sqrt{2}$, cao bằng 2 nên $D^{\prime }(0;\sqrt{2};2)$.
d) $B(0;-\sqrt{2};0)$, $D^{\prime }(0;\sqrt{2};2)$ nên $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(0;2\sqrt{2};2)\ne (0;0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, quy tắc hình hộp cho $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Mặt khác $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Vậy mệnh đề A sai.

Các mệnh đề còn lại đúng:
- B: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ (vì $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$), đúng.
- C: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}$, đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, đúng.

Khớp đáp án nguồn (đề 0002, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, kiểm tra từng mệnh đề:

- A: $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ (vì $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$). Đúng.
- B: $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$. Đúng.
- C: $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Mệnh đề đề bài viết $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Sai.
- D: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.

Vậy mệnh đề sai là C, trùng đáp án nguồn (mã đề 0001, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }A}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ vuông góc với mặt đáy, ta được $\vec{u}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (đường chéo của hình lập phương). Độ dài đường chéo hình lập phương cạnh $a$ là $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }A}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vậy $|\vec{u}|=A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}$ (đường chéo hình lập phương cạnh $a$). Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (A đúng) và $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{BG}$ (C đúng). Với A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})=3\overrightarrow{AG}$ (B đúng). Xét D: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\vec{0}=\overrightarrow{GA}\ne \vec{0}$ vì A không trùng G. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$.
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ (đúng).
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp, đúng).
- C: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ (đúng).
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (sai).
Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A₁(0;0;a), D₁(0;a;a), B₁(a;0;a). M là trung điểm AD nên M(0; a/2; 0). Khi đó $\overrightarrow{B_{1}M}=(-a;\frac{a}{2};-a)$, $\overrightarrow{B{D}_1}=(-a;a;a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{B_{1}M}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}=a^2+\frac{a^2}{2}-a^2=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$ cạnh 2, ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. Vì các cặp cạnh $AB,AD$ và $AB,AC$ đều tạo góc $60^{\circ }$ và có độ dài 2, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2\cdot 2\cos 60^{\circ }=2$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$. Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=2-2=0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$, do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$ (D đúng). Với điểm S: $\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OS}$, tương tự với B, C, D, nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-4\overrightarrow{OS}=4\overrightarrow{SO}$ (A đúng). Với B: $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ (do ABCD hình bình hành), nên tổng bằng $\vec{0}$ (B đúng). Vậy mệnh đề SAI là C vì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}\ne \vec{0}$ (S không trùng O).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{\prime }(0;0;a),B^{\prime }(a;0;a),C^{\prime }(a;a;a),D^{\prime }(0;a;a)$, nên $O(a/2;a/2;0)$.
a) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }}-\overrightarrow{D}=(a;0;a)$, tích vô hướng $=a^2\ne \frac{a^2}{2}$ → sai.
b) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-a;a;0)$, tích vô hướng $=-a^2\ne -\frac{a^2}{2}$ → sai.
c) $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(0;0;-a)$, $\overrightarrow{C^{\prime }C}=(0;0;-a)$, $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, tổng $=(a;0;-2a)$, độ dài $=a\sqrt{5}\ne a\sqrt{3}$ → sai.
d) $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2};a)$, $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(\frac{a}{2};-\frac{a}{2};a)$, $\overrightarrow{O{C}^{\prime }}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};a)$, $\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=(-\frac{a}{2};\frac{a}{2};a)$; tổng $=(0;0;4a)$, độ dài $=4a$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a^2\ne \frac{a^2}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=-a^2\ne -\frac{a^2}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng vecto là $(a;0;-2a)$, độ dài $a\sqrt{5}\ne a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bốn vecto bằng $(0;0;4a)$, độ dài bằng $4a$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 120^0=4\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-6$.

Tính $|\vec{a}-\vec{b}|$:
$$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}.\vec{b}+|\vec{b}{|}^2=16-2(-6)+9=37$$
Suy ra $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{37}\approx 6,0828$.

Tính $|\vec{a}+\vec{b}|$:
$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}.\vec{b}+|\vec{b}{|}^2=16+2(-6)+9=13$$
Suy ra $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}\approx 3,6056$.

Vậy $A=\sqrt{37}+\sqrt{13}\approx 6,0828+3,6056=9,6883\approx 9,69$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O tại một góc của phòng, trục Ox dọc chiều dài 8m, Oy dọc chiều rộng 6m, Oz dọc chiều cao 4m. Khi đó các mặt phẳng tường là x=0, x=8, y=0, y=6 và trần là z=4.

- Quạt A treo chính giữa bức tường 8m (tường y=0), cách trần 1m nên z_A = 4 - 1 = 3. Tọa độ: A(4; 0; 3).
- Quạt B treo chính giữa bức tường 6m (tường x=0), cách trần 1,5m nên z_B = 4 - 1,5 = 2,5. Tọa độ: B(0; 3; 2,5).

Vecto $\overrightarrow{AB}=(-4;3;-0,5)$, nên:
$$AB=\sqrt{(-4{)}^2+3^2+(-0,5{)}^2}=\sqrt{16+9+0,25}=\sqrt{25,25}\approx 5,025\text{ (m)}.$$

Vậy khoảng cách giữa hai chiếc quạt xấp xỉ 5,025 m.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=B+C-A$. Với $A(1;0;3)$, $B(2;3;-4)$, $C(-3;1;2)$: $x_D=2+(-3)-1=-2$; $y_D=3+1-0=4$; $z_D=-4+2-3=-5$. Vậy $D(-2;4;-5)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $C=B+D-A$. Với $A(1;0;1)$, $B(2;1;2)$, $D(1;-1;1)$ ta có $C=(2+1-1;1+(-1)-0;2+1-1)=(2;0;2)$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
M(1;5;2), N(3;7;-4). P đối xứng với M qua N nên N là trung điểm MP: $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=(6-1;14-5;-8-2)=(5;9;-10)$. Suy ra $\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OK}=(5+1;9-3;-10-1)=(6;6;-11)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp chữ nhật với $B(0;0;0)$, $A(3;0;0)$, $D(3;1;0)$, $B^{\prime }(0;0;5)$. Trong mặt phẳng $(Oxy)$, tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(-0;1;0)$, suy ra $C(0;1;0)$. Do $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0;0;5)$ nên $C^{\prime }(0;1;5)$, tức $m=0,n=1,p=5$. Vậy $m^2+n^2+p^2=0+1+25=26$. Chọn A.