Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M^{\prime }$ trên trục $Ox$ có dạng $M^{\prime }(a;0;0)$. Khi đó $M{M}^{\prime }=\sqrt{(a+4{)}^2+5^2+5^2}=\sqrt{(a+4{)}^2+50}$, nhỏ nhất khi $a=-4$. Vậy $M^{\prime }(-4;0;0)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục theo đề: Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên. Khinh khí cầu thứ nhất: 2 km nam → x=2; 1 km đông → y=1; cao 0,5 km → z=0,5, nên A(2;1;0,5) → câu a đúng. Khinh khí cầu thứ hai: 1 km bắc → x=-1; 1,5 km tây → y=-1,5; cao 0,8 km → z=0,8, nên B(-1;-1,5;0,8), không phải (-1,5;-1;0,8) → câu b sai. Khoảng cách từ O đến A: OA=√(2²+1²+0,5²)=√5,25≈2,29 km ≠ √21 → câu c sai. Khoảng cách AB=√((2+1)²+(1+1,5)²+(0,5-0,8)²)=√(9+6,25+0,09)=√15,34≈3,9166≈3,92 km → câu d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nam 2 km → x=2, đông 1 km → y=1, cao 0,5 km → z=0,5, nên A(2;1;0,5).
b) (AI giải đề cho tôi)
Bắc 1 km → x=-1, tây 1,5 km → y=-1,5, cao 0,8 km → z=0,8, nên B(-1;-1,5;0,8) chứ không phải (-1,5;-1;0,8).
c) (AI giải đề cho tôi)
OA=√(4+1+0,25)=√5,25≈2,29 km, không bằng √21.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=√(3²+2,5²+0,3²)=√15,34≈3,92 km.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương khi tồn tại $k$ sao cho $\vec{u}=k\vec{v}$. Từ thành phần thứ nhất: $2=-2k\Rightarrow k=-1$. Kiểm tra thành phần thứ ba: $1=(-1)(-1)=1$ thỏa mãn. Thành phần thứ hai: $m-2=k\cdot 1=-1\Rightarrow m=1$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(2;1;1)$, $B(1;2;1)$, $C(2;-1;3)$.

a) Với hình bình hành $ABCD$ (theo thứ tự đỉnh), ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $D=B+C-A=(1+2-2;2-1-1;1+3-1)=(1;0;3)$. Đề nói $D(3;-2;3)$ (đó thực chất là $A+C-B$, tức đỉnh của hình bình hành $ABDC$) → SAI.

b) $AB=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}$, $AC=\sqrt{0+4+4}=2\sqrt{2}$, $BC=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$. Chu vi $=3\sqrt{2}+\sqrt{14}\approx 4,243+3,742=7,985<8$ → SAI.

c) Trọng tâm $G=\left(\frac{2+1+2}{3};\frac{1+2-1}{3};\frac{1+1+3}{3}\right)=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)$, khác $\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)$ → SAI.

d) $\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-2;2)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-2$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{2}$ nên $\cos \widehat{BAC}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ là góc tù → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành ABCD: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $D=B+C-A=(1;0;3)\ne (3;-2;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{2}$, $AC=2\sqrt{2}$, $BC=\sqrt{14}$, chu vi $=3\sqrt{2}+\sqrt{14}\approx 7,985<8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3}\right)$, tung độ phải là $\frac{2}{3}$ chứ không phải $-\frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{-2}{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$ nên $\widehat{BAC}=120^{\circ }$, góc tù.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M^{\prime }\in Oy$ có dạng $M^{\prime }(0;y;0)$. Ta có $M{M}^{\prime 2}=(0-1{)}^2+(y+2{)}^2+(0-3{)}^2=(y+2{)}^2+10\ge 10$, đạt giá trị nhỏ nhất khi $y=-2$. Vậy $M^{\prime }(0;-2;0)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=A+C-B$. Với $A(1;2;1)$, $B(-3;0;3)$, $C(2;4;-1)$: $D=(1+2-(-3);2+4-0;1+(-1)-3)=(6;6;-3)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;2)$, $\overrightarrow{DC}=(2-6;4-6;-1-(-3))=(-4;-2;2)$, đúng bằng nhau. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn (Câu 11: D, mã đề 2307).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ nằm trên đoạn $AB$ với $BC=2AC$ nên $AC=\frac{1}{3}AB$, tức $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(2;1;0)$. Suy ra $A=C-(2;1;0)=(1-2;1-1;2-0)=(-1;0;2)$. Vậy $m=-1,n=0,p=2$, do đó $m+3n+4p=-1+0+8=7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2: 7).

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có giá lần lượt nằm trên ba cạnh $AB$, $A{A}^{\prime }$, $AD$ của hình hộp chữ nhật, nên ba vectơ lực đôi một vuông góc. Chọn hệ trục sao cho $\overrightarrow{F_1}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{F_2}=(0;0;2)$, $\overrightarrow{F_3}=(0;3;0)$. Hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{2^2+2^2+3^2}=\sqrt{17}\approx 4,12$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn 4,12.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành). Vì $M$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Kết quả khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức trung điểm của $AC$ trùng trung điểm của $BD$. Gọi $D(x;y;z)$, điều kiện $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ cho: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-4;-2;2)$ và $\overrightarrow{DC}=C-D=(2-x;4-y;-1-z)$. Suy ra $2-x=-4\Rightarrow x=6$; $4-y=-2\Rightarrow y=6$; $-1-z=2\Rightarrow z=-3$. Vậy $D(6;6;-3)$, khớp với đáp án nguồn (Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có giá lần lượt nằm trên ba cạnh $AB$, $A{A}^{\prime }$, $AD$ của hình hộp chữ nhật nên ba vectơ lực đôi một vuông góc. Chọn hệ trục tọa độ gốc $A$, trục $Ox$ dọc $AB$, trục $Oy$ dọc $AD$, trục $Oz$ dọc $A{A}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{F_1}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{F_2}=(0;0;2)$, $\overrightarrow{F_3}=(0;2;0)$. Hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(2;2;3)$ nên $\left|\overrightarrow{F}\right|=\sqrt{2^2+2^2+3^2}=\sqrt{17}\approx 4,12$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn 4,12.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$. Trong hình hộp, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (vì $M$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$). Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(1;2;1)$, $B(-3;0;3)$, $C(2;4;-1)$: $x_D=1+2-(-3)=6$; $y_D=2+4-0=6$; $z_D=1+(-1)-3=-3$. Vậy $D(6;6;-3)$, trùng với đáp án C của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có giá lần lượt nằm trên ba cạnh $AB$, $A{A}^{\prime }$, $AD$ của hình hộp chữ nhật nên ba vectơ lực đôi một vuông góc. Chọn hệ trục tại $A$: $\overrightarrow{F_1}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{F_2}=(0;0;2)$ (theo $A{A}^{\prime }$), $\overrightarrow{F_3}=(0;3;0)$ (theo $AD$). Hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(2;3;2)$, do đó $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}\approx 4,12$ N. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,12.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ nằm trên đoạn $AB$ với $BC=2AC$ nên $AC=\frac{1}{3}AB$, tức $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(2;1;0)$. Suy ra $A=C-\overrightarrow{AC}=(1-2;1-1;2-0)=(-1;0;2)$. Vậy $m=-1,n=0,p=2$ và $m+3n+4p=-1+0+8=7$, khớp với đáp án nguồn (Câu 2: 7).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$. Trong hình hộp, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $M$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, trùng với đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
a) Hình chiếu của A(5;2;1) lên (Oyz) là (0;2;1) → Đúng. b) AB=√(16+16+4)=6, AC=√(9+1+0)=√10, nên AB+AC=6+√10 → Đúng. c) AB=(4;−4;2), AC=(−3;−1;0), AB·AC=−12+4=−8, cos BAC = −8/(6√10) = −2√10/15 < 0, không bằng 2√10/15 → Sai. d) M(m;0;0): MA·MB=MA·MC ⇔ MA·(C−B)=0 với C−B=(−7;3;−2): −7(5−m)+6−2=0 ⇔ 7m−31=0 ⇔ m=31/7≈4,43<5 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(5;2;1) lên mặt phẳng (Oyz) là (0;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=√(4²+(−4)²+2²)=6, AC=√((−3)²+(−1)²+0²)=√10, nên AB+AC=6+√10.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC=4(−3)+(−4)(−1)+2·0=−8, |AB||AC|=6√10, nên cos BAC=−8/(6√10)=−2√10/15, âm nên khác 2√10/15.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với M(m;0;0), MA·MB=MA·MC ⇔ MA·(C−B)=0 ⇔ −7(5−m)+3·2+(−2)·1=0 ⇔ 7m−31=0 ⇔ m=31/7≈4,43<5, nên hoành độ không lớn hơn 5.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có giá lần lượt nằm trên ba cạnh $AB$, $A{A}^{\prime }$, $AD$ của hình hộp chữ nhật nên ba vectơ lực đôi một vuông góc. Chọn hệ trục tại $A$: $\overrightarrow{F_1}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{F_2}=(0;0;2)$ (trên $A{A}^{\prime }$), $\overrightarrow{F_3}=(0;3;0)$ (trên $AD$). Hợp lực $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(2;3;2)$, nên $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}\approx 4,12$ N. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,12.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ nằm trên đoạn $AB$ với $BC=2AC$ nên $AC=\frac{1}{3}AB$, tức $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(2;1;0)$. Suy ra $A=C-\overrightarrow{AC}=(1-2;1-1;2-0)=(-1;0;2)$. Vậy $m=-1,n=0,p=2$ và $m+3n+4p=-1+0+8=7$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức trung điểm của $AC$ trùng trung điểm của $BD$, suy ra $A+C=B+D$ nên $D=A+C-B$. Với $A(1;2;1)$, $B(-3;0;3)$, $C(2;4;-1)$: $$D=(1+2-(-3);2+4-0;1+(-1)-3)=(6;6;-3).$$ Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;2)$ và $\overrightarrow{DC}=(2-6;4-6;-1-(-3))=(-4;-2;2)$, hai vectơ bằng nhau nên $ABCD$ là hình bình hành. Kết quả khớp với đáp án nguồn là C.