Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$, $M$ là trung điểm $AD$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AS}$. Do đó $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{SC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{SC}$.

Hình chóp có tất cả các cạnh bằng $3a\sqrt{2}$ nên là hình chóp đều, đáy là hình vuông cạnh $3a\sqrt{2}$, $SA=SB=SC=SD=3a\sqrt{2}$, đường chéo $AC=6a$, tâm đáy $O$ với $AO=3a$, chiều cao $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{18a^2-9a^2}=3a$.

Ta có $\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, nên:
$$\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{SC}=-S{A}^2+\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AD}.$$
Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $SA=SB=AB=3a\sqrt{2}$ nên góc giữa $\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{AB}$ có $\cos =\frac{1}{2}$, do đó $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AB}=3a\sqrt{2}\cdot 3a\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=9a^2$. Tương tự $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{AD}=9a^2$.

Vậy $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{SC}=-18a^2+9a^2+9a^2=0$, suy ra $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{SC}=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại góc phòng, hai mặt tường là hai mặt phẳng tọa độ và mặt đất là mặt phẳng $Oxy$. Chiếc đèn thứ nhất cách mỗi tường 1 m và cách mặt đất 3 m nên có tọa độ $A(1;1;3)$. Chiếc đèn thứ hai cách mỗi tường 2 m và cách mặt đất 1 m nên có tọa độ $B(2;2;1)$. Khoảng cách giữa hai đèn: $AB=\sqrt{(2-1{)}^2+(2-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\approx 2,4495\approx 2,45$ mét. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,45.

Tọa độ điểm A (0;0; 12). Tọa độ điểm B $\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};0\right)$. (0,5 điểm)
Độ dài dây cáp AB= $3\sqrt{41}$ . (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\vec{a}=-\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$ có tọa độ là các hệ số tương ứng: $(-1;2;-3)$. Điều này khớp với phương án D và cũng trùng với đáp án nguồn (1.D).

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\vec{u}=\vec{a}-2\vec{b}$ với $\vec{a}(1;1;-2)$, $\vec{b}(-2;1;4)$: $x=1-2(-2)=5$; $y=1-2(1)=-1$; $z=-2-2(4)=-10$. Vậy $\vec{u}=(5;-1;-10)$, khớp đáp án A (trang 19 ghi 10.A).

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: O là tâm hình vuông, cạnh đáy 4 nên nửa đường chéo $2\sqrt{2}$. Ta có $A(2\sqrt{2};0;0)$, $B(0;2\sqrt{2};0)$, $C(-2\sqrt{2};0;0)$, $D(0;-2\sqrt{2};0)$, $S(0;0;5)$, $M$ trung điểm $AB$ nên $M(\sqrt{2};\sqrt{2};0)$.
a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(2\sqrt{2};2\sqrt{2};0)$ còn $\overrightarrow{OM}=(\sqrt{2};\sqrt{2};0)$, khác nhau (thực tế $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$) → Sai.
b) $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\vec{A}+\vec{C}-2\vec{S}=-2\vec{S}$ vì $A+C=O$; tương tự $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=\vec{B}+\vec{D}-2\vec{S}=-2\vec{S}$. Hai vế bằng nhau → Đúng.
c) $B(0;2\sqrt{2};0)$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{AB}=(-2\sqrt{2};2\sqrt{2};0)$ nên $4\overrightarrow{AB}=(-8\sqrt{2};8\sqrt{2};0)$; $2\overrightarrow{OS}=(0;0;10)$. Vậy $\vec{u}=(-8\sqrt{2};8\sqrt{2};10)$, $a+b+c=10\ne 8\sqrt{2}$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(2\sqrt{2};2\sqrt{2};0)\ne \overrightarrow{OM}=(\sqrt{2};\sqrt{2};0)$; đúng ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là giao hai đường chéo nên $\vec{A}+\vec{C}=\vec{B}+\vec{D}=\vec{0}$, do đó cả hai vế đều bằng $-2\vec{S}=(0;0;-10)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh đáy 4, nửa đường chéo $2\sqrt{2}$, $B$ nằm trên tia Oy nên $B(0;2\sqrt{2};0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=4\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{OS}=(-8\sqrt{2};8\sqrt{2};10)$ nên $a+b+c=10\ne 8\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SB=SC$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}$, ba tam giác $ASB,BSC,CSA$ bằng nhau (c.g.c) nên $AB=BC=CA$, tức đáy $ABC$ là tam giác đều. Khi đó với $SA=SB=SC=a$ và $\cos \widehat{ASB}=\cos \widehat{CSA}=k$:
$$\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SB}.(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA})=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA}=a^{2}k-a^{2}k=0.$$
Vậy $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=0$, khớp với đáp án nguồn (Phần 3, Câu 2: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay chuyển động thẳng đều nên trong mỗi 10 phút độ dời vị trí như nhau. Gọi $\vec{d}$ là độ dời trong 10 phút. Sau 30 phút máy bay ở $N(a;b;c)$, sau 10 phút tiếp theo ở $Q(1400;800;16)$, tức $Q=N+\vec{d}$. Vì $M$ cách $N$ đúng 3 khoảng 10 phút nên $N=M+3\vec{d}=M+3(Q-N)$, suy ra $4N=M+3Q$, tức $N=\frac{M+3Q}{4}$. Thay tọa độ: $a=\frac{1000+3\cdot 1400}{4}=\frac{5200}{4}=1300$; $b=\frac{600+3\cdot 800}{4}=\frac{3000}{4}=750$; $c=\frac{14+3\cdot 16}{4}=\frac{62}{4}=15,5$. Vậy $a+b=1300+750=2050$, khớp với đáp án nguồn (Phần 3, Câu 3: 2050).

Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng là: $d_1=AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(7-0{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{59}.$ (0,25 điểm)
$d_2=BC=\sqrt{(9-4{)}^2+(1-7{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{77}.$ (0,25 điểm)
$d_3=AC=\sqrt{(9-1{)}^2+(1-0{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{74}.$ (0,25 điểm)
Suy ra $d_1+d_2+d_3=\sqrt{59}+\sqrt{77}+\sqrt{74}\approx 25,058.$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Vector $\vec{a}=-\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ có tọa độ là các hệ số tương ứng của $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$, tức $\vec{a}=(-1;2;3)$. So với các phương án: A $(-2;-1;-3)$ sai, B $(-3;2;-1)$ sai, C $(2;-3;-1)$ sai, D $(-1;2;3)$ đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1.D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;4;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, suy ra $C(2;4;0)$, $C^{\prime }(2;4;2)$.
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(2;4;0)=\overrightarrow{AC}\ne 2\overrightarrow{AC}$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(2;4;2)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → Đúng (quy tắc hình hộp).
c) $E$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$: $E(1;2;0)$; $F$ trung điểm $A{C}^{\prime }$: $F(1;2;1)$; $\overrightarrow{EF}=(0;0;1)$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{AC}=(2;4;0)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(2;0;2)$ nên $\vec{u}=2\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(4;8;0)-(6;0;6)=(-2;8;-6)$, $|\vec{u}|=\sqrt{4+64+36}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$ → Đúng.
Khớp với đáp án nguồn SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(2;4;0)=\overrightarrow{AC}$, không bằng $2\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng ba vectơ cạnh xuất phát từ $A$ bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;4;2)$ theo quy tắc hình hộp.
c) (AI giải đề cho tôi)
$E(1;2;0)$, $F(1;2;1)$, $\overrightarrow{EF}=(0;0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(-2;8;-6)$, độ dài $\sqrt{104}=2\sqrt{26}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a;a;0)$. Vì $SA=SB=SC=SD=a$ nên $S$ nằm trên đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy: $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$ (kiểm tra $S{A}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+\frac{2a^2}{4}=a^2$).

$M$ trung điểm $AD$: $M\left(0;\frac{a}{2};0\right)$; $N$ trung điểm $SD$: $N\left(\frac{a}{4};\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)$.

$\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{4};\frac{a}{4};\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)$, $\overrightarrow{SC}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{SC}=\frac{a^2}{8}+\frac{a^2}{8}-\frac{2a^2}{8}=0$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần 3, Câu 2: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại góc phòng, hai bức tường là hai mặt phẳng tọa độ và mặt đất là mặt phẳng Oxy. Đèn thứ nhất cách mỗi tường 1 m và cách mặt đất 2 m nên có tọa độ A(1;1;2). Đèn thứ hai cách mỗi tường 2 m và cách mặt đất 3 m nên có tọa độ B(2;2;3). Khoảng cách giữa hai đèn: AB = √((2−1)² + (2−1)² + (3−2)²) = √3 ≈ 1,73 m. Kết quả trùng với đáp án nguồn 1,73.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{b}=(-2;1;4)$ nên $2\vec{b}=(-4;2;8)$. Do đó $\vec{u}=\vec{a}-2\vec{b}=(1-(-4);1-2;-2-8)=(5;-1;-10)$. Kết quả trùng với đáp án A và với đáp án của đề (2.A).

Tọa độ điểm A (0;0; 10). Tọa độ điểm B $\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};0\right)$. (0,5 điểm)
Độ dài dây cáp AB= $5\sqrt{13}$ . (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{b}=(-2;1;4)$ nên $2\vec{b}=(-4;2;8)$. Khi đó $\vec{u}=\vec{a}-2\vec{b}=(1-(-4);1-2;-2-8)=(5;-1;-10)$. Kết quả trùng với đáp án A và với đáp án nguồn (10.A).

Đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng (DSĐĐ).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SB=SC=a$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}=\alpha$, ta có: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot (\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}=a^2\cos \alpha -a^2\cos \alpha =0$. Vậy $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$, khớp với đáp án nguồn (Phần 3, Câu 2: 0).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc không đổi: trong 10 phút máy bay đi hết đoạn AB, nên trong 5 phút tiếp theo đi được nửa đoạn AB. Vậy C là trung điểm của AB: $C\left(\frac{800+940}{2};\frac{500+550}{2};\frac{7+9}{2}\right)=C(1010;575;10)$. Suy ra $x+y+z=1010+575+10=1595$, khớp với đáp án nguồn 1595.

Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng là:
$$d_1=AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(7-1{)}^2+(9-1{)}^2}=2\sqrt{29}.$$ (0,25 điểm)
$$d_2=BC=\sqrt{(9-5{)}^2+(11-7{)}^2+(4-9{)}^2}=\sqrt{57}.$$ (0,25 điểm)
$$d_3=AC=\sqrt{(9-1{)}^2+(11-1{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{173}.$$ (0,25 điểm)
Suy ra $d_1+d_2+d_3=2\sqrt{29}+\sqrt{57}+\sqrt{173}\approx 31,5.$ (0,25 điểm)