Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ thuộc đoạn $BC$ và $MC=2MB$ nên $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CM}$, tức $M$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $\frac{MB}{MC}=\frac{1}{2}$, suy ra $M=\frac{2B+C}{3}$. Với $B(0;3;1)$, $C(-3;6;4)$: $M=\left(\frac{2\cdot 0-3}{3};\frac{2\cdot 3+6}{3};\frac{2\cdot 1+4}{3}\right)=(-1;4;2)$. Khi đó $AM=\sqrt{(-1-2{)}^2+(4-0{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $O(0;0;0)$, $A(2;0;0)$, $C(0;4;0)$ (vì $OC=4$), $B(2;2;0)$ (vì $AB\parallel OC$, $AB=2$), $S(0;0;2)$ (vì $SO=2$). Suy ra $M(2;3;0)$, $N(0;2;0)$, $P(1;0;1)$.
a) $\overrightarrow{MN}=(-2;-1;0)$, $\overrightarrow{OB}=(2;2;0)$, tổng $=(0;1;0)$, độ dài bằng $1\ne \sqrt{2}$. Sai.
b) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=(2;0;0)\cdot (-2;2;0)=-4\ne 4$. Sai.
c) $\overrightarrow{CO}=(0;-4;0)$ còn $2\overrightarrow{AB}=(0;4;0)$, thực tế $\overrightarrow{CO}=-2\overrightarrow{AB}$. Sai.
d) $\overrightarrow{PM}=(1;3;-1)$, $\overrightarrow{AM}=(0;3;0)$, tích vô hướng $=9$, $|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{11}$, $|\overrightarrow{AM}|=3$ nên $\cos =\frac{9}{3\sqrt{11}}=\frac{3}{\sqrt{11}}\approx 0,9045\ne \frac{9}{10}$. Sai.
Cả bốn mệnh đề đều sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{OB}=(0;1;0)$ nên độ dài bằng $1\ne \sqrt{2}$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=-4\ne 4$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{CO}=-2\overrightarrow{AB}$, không phải $2\overrightarrow{AB}$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos =\frac{3}{\sqrt{11}}\approx 0,9045\ne \frac{9}{10}$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Các cạnh: $AB=\sqrt{2^2+4^2+(-4{)}^2}=6$, $AC=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5$, $BC=\sqrt{1^2+(-4{)}^2+8^2}=9$. a) $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(16;-20;-12)$, $|\cdot |=\sqrt{800}=20\sqrt{2}$, $S=10\sqrt{2}$, đường cao $AH=\frac{2S}{BC}=\frac{20\sqrt{2}}{9}\ne \frac{10\sqrt{2}}{3}$ → Sai. b) Chu vi $=6+5+9=20$ → Đúng. c) Với $M(a;b;0)$: $2M{A}^2-3M{B}^2+4M{C}^2=3a^2-24a+3b^2+30b+179=3[(a-4{)}^2+(b+5{)}^2]+56$, nhỏ nhất tại $a=4,b=-5$ khi $a+b=-1\ne 1$ → Sai. d) Chân phân giác trong góc $B$ trên $AC$ thỏa $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$, nên $D=\frac{3A+2C}{5}=\left(\frac{16}{5};-1;\frac{18}{5}\right)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S_{ABC}=10\sqrt{2}$, $BC=9$ nên $AH=\frac{20\sqrt{2}}{9}\ne \frac{10\sqrt{2}}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB=6,AC=5,BC=9$, chu vi $=20$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức nhỏ nhất tại $a=4,b=-5$ nên $a+b=-1\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$, $D=\frac{3A+2C}{5}=\left(\frac{16}{5};-1;\frac{18}{5}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AD}$, $\vec{c}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ với $|\vec{a}|=|\vec{b}|=2$, $|\vec{c}|=6$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ (đáy là hình vuông), $\vec{a}\cdot \vec{c}=2\cdot 6\cos 120^{\circ }=-6$, $\vec{b}\cdot \vec{c}=2\cdot 6\cos 60^{\circ }=6$. Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$, suy ra $\vec{u}=2\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=3\vec{a}+3\vec{b}+\vec{c}$. Khi đó $|\vec{u}{|}^2=9|\vec{a}{|}^2+9|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2+18\vec{a}\cdot \vec{b}+6\vec{a}\cdot \vec{c}+6\vec{b}\cdot \vec{c}=36+36+36+0-36+36=108$. Vậy $|\vec{u}|=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$, khớp với đáp án B của nguồn (trang 7).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $OAB$ có $OA=6$, $OB=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $AB=\sqrt{(6-3{)}^2+4^2}=5$. Tâm đường tròn nội tiếp là trọng tâm có trọng số bằng độ dài cạnh đối diện: $I=\frac{AB\cdot O+OB\cdot A+OA\cdot B}{AB+OB+OA}=\frac{5(0;0;0)+5(6;0;0)+6(3;4;0)}{16}=\left(3;\frac{3}{2};0\right)$. Vậy $3a+4b-2026c=9+6-0=15$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: tâm đáy $O$ là gốc, $S(0;0;4)$, đáy $z=0$ với $A(1;1;0),B(-1;1;0),C(-1;-1;0),D(1;-1;0)$. Điểm $M$ trên $BD$: $M(u;-u;0)$, $u\in [-1;1]$. Điểm $N$ trên $SC$: $N(-s;-s;4(1-s))$, $s\in [0;1]$. Ta có $M{N}^2=(u+s{)}^2+(s-u{)}^2+16(1-s{)}^2=2u^2+2s^2+16(1-s{)}^2$. Với $s$ cố định, $M{N}^2$ nhỏ nhất khi $u=0$ (tức $M$ là tâm $O$). Khi đó $f(s)=2s^2+16(1-s{)}^2$, $f^{\prime }(s)=4s-32(1-s)=0\Rightarrow s=\frac{8}{9}$, $M{N}^2=\frac{2\cdot 64}{81}+\frac{16}{81}=\frac{144}{81}$, $MN=\frac{4}{3}$. Trung điểm $P$ của $MN$: $M(0;0;0)$, $N\left(-\frac{8}{9};-\frac{8}{9};\frac{4}{9}\right)$ nên $P\left(-\frac{4}{9};-\frac{4}{9};\frac{2}{9}\right)$. Khoảng cách $SP=\sqrt{\frac{16}{81}+\frac{16}{81}+{\left(4-\frac{2}{9}\right)}^2}=\sqrt{\frac{32+1156}{81}}=\sqrt{\frac{44}{3}}\approx 3,83m$. Giá trị này gần nhất với $4m$. Đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;-3;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;0;-2)$. Suy ra $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=(-6;-9;3)+(4;0;4)=(-2;-9;7)$. Vậy $a+b-c=-2-9-7=-18$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCM$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MC}$, tức trung điểm của $AC$ trùng trung điểm của $BM$. Trung điểm $AC$: $\left(\frac{1+(-2)}{2};\frac{2+3}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(-0,5;2,5;1)$. Suy ra $M=2\cdot (-0,5;2,5;1)-B(2;-1;3)=(-3;6;-1)$, tức $a=-3,b=6,c=-1$. Khi đó $P=a^2+b^2+c^2=9+36+1=46$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M{A}^2+M{B}^2-2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=|\overrightarrow{AB}{|}^2=16+4+16=36$. Do đó phương trình trở thành $36+{\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}\right)}^2=36\Rightarrow \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$, tức $\angle AMB=90^{\circ }$: tập hợp $M$ là đường tròn đường kính $AB$. Với $M(x;y;0)$ thuộc $(Oxy)$: $(3-x)(-1-x)+(4-y)(2-y)+(-1)(3)=0\iff x^2+y^2-2x-6y+2=0\iff (x-1{)}^2+(y-3{)}^2=8$. Vậy $M$ thuộc đường tròn tâm $I(1;3;0)$ bán kính $r=2\sqrt{2}$ trong mặt phẳng $(Oxy)$. Parametrize $M(1+2\sqrt{2}\cos t;3+2\sqrt{2}\sin t;0)$. Khi đó $M{C}^2=(x-3{)}^2+(y-4{)}^2+16=29-8\sqrt{2}\cos t-4\sqrt{2}\sin t\le 29+\sqrt{128+32}=29+4\sqrt{10}\approx 41,649$. Suy ra $M{C}_{\max }=\sqrt{29+4\sqrt{10}}\approx 6,45\approx 6,5$. (Lưu ý: không thể dùng $CI+r$ vì $C$ không nằm trong mặt phẳng đường tròn.) Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ đơn vị: đặt $B$ làm gốc, $\vec{u}$ theo $\overrightarrow{BA}$, $\vec{v}$ theo $\overrightarrow{BC}$, $\vec{w}$ theo $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ với các cặp vectơ đôi một góc $60^{\circ }$. Khi đó $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{w}=\vec{v}\cdot \vec{w}=\frac{1}{2}$.

Ta có: $A=2\vec{u}$, $C=3\vec{v}$, $D=A+C-B=2\vec{u}+3\vec{v}$, $C^{\prime }=3\vec{v}+\vec{w}$, $D^{\prime }=2\vec{u}+3\vec{v}+\vec{w}$.

$M\in AC$: $M=2\vec{u}+t(3\vec{v}-2\vec{u})=(2-2t)\vec{u}+3t\vec{v}$.

$N\in D{C}^{\prime }$: $N=2\vec{u}+3\vec{v}+s(\vec{w}-2\vec{u})=(2-2s)\vec{u}+3\vec{v}+s\vec{w}$.

Suy ra $\overrightarrow{MN}=(2t-2s)\vec{u}+(3-3t)\vec{v}+s\vec{w}$.

Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=2\vec{u}+3\vec{v}+\vec{w}$ nên $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, dẫn đến hệ:
$2t-2s=2k$, $3-3t=3k\Rightarrow t=1-k$, $s=k$.

Thay vào: $2(1-k)-2k=2k\Rightarrow k=\frac{1}{3}$. Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Tính $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}{|}^2=4+9+1+2\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}+2\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot 3\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=14+6+2+3=25$, nên $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=5$.

Do đó $MN=\frac{1}{3}\cdot 5=\frac{5}{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Từ 3IA+2IB−IC=0 suy ra 3A+2B−C=4I. Với A(0;0;−1), B(−1;1;0), C(1;0;1): 3A+2B−C=(0;0;−3)+(−2;2;0)+(−1;0;−1)=(−3;2;−4), nên I(−3/4; 1/2; −1), khác I(−3/4; −1/2; 1) → sai.
b) Gọi A′, C′ là hình chiếu của A, C lên (Oxy): A′(0;0;0), C′(1;0;0). Vì z_A=z_C=−1 nên AP=√(A′P²+1), CQ=√(C′Q²+1). Theo bất đẳng thức tam giác: |AP−CQ| ≤ |A′P−C′Q| ≤ A′C′=1. Vậy max T=1<2 → sai.
c) BC=(2;−1;1). H=B+t·BC=(−1+2t; 1−t; t). AH·BC=0: (1−2t; t−1; −1−t)·(2;−1;1)=2−4t−t+1−1−t=2−6t=0 → t=1/3, H(−1/3; 2/3; 1/3). Khi đó 3a+6b+9c=−1+4+3=6 → đúng.
d) AB²=3, AC²=5, BC²=6. AB·BC=(−1;1;1)·(2;−1;1)=−2<0 nên góc B tù → tam giác ABC là tam giác tù → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
3A+2B−C=4I=(−3;2;−4) nên I(−3/4; 1/2; −1), không phải (−3/4; −1/2; 1).
b) (AI giải đề cho tôi)
|AP−CQ| ≤ |A′P−C′Q| ≤ A′C′=1, nên max T=1, không phải 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
H(−1/3; 2/3; 1/3) nên 3a+6b+9c=−1+4+3=6.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB·BC=−2<0 nên góc B tù, tam giác ABC tù.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$. Do đó $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=-\vec{c}+\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c})$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OE}=2\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$ ta có $E(2;-3;4)$. Điểm đối xứng với $E$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ đổi dấu hoành độ, giữ nguyên tung độ và cao độ, nên có tọa độ $(-2;-3;4)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$: $x=\frac{1+3}{2}=2$, $y=\frac{1+1}{2}=1$, $z=\frac{2+0}{2}=1$. Vậy trung điểm là $(2;1;1)$, khớp đáp án A (đáp án nguồn cũng là A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong 20 giây máy bay đi được vector (-8;6;0) nên mỗi 10 giây đi (-4;3;0): C = B + (-4;3;0) = (-12;9;10). Xe tăng mỗi 10 giây đi (3/40;1/10;0): F = E + (3/40;1/10;0) = (9/40;3/10;0). Đúng.
b) BE = sqrt((-163/20)^2 + (29/5)^2 + 10^2) = sqrt(66.4225 + 33.64 + 100) = sqrt(200.0625) ≈ 14.14 km, làm tròn là 14 km chứ không phải 15 km. Sai.
c) Quãng đường xe tăng trong 20 giây: sqrt((3/20)^2+(1/5)^2) = 5/20 = 0.25 km = 250 m, vận tốc trung bình = 250/20 = 12.5 m/s. Đúng.
d) Máy bay: vị trí P = A + 27·(-4/5;3/5;0) = (-21.6;16.2;10), vận tốc 1800·(-4/5;3/5;0) = (-1440;1080;0) km/h. Xe tăng: Q = (3/5;4/5;0), vận tốc 60·(3/5;4/5;0) = (36;48;0) km/h. P−Q = (-22.2;15.4;10), |P−Q| = sqrt(830) ≈ 28.8097 km. Tốc độ thay đổi khoảng cách = |(P−Q)·(v_máybay − v_xetăng)|/|P−Q| với hiệu vận tốc (-1476;1032;0): tích vô hướng = 32767.2 + 15892.8 = 48660, nên 48660/28.8097 ≈ 1689 km/h. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi 10 giây máy bay đi (-4;3;0) nên C(-12;9;10); xe tăng đi (3/40;1/10;0) nên F(9/40;3/10;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
BE = sqrt(200.0625) ≈ 14.14 km, làm tròn là 14 km.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường 0.25 km trong 20 s tương ứng 12.5 m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
d/dt|P−Q| = (P−Q)·(v1−v2)/|P−Q| = 48660/sqrt(830) ≈ 1689 km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AC có tọa độ $\left(\frac{-4+a}{2};\frac{-1+b}{2};\frac{2+c}{2}\right)$ thuộc trục tung $Oy$ nên hoành độ và cao độ bằng 0: $\frac{-4+a}{2}=0\Rightarrow a=4$; $\frac{2+c}{2}=0\Rightarrow c=-2$. Trung điểm $BC$ có tọa độ $\left(\frac{3+a}{2};\frac{5+b}{2};\frac{-6+c}{2}\right)$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ nên tung độ bằng 0: $\frac{5+b}{2}=0\Rightarrow b=-5$. Vậy $T=2a+b-c=8-5+2=5$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 3, MD0911 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng có tính giao hoán nên A đúng; tính phân phối nên C đúng; tính kết hợp với số nhân nên D đúng. Khẳng định B sai vì $(\vec{a}.\vec{b}{)}^2=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2{\cos }^2(\vec{a},\vec{b})\le {\vec{a}}^2.{\vec{b}}^2$, dấu bằng chỉ xảy ra khi hai vectơ cùng hoặc ngược phương. Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{u}=\vec{a}-2\vec{b}=(1;1;-2)-2(-2;1;4)=(1+4;1-2;-2-8)=(5;-1;-10)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (10.A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=-\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ nên tọa độ của $\vec{a}$ là $(-1;2;3)$. Khớp với đáp án nguồn 12.D.

Đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng (SDDS).