Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;-1;3)$ trên trục $Oy$ là điểm nằm trên trục $Oy$ nên có tọa độ dạng $(0;y;0)$, với $y$ bằng tung độ của $M$, tức $y=-1$. Vậy hình chiếu là điểm $(0;-1;0)$. Kết quả trùng với đáp án B trong đề và bảng đáp án chính thức (Câu 5, mã đề 0101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{BA}=A-B=(1-3;1-(-1);-2-2)=(-2;2;-4)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1204, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a), C'(a;a;a), D'(0;a;a).
a) Đúng: $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;a;a)$ nên $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$.
b) Sai: $\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$ còn $\overrightarrow{DA}=(0;-a;0)$, do đó $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}\ne \overrightarrow{DA}$ (thực tế $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).
c) Sai: $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=(0;a;0)$ (cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$), nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=0\ne -a^2$.
d) Sai: $\overrightarrow{C^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}$ suy ra $N=\frac{C^{\prime }+2B^{\prime }}{3}=(a;\frac{2a}{3};a)$. Khi đó $\overrightarrow{AN}=(a;\frac{2a}{3};a)=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, khác $\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)S - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;a;a)$ nên $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$ và $\overrightarrow{DA}=(0;-a;0)$ nên $\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA}$, không bằng $\overrightarrow{DA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên tích vô hướng bằng $0$, không phải $-a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{C^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}$ được $N=(a;\frac{2a}{3};a)$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{BC}=C-B=(4-2;-6-3;1-4)=(6;-9;-3)$ → Đúng.
b) Hình chiếu của $C(4;-6;1)$ lên trục $Oy$ là $C^{\prime }(0;-6;0)$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{BA}=A-B=(3;-3;-6)$, $\overrightarrow{BC}=(6;-9;-3)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=18+27+18=63>0$ nên $\widehat{ABC}<90^{\circ }$ → Đúng.
d) Trọng tâm $M=\left(\frac{1-2+4}{3};\frac{0+3-6}{3};\frac{-2+4+1}{3}\right)=(1;-1;1)$, nên $OM=\sqrt{3}\ne 3$ → Sai. Khớp đáp án nguồn: a)Đ - b)Đ - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(4-(-2);-6-3;1-4)=(6;-9;-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $C(4;-6;1)$ lên trục $Oy$ giữ tung độ, hai tọa độ còn lại bằng 0: $C^{\prime }(0;-6;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}=(3;-3;-6)$, $\overrightarrow{BC}=(6;-9;-3)$, tích vô hướng $=18+27+18=63>0$ nên góc nhọn.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=(1;-1;1)$ nên $OM=\sqrt{3}\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng với $A(-5;2;3)$ qua trục $Ox$ là $B(-5;-2;-3)$. Khi đó $AB=\sqrt{(-5+5{)}^2+(-2-2{)}^2+(-3-3{)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx 7,211\approx 7,2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (7,2).

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(-3;1;2)$, $B(-2;4;-1)$, $C(1;-3;3)$: $x_D=-3+1-(-2)=0$; $y_D=1-3-4=-6$; $z_D=2+3-(-1)=6$. Vậy $D(0;-6;6)$, trùng phương án C (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của điểm $M(-2;5;1)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ giữ nguyên tọa độ $x$ và $z$, còn tọa độ $y$ bằng $0$. Vậy hình chiếu là $(-2;0;1)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1204, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot (-2)+(-2)\cdot 1+1\cdot 1=-3$. Độ dài: $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-3}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=-\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai vecto bằng $120^{\circ }$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{BA}=(x_A-x_B;y_A-y_B;z_A-z_B)=(1-3;1-(-1);-2-2)=(-2;2;-4)$. Kết quả trùng với đáp án C và khớp với bảng đáp án của đề (mã đề 1203, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot (-2)+(-2)\cdot 1+1\cdot 1=-2-2+1=-3$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$, $|\vec{b}|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-3}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai vecto bằng $120^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của điểm $M(-2;5;1)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là điểm có tung độ bằng $0$, giữ nguyên hoành độ và cao độ: $(-2;0;1)$. Vậy chọn C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1203, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\left|\overrightarrow{A^{\prime }C}\right|$ là độ dài đường chéo hình lập phương cạnh $a$ nên $A^{\prime }C=a\sqrt{3}$. b) Sai: $AB\parallel CD$ nhưng ngược hướng nên $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AB}$. c) Sai: $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng phương với $\overrightarrow{AD}$ nên vuông góc với $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=0\ne a^2$. d) Đúng: $\overrightarrow{C^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+2\overrightarrow{A{B}^{\prime }}}{3}=\frac{(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+2(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB})}{3}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$. Kết quả khớp đáp án nguồn Mã đề 1203: a)Đ - b)S - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\left|\overrightarrow{A^{\prime }C}\right|$ là độ dài đường chéo hình lập phương cạnh $a$: $A^{\prime }C=a\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ vì $AB\parallel CD$ và ngược hướng, nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{CD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng phương với $\overrightarrow{AD}$ nên vuông góc với $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=0\ne a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{C^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}\Rightarrow N=\frac{C^{\prime }+2B^{\prime }}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+2\overrightarrow{A{B}^{\prime }}}{3}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2-1;3-0;4-(-2))=(-3;3;6)\ne (3;-3;6)$ → Sai. b) Hình chiếu vuông góc của $B(-2;3;4)$ lên trục $Ox$ là $B^{\prime }(-2;0;0)$, không phải $(-2;3;0)$ → Sai. c) $\overrightarrow{AB}=(-3;3;6)$, $\overrightarrow{AC}=(3;-6;3)$, tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-9-18+18=-9<0$ nên $\widehat{BAC}>90^{\circ }$ → Đúng. d) Trọng tâm $M=\left(\frac{1-2+4}{3};\frac{0+3-6}{3};\frac{-2+4+1}{3}\right)=(1;-1;1)$, $OM=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã 1203: a)S - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-3;3;6)\ne (3;-3;6)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B$ lên trục $Ox$ là $B^{\prime }(-2;0;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-9<0$ nên $\widehat{BAC}>90^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(1;-1;1)$ nên $OM=\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng với $A(-5;2;3)$ qua trục $Oy$ là $B(5;2;-3)$ (đổi dấu hoành độ và tung độ, giữ nguyên cao độ). Khi đó $AB=\sqrt{(5-(-5){)}^2+(2-2{)}^2+(-3-3{)}^2}=\sqrt{100+0+36}=\sqrt{136}\approx 11,66\approx 11,7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (11,7).

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $A+C=B+D$ nên $D=A+C-B$. Với $A(-3;1;2)$, $B(-2;4;-1)$, $C(1;-3;3)$: $x_D=-3+1+2=0$, $y_D=1-3-4=-6$, $z_D=2+3+1=6$. Vậy $D(0;-6;6)$, khớp đáp án A (bảng đáp án mã đề 1203, câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{NM}=M-N=(1-3;-2-4;3-(-5))=(-2;-6;8)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(1;-2;2)$, $\vec{b}=(-2;0;3)$: A đúng vì $\vec{a}+\vec{b}=(-1;-2;5)$; B đúng vì $\vec{a}-\vec{b}=(3;-2;-1)$; C đúng vì $2\vec{a}+\vec{b}=(2;-4;4)+(-2;0;3)=(0;-4;7)$; D sai vì $3\vec{a}=(3;-6;6)\ne (3;-2;2)$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(-1;0;3)$, $B(2;1;-1)$, $C(3;2;2)$: $D=(-1+3-2;0+2-1;3+2+1)=(0;1;6)$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương cạnh 1, A(0;0;0), AB cùng hướng i, AD cùng hướng j, AA' cùng hướng k nên B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;0;1), C(1;1;0), B'(1;0;1), C'(1;1;1), D'(0;1;1).
a) B(1;0;0) đúng.
b) AC' = C' - A = (1;1;1) = i + j + k ≠ i + j, sai.
c) Trung điểm B'C': B'(1;0;1), C'(1;1;1) nên M(1; 1/2; 1) ≠ (1/2;1/2;1), sai.
d) G trọng tâm tam giác CB'D' với C(1;1;0), B'(1;0;1), D'(0;1;1): G = ((1+1+0)/3; (1+0+1)/3; (0+1+1)/3) = (2/3; 2/3; 2/3). Tam giác GAC: AC = (1;1;0), AG = (2/3;2/3;2/3). Tích có hướng AC × AG = (1·2/3 - 0·2/3; 0·2/3 - 1·2/3; 1·2/3 - 1·2/3) = (2/3; -2/3; 0), độ dài = 2√2/3, diện tích = (1/2)(2√2/3) = √2/3 ≠ √6/3, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì AB cùng hướng i và cạnh bằng 1 nên B(1;0;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
AC' = (1;1;1) = i + j + k, không bằng i + j.
c) (AI giải đề cho tôi)
B'(1;0;1), C'(1;1;1) nên M(1; 1/2; 1), khác (1/2;1/2;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
G(2/3;2/3;2/3); diện tích tam giác GAC = √2/3, không phải √6/3.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Vì $D(0;3;0)$, $D^{\prime }(0;3;-3)$ nên $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(0;0;-3)$. Do đó $A^{\prime }=A+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(0;0;-3)$, tức $a=0,b=0,c=-3$. Vậy $a+b-c=0+0-(-3)=3$.