Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M(90;0;30)$, $N(90;120;30)$, $P(0;120;30)$, $Q(0;0;30)$.

Giả sử $K_0$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$. Để theo dõi quả bóng đến vị trí $A$, camera được hạ thấp theo phương thẳng xuống điểm $K_1$ cao độ bằng 19.



Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{K_0{K}_1}=(a;b;c)$ với $a,b,c$ là các số thực. Tính $P=a+b-c$?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;1)$, $B(-2;1;0)$, $C(2;-3;1)$. Điểm $S(a;b;c)\in (Oyz)$ sao cho $P=S{A}^2+S{B}^2+3S{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=a+b+c$?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(4;0;0),B(-4;0;0)$ và $C(0;6;1)$. Gọi $M$ là một điểm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB=10$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MC$ (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;1)$, $B(-2;1;0)$, $C(2;-3;1)$. Điểm $S(a;b;c)\in (Oyz)$ sao cho $P=S{A}^2+S{B}^2+3S{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=a+b+c$?

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh $A(1;0;2)$, $B(3;-2;1)$, $C(-1;-1;4)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ nằm trên mặt nước, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước, trục $Oz$ hướng lên trên (đơn vị đo trên mỗi trục bằng 1 mét trên thực tế), một con chim bói cá đang ở vị trí $(C)$ cách mặt nước 2 m, cách mặt phẳng $(Oxz)$, $(Oyz)$ lần lượt là 3 m và 1 m phóng thẳng xuống vị trí con cá (điểm $A$) cách mặt nước 50 cm và cách mặt phẳng $(Oxz)$, $(Oyz)$ lần lượt là 1 m và 1,5 m. Tọa độ của chim bói cá lúc vừa tiếp xúc với mặt nước (điểm $B$) là $(a;b;c)$. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;0;2)$, $B(-1;-1;4)$, $C(1;3;6)$. Biết điểm $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Tính $b-c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A,B$ thỏa mãn $\overrightarrow{OA}=(2;-1;3)$, $\overrightarrow{OB}=(5;2;-1)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $a$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AS}\cdot \overrightarrow{CD}$.

Trong không gian $Oxyz$, số đo góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}=(-2;-1;2)$ và $\overrightarrow{b}=(0;1;-1)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(-2;3;1)$, $B(2;1;0)$, $C(-3;-1;1)$ và $D(1;1;1)$. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thoả mãn hệ thức $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{ID}=\vec{0}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc nhau và có độ lớn lần lượt là 3 N, 6 N, 2 N. Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.

Trong không gian $Oxyz$ cho hai vec – tơ $\vec{u}=(1;-3;2)$ và $\vec{v}=(2;1;1)$. Cosin góc giữa hai vec – tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là bao nhiêu?

Trong không gian có gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$. Cho hai điểm $A(2;-1;4)$ và $B(3;-3;1)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1;-2;0)$, $\vec{b}=(-5;4;-1)$. Tọa độ của vectơ $2\vec{a}-\vec{b}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(-1;0;3)$, $B(4;2;0)$, $C(3;1;-3)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho các vecto $\overrightarrow{a}=(1;2;3)$, $\overrightarrow{b}=(-2;4;1)$, $\overrightarrow{c}=(-1;3;4)$. Vecto $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;-2;1)$, $B(-2;-2;-1)$, $C(3;1;-2)$.

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8 m, rộng 6 m và cao 4 m có hai chiếc quạt treo tường. Chiếc quạt thứ nhất treo tại vị trí điểm $A$ ở chính giữa bức tường 8 m và cách trần 1 m; chiếc quạt thứ hai treo tại vị trí điểm $B$ ở chính giữa bức tường 6 m và cách trần 1,2 m (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai vị trí treo quạt bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Ba lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $O$, có phương đôi một vuông góc nhau và có độ lớn lần lượt là 3 N, 4 N, 12 N. Độ lớn hợp lực của ba lực đã cho bằng bao nhiêu N?