Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M$ của $AB$: $x_M=\frac{3+(-1)}{2}=1$, $y_M=\frac{1+5}{2}=3$, $z_M=\frac{-1+7}{2}=3$. Vậy $M(1;3;3)$, khớp đáp án A và bảng đáp án (mã đề 104, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{I}-\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B^{\prime }})-\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{A^{\prime }})+(\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }})]=\frac{1}{2}[-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}]$.

Mặt khác $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{J}=\overrightarrow{C}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D^{\prime }})=\frac{1}{2}[(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D})-(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{D})]=\frac{1}{2}[\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}]$.

Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, do đó $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}$. Vậy khẳng định C đúng.

Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})$ còn $\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{C})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }})$, thực ra $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CJ}$ cũng đúng... xét lại: $\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{J}-\overrightarrow{C}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{C})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{D^{\prime }C})$ với $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+...$; chi tiết: $\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{C}=(\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C})+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, khác $\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên A sai. Tương tự B, D sai (ví dụ $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$ còn $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB})...$ tính: $\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B^{\prime }}=(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A})+(\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$, B sai). Đáp án khớp với mã đề 104: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;0;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3;3;-3)$. a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+0+6=0$ nên tam giác vuông tại A → Đúng. b) Trọng tâm $G=\left(\frac{0-2+3}{3};\frac{-2-2+1}{3};\frac{1-1-2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)\ne (1;-3;-2)$ → Sai. c) Hình chiếu của $A(0;-2;1)$ lên $(Oxy)$ là $A^{\prime }(0;-2;0)$ → Đúng. d) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=A+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$... tính trực tiếp: $D=A+C-B=(0+3-(-2);-2+1-(-2);1-2-(-1))=(5;1;0)\ne (5;0;1)$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;0;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3;3;-3)$, tích vô hướng $=-6+0+6=0$ nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$, tam giác vuông tại A.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)$, khác $(1;-3;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu lên $(Oxy)$ giữ nguyên hoành và tung, tung độ bằng 0: $A^{\prime }(0;-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=B+C-A=(5;1;0)$, khác $(5;0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tại một góc phòng: trục $Ox$ dọc chiều dài 8 m, trục $Oy$ dọc chiều rộng 6 m, trục $Oz$ dọc chiều cao 4 m. Chiếc quạt thứ nhất ở chính giữa bức tường 8 m (tường $y=0$), cách trần 1 m nên có cao $4-1=3$ m: $A(4;0;3)$. Chiếc quạt thứ hai ở chính giữa bức tường 6 m (tường $x=8$), cách trần 1,2 m nên có cao $4-1,2=2,8$ m: $B(8;3;2,8)$. Khi đó $$AB=\sqrt{(8-4{)}^2+(3-0{)}^2+(2,8-3{)}^2}=\sqrt{16+9+0,04}=\sqrt{25,04}\approx 5,004\approx 5\text{ m}.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án Phần III, Câu 3 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực đôi một vuông góc nên chọn hệ trục $O$ sao cho $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ theo ba trục toạ độ. Hợp lực $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$. Vì ba vectơ đôi một vuông góc nên $|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+|\overrightarrow{F_3}{|}^2=3^2+4^2+12^2=9+16+144=169$, suy ra $|\vec{F}|=13$ N. Kết quả khớp với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Khi đó $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{a}$, $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\vec{d}+\vec{a}$ (do $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$).

Vì $I$ là trung điểm $A{B}^{\prime }$: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{b}+\vec{a})=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$.

Vì $J$ là trung điểm $C{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{D}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\vec{d}+\vec{d}+\vec{a})=\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a}$.

Kiểm tra từng đáp án:
- A: $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}=\vec{b}-\vec{d}$. Mặt khác $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}=-\overrightarrow{AI}+(\vec{b}+\vec{d})+\overrightarrow{CJ}=-(\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a})+(\vec{b}+\vec{d})+(\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a})=2\vec{d}$. Vậy $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{IJ}$, sai.
- B: $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$. Ta có $\overrightarrow{D^{\prime }J}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }J}$ với $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{C^{\prime }J}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$... tính trực tiếp: $\overrightarrow{D^{\prime }J}=\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}$? Cách gọn: $\overrightarrow{D^{\prime }J}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }J}$, mà $\overrightarrow{C^{\prime }J}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\vec{b}$ (vì $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}=-\vec{b}$), nên $\overrightarrow{D^{\prime }J}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{b}=\frac{1}{2}\vec{b}$. So sánh $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})\ne \frac{1}{2}\vec{b}$, sai.
- C: $\overrightarrow{AI}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$ còn $\overrightarrow{CJ}=\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a}$, sai.
- D: $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$. Ta có $\overrightarrow{JC}=-\overrightarrow{CJ}=-(\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a})$... kiểm tra lại qua đường khác: $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DC}$, với $\overrightarrow{JD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$... tính trực tiếp: $\overrightarrow{JC}=\vec{C}-\vec{J}$, mà $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}=(\vec{b}+\vec{d})+(\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a})=\vec{b}+2\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a}$, nên $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AJ}=(\vec{b}+\vec{d})-(\vec{b}+2\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{a})=-\vec{d}-\frac{1}{2}\vec{a}$. Hmm, cần kiểm tra lại: thực chất $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{DC}$ với $J$ trung điểm $C{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }C}$... Đúng ra: $J$ trung điểm $C{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }C}$. Mà $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{D^{\prime }D}+\overrightarrow{DC}=-\vec{a}+\vec{b}$ (vì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$). Vậy $\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$... chờ, $\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$, còn $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$. Hai biểu thức này khác nhau trừ khi có sai sót; kiểm tra lại $\overrightarrow{A^{\prime }I}$: $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }I}$ với $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{B^{\prime }I}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B^{\prime }A}=-\frac{1}{2}\vec{a}$ (vì $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$... thực ra $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$? Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BA}=-\vec{a}-\vec{b}$, sai ở đây). Tính lại cẩn thận: $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$? Không: $\overrightarrow{B^{\prime }A}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=-\vec{b}-\vec{a}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }I}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B^{\prime }A}=-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{a})$, do đó $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\vec{b}-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{a})=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$. Đồng thời $\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }C}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$. Vậy $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}$, đúng.

(Lưu ý: ở dòng $\overrightarrow{AI}$ phía trên, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{a}$ nên $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }})=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$ là đúng; kết luận cuối: $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$.)

Kết quả khớp với đáp án của đề (mã đề 0103, cột 103): D.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M$ của $AB$ có tọa độ $x_M=\frac{3+(-1)}{2}=1$, $y_M=\frac{1+5}{2}=3$, $z_M=\frac{-1+7}{2}=3$. Vậy $M(1;3;3)$, khớp với đáp án C trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 103, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}$ theo từng tọa độ: $x=2(1)-3(-2)+5(-1)=2+6-5=3$; $y=2(2)-3(4)+5(3)=4-12+15=7$; $z=2(3)-3(1)+5(4)=6-3+20=23$. Vậy $\overrightarrow{v}=(3;7;23)$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 103, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M$ của đoạn $AB$ với $A(3;1;-1)$, $B(-1;5;7)$ có tọa độ $M=\left(\frac{3+(-1)}{2};\frac{1+5}{2};\frac{-1+7}{2}\right)=(1;3;3)$. Vậy đáp án đúng là A. Kết quả này khớp với bảng đáp án chính thức (Hướng dẫn chấm, Mã đề 102, Câu 10: A).

Theo bảng đáp án mã đề 102, Phần II Câu 3: ĐĐSS (a đúng, b đúng, c sai, d sai).
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;0;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3;3;-3)$, tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+0+6=0$ nên $AB\perp AC$, tam giác vuông tại $A$. Đúng.
b) Hình chiếu của điểm $A(0;-2;1)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ giữ nguyên hoành độ và tung độ, hoành độ $z=0$, nên $A^{\prime }(0;-2;0)$. Đúng.
c) $G=\left(\frac{0-2+3}{3};\frac{-2-2+1}{3};\frac{1-1-2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)\ne (1;-3;-2)$. Sai.
d) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, suy ra $D=C+\overrightarrow{AB}=(3-2;1+0;-2-2)=(1;1;-4)$. Điểm $(5;0;1)$ không thỏa mãn. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có phương đôi một vuông góc nên chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{OC}$ đôi một vuông góc với độ lớn lần lượt $|\overrightarrow{F_1}|=3$ N, $|\overrightarrow{F_2}|=4$ N, $|\overrightarrow{F_3}|=12$ N. Hợp lực $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$. Vì ba vectơ đôi một vuông góc nên $|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+|\overrightarrow{F_3}{|}^2=3^2+4^2+12^2=9+16+144=169$. Suy ra $|\vec{F}|=\sqrt{169}=13$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\vec{v}=2\vec{a}-3\vec{b}+5\vec{c}$ theo từng thành phần: $x=2(1)-3(-2)+5(-1)=2+6-5=3$; $y=2(2)-3(4)+5(3)=4-12+15=7$; $z=2(3)-3(1)+5(4)=6-3+20=23$. Vậy $\vec{v}=(3;7;23)$, trùng với đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{a}$. Khi đó $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{d}+\overrightarrow{a}$.

Vì $I$ là trung điểm $A{B}^{\prime }$: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }})=\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$.

Vì $J$ là trung điểm $C{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }})=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$.

Kiểm tra A: $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$. Vậy $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}$, A đúng.

B sai: $\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{AI}$.

C sai: $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{d}$ còn $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{d}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$.

D sai: $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$ còn $\overrightarrow{D^{\prime }J}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$.

Đáp án A khớp bảng đáp án chính thức (Mã đề 102, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M$ của $AB$: $x_M=\frac{3+(-1)}{2}=1$, $y_M=\frac{1+5}{2}=3$, $z_M=\frac{-1+7}{2}=3$. Vậy $M(1;3;3)$, khớp đáp án A và bảng đáp án mã đề 101 (Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\vec{v}=2\vec{a}-3\vec{b}+5\vec{c}$ theo từng tọa độ: $x=2(1)-3(-2)+5(-1)=2+6-5=3$; $y=2(2)-3(4)+5(3)=4-12+15=7$; $z=2(3)-3(1)+5(4)=6-3+20=23$. Vậy $\vec{v}=(3;7;23)$, khớp với đáp án D trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 101, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0)$ và $A^{\prime }(0;0;1),B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(1;1;1),D^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $I$ là trung điểm $A{B}^{\prime }$: $I(0,5;0;0,5)$; $J$ là trung điểm $C{D}^{\prime }$: $J(0,5;1;0,5)$. Kiểm tra từng đáp án: $\overrightarrow{AI}=(0,5;0;0,5)$ còn $\overrightarrow{CJ}=(-0,5;0;0,5)$, khác nhau nên A sai. $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(0;-1;0)$ còn $\overrightarrow{IJ}=(0;1;0)$, khác nhau nên B sai. $\overrightarrow{BI}=(-0,5;0;0,5)$ còn $\overrightarrow{D^{\prime }J}=(-0,5;0;-0,5)$, khác nhau nên C sai. $\overrightarrow{A^{\prime }I}=I-A^{\prime }=(0,5;0;-0,5)$ và $\overrightarrow{JC}=C-J=(0,5;0;-0,5)$, bằng nhau nên D đúng. Về mặt hình học: $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }})$ và $\overrightarrow{JC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D^{\prime }C}$, do $\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{B^{\prime }B}$... thực chất $A^{\prime }IJC$ là hình bình hành (tứ giác với $\overrightarrow{A^{\prime }I}=\overrightarrow{JC}$), khẳng định D đúng, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=B+C-A=(-2+3-0;-2+1+2;-1-2-1)=(1;1;-4)\ne (5;0;1)$ → Sai. b) $\overrightarrow{AB}=(-2;0;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(3;3;-3)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+0+6=0$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ → Đúng. c) Hình chiếu của $A(0;-2;1)$ lên $(Oxy)$ là $A^{\prime }(0;-2;0)$ → Đúng. d) $G=\left(\frac{0-2+3}{3};\frac{-2-2+1}{3};\frac{1-1-2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)\ne (1;-3;-2)$ → Sai. Kết quả SĐĐS khớp với đáp án mã đề 101.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ yêu cầu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=B+C-A=(1;1;-4)$, khác $(5;0;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-2)(3)+0(3)+(-2)(-3)=0$ nên vuông tại $A$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu lên $(Oxy)$ giữ $x$, $y$ và cho $z=0$: $A^{\prime }(0;-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\left(\frac{1}{3};-1;-\frac{2}{3}\right)$, khác $(1;-3;-2)$.