Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Nhân từng tọa độ của $\vec{a}=(-2;6;2)$ với $\frac{3}{2}$: $\frac{3}{2}\vec{a}=\left(\frac{3}{2}\cdot (-2);\frac{3}{2}\cdot 6;\frac{3}{2}\cdot 2\right)=(-3;9;3)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên. a) A cách 500m về nam, 680m về đông, cao 10m nên A(500;680;10), không phải (500;680;0) → SAI. b) OA=√(500²+680²+10²)=√712500≈844,09≈844m → ĐÚNG. c) B(-900;-450;15), AB=√(1400²+1130²+5²)=√3236925≈1799,15m; thời gian ≈1799,15/8≈224,9s≈3,75 phút < 4 phút → SAI. d) OB=√(900²+450²+15²)=√1012725≈1006,34m; trong 2 phút (120s) bay được tối đa 8·120=960m < 1006,34m nên không thể quay về → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
A(500;680;10) vì flycam cách mặt đất 10m, không phải z=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
OA=√(500²+680²+10²)=√712500≈844m.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB≈1799,15m, thời gian ≈224,9s≈3,75 phút < 4 phút.
d) (AI giải đề cho tôi)
OB≈1006,34m > 960m quãng đường tối đa trong 2 phút nên không thể quay về.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là hình chiếu của $M(a;b;c)$ xuống $(Oxy)$ nên $H(a;b;0)$, $OH\perp OM$ với mặt phẳng, do đó $c=OM\sin 48^{\circ }$ và $OH=OM\cos 48^{\circ }$.

$$OH=50\cos 48^{\circ }\approx 50\cdot 0,66913=33,4565$$
$$c=50\sin 48^{\circ }\approx 50\cdot 0,74314=37,1573$$

Theo hình vẽ, $H$ nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng $(Oxy)$, góc giữa $\vec{i}$ và $\overrightarrow{OH}$ bằng $64^{\circ }$ nên:
$$a=OH\cos 64^{\circ }\approx 33,4565\cdot 0,43837\approx 14,666$$
$$b=OH\sin 64^{\circ }\approx 33,4565\cdot 0,89879\approx 30,071$$

Kiểm tra: $a^2+b^2+c^2\approx 215,1+904,3+1380,7\approx 2500=50^2$ ✓

$$S=a+b+c\approx 14,666+30,071+37,157\approx 81,894\approx 81,9$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}$ với $I$ là trung điểm $AB$, $I\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};2\right)$. Do $AB$ cố định, $M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất. Vì $M(a;b;0)$ nằm trên mặt phẳng $Oxy$, $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $Oxy$, tức $M\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};0\right)$. Khi đó $a+b=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, áp dụng quy tắc hình bình hành trên mặt $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$. Khi đó $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$. Vì $A^{\prime }AC{C}^{\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$, do đó $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$ (quy tắc ba điểm với đỉnh chung $A$). Vậy $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $x_G=\frac{2+5+(-1)}{3}=2$, $y_G=\frac{1+(-3)+(-1)}{3}=-1$, $z_G=\frac{-4+3+10}{3}=3$. Vậy $G(2;-1;3)$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=C-B=(4;0;-2)$ nên $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BC}=(8;0;-4)$, suy ra $M=B+(8;0;-4)=(7;2;-1)$. Vì $BMDA$ là hình bình hành theo thứ tự đỉnh nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BM}=(8;0;-4)$, do đó $D=A+(8;0;-4)=(9;1;-3)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{MD}=D-M=(2;-1;-2)=\overrightarrow{BA}=A-B=(2;-1;-2)$, đúng. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxyz với A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). a) Tính chất trọng tâm tam giác: OA+OB+OC = 3OG, đúng. b) AB·OC = (OB−OA)·OC = OB·OC − OA·OC = 0−0 = 0, đúng. c) OG = (OA+OB+OC)/3 nên |OG|² = (1+4+9)/9 = 14/9, |OG| = √14/3, đúng. d) AC·OB = (OC−OA)·OB = 0−0 = 0 nên góc bằng 90°, không phải 60°, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác ABC nên OA+OB+OC = 3OG (tính chất vectơ trọng tâm).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB·OC = (OB−OA)·OC = OB·OC − OA·OC = 0 vì OC vuông góc với cả OA và OB.
c) (AI giải đề cho tôi)
OG = (OA+OB+OC)/3, với hệ trục Oxyz: OG = (1/3; 2/3; 1), |OG|² = 1/9+4/9+1 = 14/9, nên |OG| = √14/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC·OB = (OC−OA)·OB = OC·OB − OA·OB = 0, nên hai vectơ vuông góc, góc bằng 90° chứ không phải 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 120^{\circ }=2\cdot 5\cdot (-\frac{1}{2})=-5$. Do đó $|\vec{u}+\vec{v}{|}^2=|\vec{u}{|}^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+|\vec{v}{|}^2=4-10+25=19$, suy ra $|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{19}\approx 4,36$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-1;2-3;3-5)=(1;-1;-2)$. Độ dài đoạn $AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$. Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án đã ghi nhận.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\overrightarrow{AB}=(0-(-2);-2-1;5-0)=(2;-3;5)$ và $\overrightarrow{BC}=(6-0;-2-(-2);1-5)=(6;0;-4)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=2\cdot 6+(-3)\cdot 0+5\cdot (-4)=12+0-20=-8$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng hai vectơ: $\vec{u}+\vec{v}=(3+1;-1+2;1-2)=(4;1;-1)$. Độ dài: $|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{4^2+1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(1;-1;1)$, $B(0;1;2)$, $C(1;0;1)$:
a) $\overrightarrow{AB}=(-1;2;1)$, $\overrightarrow{AC}=(0;1;0)$ không tỉ lệ nên ba điểm không thẳng hàng → Sai.
b) Đối xứng qua trục $Oy$: $(x;y;z)\to (-x;y;-z)$ nên $B^{\prime }(0;1;-2)\ne (0;-1;-2)$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1;2;1)\ne (-1;2;-1)$ → Sai.
d) $A{B}^2=1+4+1=6$, $A{C}^2=0+1+0=1$, $B{C}^2=1+1+1=3$. Vì $A{B}^2=6>A{C}^2+B{C}^2=4$ nên theo định lí cosin $\cos A<0$, góc tại $A$ là góc tù → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1;2;1)$, $\overrightarrow{AC}=(0;1;0)$ không tỉ lệ nên $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua trục $Oy$: $(x;y;z)\to (-x;y;-z)$, nên $B^{\prime }(0;1;-2)$, không phải $(0;-1;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1;2;1)$, khác $(-1;2;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A{B}^2=6$, $A{C}^2=1$, $B{C}^2=3$; vì $6>1+3$ nên góc tại $A$ là góc tù.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên. Khinh khí cầu 1 sau 30 phút: 3 km nam, 1,5 km đông, 0,8 km cao nên tọa độ A(3; 1,5; 0,8) → câu a đúng. Quãng đường cầu 1: OA = √(3² + 1,5² + 0,8²) = √(9 + 2,25 + 0,64) = √11,89 ≈ 3,4482 ≈ 3,45 km, không phải 3,44 km → câu b sai. Khinh khí cầu 2: 2 km bắc (x = −2), 2 km tây (y = −2), cao 0,4 km, tọa độ B(−2; −2; 0,4). Quãng đường: OB = √(4 + 4 + 0,16) = √8,16 ≈ 2,8566 ≈ 2,86 km → câu c đúng. Khoảng cách AB = √((3+2)² + (1,5+2)² + (0,8−0,4)²) = √(25 + 12,25 + 0,16) = √37,41 ≈ 6,1165 ≈ 6,12 km, không phải 6,11 km → câu d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trục Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên nên tọa độ là (3; 1,5; 0,8).
b) (AI giải đề cho tôi)
√(9 + 2,25 + 0,64) = √11,89 ≈ 3,4482 ≈ 3,45 km ≠ 3,44 km.
c) (AI giải đề cho tôi)
√(4 + 4 + 0,16) = √8,16 ≈ 2,8566 ≈ 2,86 km.
d) (AI giải đề cho tôi)
√(25 + 12,25 + 0,16) = √37,41 ≈ 6,1165 ≈ 6,12 km ≠ 6,11 km.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(3;-1;2)$, $B(1;2;3)$ nên $\overrightarrow{AB}=(-2;3;1)$, do đó $AB=\sqrt{(-2{)}^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}\approx 3,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB=4$, $AC=6$ nên $AD=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Với cách đặt trục: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;2\sqrt{5};0)$, $A^{\prime }(0;0;8)$, do đó $C^{\prime }(4;2\sqrt{5};8)$. Giao điểm các đường chéo hình hộp là trung điểm $A{C}^{\prime }$: $G(2;\sqrt{5};4)$. Vậy $a-b-c=2-\sqrt{5}-4=-2-\sqrt{5}\approx -4,24$.

(AI giải đề cho tôi)
Véctơ chuyển động trong 10 phút: $\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;9-7)=(140;50;2)$. Sau 5 phút tiếp theo (bằng nửa khoảng thời gian 10 phút), máy bay đi thêm nửa véctơ này: $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(70;25;1)$. Vậy $C=(940+70;550+25;9+1)=(1010;600;10)$ và $x+y+z=1010+600+10=1620$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các mặt $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình chữ nhật với $AB\parallel DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và cùng hướng. Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$. Xét các đáp án: $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$ (đúng); $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ (sai); $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ (sai); $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}$ (sai). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(1;2;5)$ trên trục $Oz$ là giao điểm của đường thẳng qua $A$ vuông góc với trục $Oz$, nên giữ lại tọa độ $z=5$ và hai tọa độ còn lại bằng 0. Vậy hình chiếu là điểm $(0;0;5)$.