Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng với $M(1;-2;3)$ qua trục $Oy$ giữ nguyên tung độ và đổi dấu hoành độ, cao độ: $M^{\prime }(-x_M;y_M;-z_M)=(-1;-2;-3)$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Thay tọa độ: $x_D=1+2-(-3)=6$; $y_D=2+4-0=6$; $z_D=1+(-1)-3=-3$. Vậy $D(6;6;-3)$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;2)$ và $\overrightarrow{DC}=(2-6;4-6;-1+3)=(-4;-2;2)$, đúng bằng nhau nên $ABCD$ là hình bình hành.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}+\vec{b}=(1-2;-2+1;3+2)=(-1;-1;5)$. Khi đó $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b}=(-1)(-2)+(-1)(1)+5\cdot 2=2-1+10=11$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot \frac{1}{2}+0+0=\frac{1}{2}$. Độ dài: $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+0}=1$. Vậy $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{1/2}{1\cdot 1}=\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai vecto bằng $60^{\circ }$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}$ với $I$ là trung điểm $AB$, do đó $M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất khi $M$ gần $I$ nhất. Vì $M(a;b;0)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$, $M$ là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy)$. Trung điểm $I\left(\frac{1+2}{2};\frac{2+(-1)}{2};\frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};2\right)$, nên $M\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};0\right)$, tức $a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}$. Vậy $a+b=2$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ra đa đặt tại gốc $O(0;0;0)$, tàu có tọa độ $T(30;25;-15)$. Khoảng cách $OT=\sqrt{30^2+25^2+(-15{)}^2}=\sqrt{900+625+225}=\sqrt{1750}\approx 41,83$ km. Làm tròn một chữ số thập phân ta được $41,8$ km.

(AI giải đề cho tôi)
AB = B - A = (-3;3;-1), nên mệnh đề a sai (tọa độ z là -1 chứ không phải 1). AC = C - A = (2;1;-1), không cùng phương với AB nên AB ≠ 3AC, mệnh đề b sai. Vì AB và AC không cùng phương, ba điểm A, B, C không thẳng hàng, mệnh đề c đúng. Chân đường cao H từ A trên BC: BC = (5;-2;0), H = B + t·BC với t = (A-B)·BC/|BC|² = (3·5 + (-3)(-2) + 1·0)/29 = 21/29. Suy ra H = (-2 + 105/29; 1 - 42/29; 2) = (47/29; -13/29; 2), khác với (-47/29; 13/29; 2) nên mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB = B - A = (-2-1; 1-(-2); 2-3) = (-3;3;-1), khác (-3;3;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AC = (2;1;-1) không cùng phương với AB = (-3;3;-1) nên AB ≠ 3AC.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = (-3;3;-1) và AC = (2;1;-1) không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Gọi H = B + t·BC, BC = (5;-2;0), t = (A-B)·BC/|BC|² = 21/29, suy ra H = (47/29; -13/29; 2) ≠ (-47/29; 13/29; 2).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm BC: ((1+4)/2; (1-2)/2; 3) = (5/2; -1/2; 3) → đúng. b) BC = (3; -3; 0), BC = √(9+9) = 3√2 → đúng. c) AB = (0; -2; -2), AC = (3; -5; -2); AB·AC = 0+10+4 = 14; |AB| = 2√2, |AC| = √38; cos BAC = 14/(2√2·√38) = 7/√76 = 7√19/38 → đúng. d) D = B + C - A = (4; -4; 1). Trọng tâm tam giác ABD: G = ((1+1+4)/3; (3+1-4)/3; (5+3+1)/3) = (2; 0; 3). Hình chiếu của G lên mặt phẳng (Oyz) là (0; 0; 3), không phải (2; 0; 0) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm BC = ((1+4)/2; (1-2)/2; 3) = (5/2; -1/2; 3).
b) (AI giải đề cho tôi)
BC = (3; -3; 0) nên BC = √(9+9+0) = 3√2.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC = 14, |AB| = 2√2, |AC| = √38, cos BAC = 14/(2√76) = 7√19/38.
d) (AI giải đề cho tôi)
D = (4; -4; 1), trọng tâm tam giác ABD là G(2; 0; 3), hình chiếu lên (Oyz) là (0; 0; 3) ≠ (2; 0; 0).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{b}$ nên tồn tại $k$ sao cho $\vec{a}=k\vec{b}$. Từ hoành độ: $2=k\cdot 1\Rightarrow k=2$. Khi đó $m-1=2\cdot 3=6\Rightarrow m=7$; và $3=2\cdot (-2n)\Rightarrow -4n=3\Rightarrow n=-\frac{3}{4}$. Vậy $m+n=7-\frac{3}{4}=\frac{25}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=(a+1;b+1;c-1)$ và $\overrightarrow{MB}=(3-a;-1-b;1-c)$. Điều kiện $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MB}$ cho hệ: $a+1=3(3-a)\Rightarrow 4a=8\Rightarrow a=2$; $b+1=3(-1-b)\Rightarrow 4b=-4\Rightarrow b=-1$; $c-1=3(1-c)\Rightarrow 4c=4\Rightarrow c=1$. Vậy $M(2;-1;1)$ (đúng như điểm chia đoạn $AB$ với $\frac{\overrightarrow{AM}}{\overrightarrow{MB}}=3$, tức $M=\frac{A+3B}{4}$). Khi đó $a-2b+c=2-2(-1)+1=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc máy bay: trong 10 phút đi từ $A(800;500;7)$ đến $B(940;550;8)$, nên vectơ dịch chuyển mỗi 10 phút là $\overrightarrow{AB}=(140;50;1)$. Trong 5 phút tiếp theo, máy bay đi thêm nửa đoạn đó: $(70;25;0,5)$. Vị trí $C$ của máy bay sau 5 phút nữa: $C=(940+70;550+25;8+0,5)=(1010;575;8,5)$. Khoảng cách từ $C$ đến $O$: $OC=\sqrt{1010^2+575^2+8,5^2}=\sqrt{1020100+330625+72,25}=\sqrt{1350797,25}\approx 1162,24$ km. Làm tròn đến hàng đơn vị: $\boxed{1162}$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$ và $K_0$ có cao độ 25, $K_0$ là tâm hình vuông MPNQ (chiếu xuống tâm sân): $K_0(45;60;25)$. Camera hạ thẳng đứng nên $K_1(45;60;19)$. Suy ra $\overrightarrow{K_0{K}_1}=(0;0;-6)$, tức $a=0,b=0,c=-6$. Vậy $P=a+b-c=0+0-(-6)=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(a;b;0)$ vì $A\in (Oxy)$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Trung điểm hình vuông là $I$ cũng là trung điểm $BD$: $I\left(\frac{3-5}{2};\frac{0-4}{2};\frac{8+0}{2}\right)=(-1;-2;4)$, suy ra $C=2I-A=(-2-a;-4-b;8)$.

Điều kiện hình vuông: $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ và $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-a;-b;8)$, $\overrightarrow{AD}=(-5-a;-4-b;0)$.

Tích vô hướng bằng 0: $(3-a)(-5-a)+b(b+4)=0\iff (a+1{)}^2+(b+2{)}^2=20$.

Đẳng cấp hai cạnh: $(3-a{)}^2+b^2+64=(5+a{)}^2+(4+b{)}^2\iff 2a+b=4$.

Thay $b=4-2a$: $(a+1{)}^2+(6-2a{)}^2=20\iff 5a^2-22a+17=0\iff a=1$ hoặc $a=3,4$. Vì $a$ nguyên nên $a=1$, $b=2$. Vậy $A(1;2;0)$, $C(-3;-6;8)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(2;-2;8)$, $|\overrightarrow{AB}{|}^2=72$; $\overrightarrow{AD}=(-6;-6;0)$, $|\overrightarrow{AD}{|}^2=72$; tích vô hướng $=-12+12+0=0$. Thỏa mãn.

Tính $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}=(4;8;-8)$, $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}=(6;6;0)$.
Suy ra $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=(10;14;-8)$, nên $\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt{100+196+64}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$.

Kiểm tra lại bằng cách khác: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$ với $M$ trung điểm $AB$. Cạnh hình vuông $s=\frac{BD}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}$, nên $CM=\sqrt{s^2+\frac{s^2}{4}}=\frac{s\sqrt{5}}{2}$, do đó $\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=2CM=s\sqrt{5}=6\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}=6\sqrt{10}$. Hai cách cho cùng kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 1+(-2)\cdot 3+0\cdot (-2)=1-6+0=-5$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+0^2}=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+3^2+(-2{)}^2}=\sqrt{14}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-5}{\sqrt{5}\sqrt{14}}=\frac{-5}{\sqrt{70}}\approx -0,5976$. Suy ra góc giữa hai vectơ $\approx 126,7^{\circ }$ (làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc trừ véc tơ: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$ (điểm chung $A$ bị triệt tiêu, véc tơ kết quả đi từ điểm cuối của véc tơ trừ đến điểm cuối của véc tơ bị trừ). Vậy đáp án là $\overrightarrow{CB}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (tính chất trọng tâm tứ diện), nên mệnh đề B đúng. Xét các mệnh đề còn lại: A sai vì $GA=GB=GC=GD$ chỉ đúng với tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, không phải trọng tâm; C sai vì $\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GD}$ tương đương $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DC}$, không đúng với tứ diện bất kỳ; D sai vì $GA+GB+GC+GD$ là tổng các độ dài (đều dương) nên không thể bằng $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A đúng: theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
- B đúng: $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ (các cạnh song song cùng chiều).
- C sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$, còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Hai vectơ $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ là hai đường chéo khác nhau của hình hộp nên không bằng nhau.
- D đúng: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, hai vế cùng bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
Vậy đẳng thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tứ diện ABCD thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$, suy ra với điểm O bất kỳ: $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ (C đúng, D đúng). Chọn O = A: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$, nên B đúng và A sai (hệ số phải là $\frac{1}{4}$ chứ không phải $\frac{2}{3}$). Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
A,B,C,D tạo thành hình bình hành (theo thứ tự đó) khi và chỉ khi hai đường chéo AC và BD có cùng trung điểm, tức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$. Điều kiện này vừa cần vừa đủ vì: nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ suy ra $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$, tức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$; ngược lại từ đẳng thức này suy ra $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên ABCD là hình bình hành (do bốn điểm không thẳng hàng). Các phương án A, B chỉ bảo đảm hai điểm có trung điểm trùng, không đủ; phương án D tương đương với trọng tâm của bốn điểm trùng O, không liên quan đến hình bình hành. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (các vectơ trên các cạnh song song bằng nhau).

A) $\overrightarrow{B_1{C}_1}=\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{B_1{A}_1}=\overrightarrow{BA}$, nên $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B_1{C}_1}+\overrightarrow{B_1{A}_1}$: đúng.

B) $\overrightarrow{D_1{C}_1}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{D_1{A}_1}=\overrightarrow{DA}$, nên vế trái $=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$: đúng.

C) Quy tắc hình hộp tại đỉnh $B$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{B{D}_1}$: đúng.

D) Thử bằng tọa độ: lấy $B(0;0;0),A(1;0;0),C(0;1;0),D(1;1;0),D_1(1;1;1)$. Khi đó $\overrightarrow{BA}=(-1;0;0)$, $\overrightarrow{D{D}_1}=(0;0;1)$, $\overrightarrow{B{D}_1}=(1;1;1)$, tổng bằng $(0;1;2)$, còn $\overrightarrow{BC}=(0;1;0)$. Hai vế không bằng nhau, hoặc trực tiếp: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}_1}+\overrightarrow{B{D}_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}_1}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}_1})=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{D{D}_1}\ne \overrightarrow{BC}$. Vậy đẳng thức D sai.