Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng qua trục $Oy$ giữ nguyên tung độ và đổi dấu hoành độ, cao độ: $A(1;2;3)\mapsto A^{\prime }(-1;2;-3)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ của hình bình hành $ABCD$ là trung điểm của hai đường chéo, đặc biệt là trung điểm của $BD$. Với $B(3;1;0)$, $D(0;4;-6)$ ta có: $x_I=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$, $y_I=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$, $z_I=\frac{0+(-6)}{2}=-3$. Vậy $I\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};-3\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OM}=3\vec{i}+5\vec{j}-7\vec{k}$ ta có $M(3;5;-7)$. Đối xứng qua mặt phẳng $(Oxz)$ thì tung độ đổi dấu, hai tọa độ còn lại giữ nguyên: $M^{\prime }(3;-5;-7)$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A\equiv O$, $B$ trên tia $Ox$ với $AB=2$ nên $B(2;0;0)$; $D$ trên tia $Oy$ với $AD=4$ nên $D(0;4;0)$; $A^{\prime }$ trên tia $Oz$ với $A{A}^{\prime }=3$ nên $A^{\prime }(0;0;3)$. Đỉnh $C^{\prime }$ của hình hộp chữ nhật có tọa độ $C^{\prime }(2;4;3)$, tức $a=2,b=4,c=3$. Suy ra $a+b-c=2+4-3=3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp chữ nhật với $B(0;0;0)$, $A(3;0;0)$, $D(3;1;0)$, $B^{\prime }(0;0;5)$. Trong mặt phẳng $(Oxy)$, tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(-0;1;0)$, suy ra $C(0;1;0)$. Do $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0;0;5)$ nên $C^{\prime }(0;1;5)$, tức $m=0,n=1,p=5$. Vậy $m^2+n^2+p^2=0+1+25=26$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phương án với $\vec{a}=(2;3;1)$, $\vec{b}=(-1;5;2)$, $\vec{c}=(4;-1;3)$, $\vec{x}=(-3;22;5)$.
- $2\vec{a}-3\vec{b}-\vec{c}=(4+3-4;6-15+1;2-6-3)=(3;-8;-7)\ne \vec{x}$.
- $-2\vec{a}+3\vec{b}+\vec{c}=(-4-3+4;-6+15-1;-2+6+3)=(-3;8;7)\ne \vec{x}$.
- $2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}=(4-3-4;6+15+1;2+6-3)=(-3;22;5)=\vec{x}$. Đúng.
- $2\vec{a}-3\vec{b}+\vec{c}=(4+3+4;6-15-1;2-6+3)=(11;-10;-1)\ne \vec{x}$.
Vậy đẳng thức đúng là $\vec{x}=2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B=(2-1-4;4+4-0;0-7-0)=(-3;8;-7)$.

Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$, tức $B^{\prime }=B+D^{\prime }-D$.

Vậy $B^{\prime }=(4+6-(-3);0+8-8;0+10-(-7))=(13;0;17)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(9;0;17)$ và $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(6-(-3);8-8;10-(-7))=(9;0;17)$, hai vecto bằng nhau nên kết quả đúng.

Đáp án: $B^{\prime }(13;0;17)$ — phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: a) Sai vì tọa độ của vecto $\vec{i}$ là $(1;0;0)$. b) Đúng, $\overrightarrow{OA}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ nên tọa độ là $(x;y;z)$. c) Đúng, vì $B$ là điểm sao cho $\overrightarrow{OB}=x^{\prime }\vec{i}+y^{\prime }\vec{j}+z^{\prime }\vec{k}$ nên $B(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$. d) Đúng, hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau: $x=x^{\prime },y=y^{\prime },z=z^{\prime }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ của vecto đơn vị $\vec{i}$ trên trục $Ox$ là $(1;0;0)$, không phải $(0;1;0)$ (đó là tọa độ của $\vec{j}$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{OA}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ nên tọa độ của $\overrightarrow{OA}$ là $(x;y;z)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm $B$ có $\overrightarrow{OB}=x^{\prime }\vec{i}+y^{\prime }\vec{j}+z^{\prime }\vec{k}$ nên tọa độ của điểm $B$ là $(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau, do đó $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$ suy ra $x=x^{\prime },y=y^{\prime },z=z^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: M(-4;3;-1), N(2;-1;-3).
a) Đúng: $\overrightarrow{OM}=(-4;3;-1)$.
b) Sai: $\overrightarrow{AM}=\vec{v}=(1;2;-3)\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\Rightarrow \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}-\vec{v}=(-4-1;3-2;-1+3)=(-5;1;2)$, tức $A(-5;1;2)$, không phải $A(5;1;2)$.
c) Sai: Trọng tâm $G$ của $\Delta OMN$: $G\left(\frac{-4+2+0}{3};\frac{3-1+0}{3};\frac{-1-3+0}{3}\right)=\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)$. Hình chiếu của $G$ trên mặt phẳng $Oxy$ là $\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3};0\right)$, không phải $\left(0;0;-\frac{4}{3}\right)$.
d) Sai: $I$ trung điểm $MN$: $I\left(\frac{-4+2}{2};\frac{3-1}{2};\frac{-1-3}{2}\right)=(-1;1;-2)$ nên $\overrightarrow{OI}=(-1;1;-2)$. Khi đó $\vec{w}=3\vec{i}+2\overrightarrow{ON}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OI}=(3;0;0)+(4;-2;-6)-\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)=\left(\frac{15}{2};-\frac{5}{2};-5\right)$, không phải $\left(\frac{9}{2};-\frac{5}{2};-7\right)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $O(0;0;0)$ nên $\overrightarrow{OM}=(-4-0;3-0;-1-0)=(-4;3;-1)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{v}=(1;2;-3)$ và $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\vec{v}$ nên $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}-\vec{v}=(-4-1;3-2;-1+3)=(-5;1;2)$, tức $A(-5;1;2)\ne (5;1;2)$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)$; hình chiếu của $G$ trên $Oxy$ là $\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3};0\right)\ne \left(0;0;-\frac{4}{3}\right)$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$I(-1;1;-2)$, $\overrightarrow{OI}=(-1;1;-2)$; $\vec{w}=(3;0;0)+(4;-2;-6)-\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)=\left(\frac{15}{2};-\frac{5}{2};-5\right)\ne \left(\frac{9}{2};-\frac{5}{2};-7\right)$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: a) Trọng tâm $G=\left(\frac{1-2+4}{3};\frac{0+3-6}{3};\frac{-2+4+1}{3}\right)=(1;-1;1)$. b) $\overrightarrow{AB}=(-2-1;3-0;4+2)=(-3;3;6)$; $\overrightarrow{AC}=(4-1;-6-0;1+2)=(3;-6;3)$. c) $A{B}^2=9+9+36=54$, $A{C}^2=9+36+9=54$ nên $AB=AC$, tam giác cân tại $A$. d) $ABDC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, tức $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(1;-3;7)$, kiểm tra $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}=(3;-6;3)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ A vuông góc BC nên AH·BC = 0. Điểm H nằm trên BC: H = B + t(C−B) = (t; 2−t; 3t), t∈ℝ. Vecto BC = (−1;−1;3), AH = (t−2; 2−t; 3t). Điều kiện vuông góc: AH·BC = −(t−2) − (2−t) + 9t = 9t = 0 ⟹ t = 0. Vậy H trùng B, tức tam giác có góc B vuông (kiểm tra: AB·BC = (−2;2;0)·(−1;−1;3) = 2−2+0 = 0 đúng). Suy ra H(0;2;0) và x₀+y₀+z₀ = 0+2+0 = 2.00.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi N là hình chiếu của M trên mặt phẳng Oxy, C là điểm trên trục Oz sao cho góc MOC là góc giữa OM và Oz.

Trong tam giác vuông OCM (vuông tại C... chính xác hơn: tam giác vuông tại C với OC là cạnh kề):
- $c=OC=OM\cos 65^{\circ }=14\cos 65^{\circ }\approx 14\times 0.42262\approx 5.9166$
- $ON=OM\sin 65^{\circ }=14\sin 65^{\circ }\approx 14\times 0.90631\approx 12.6883$

Trong mặt phẳng Oxy, góc $\widehat{NOB}=32^{\circ }$ là góc giữa ON và trục Oy (OB nằm trên trục Oy), nên:
- $b=ON\cos 32^{\circ }\approx 12.6883\times 0.84805\approx 10.7605$
- $a=ON\sin 32^{\circ }\approx 12.6883\times 0.52992\approx 6.7239$

Kiểm tra: $a^2+b^2+c^2\approx 45.21+115.79+35.01\approx 196.01\approx 14^2$. Đúng.

Vậy $T=a+b+c\approx 6.7239+10.7605+5.9166\approx 23.40$.

(AI giải đề cho tôi)
Bốn lực có độ lớn bằng nhau nên mỗi lực có độ lớn $60/4=15$ N, hướng dọc theo các đoạn $SA,SB,SC,SD$ (từ $S$ xuống mặt đất).

Các vecto chỉ phương (đơn vị hóa):
- $\overrightarrow{SA}=(30;0;-30)$, $|SA|=30\sqrt{2}$, nên $\overrightarrow{u_1}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};0;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
- $\overrightarrow{SB}=(0;20;-30)$, $|SB|=\sqrt{1300}=10\sqrt{13}$, nên $\overrightarrow{u_2}=\left(0;\frac{2}{\sqrt{13}};-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.
- $\overrightarrow{SC}=(-20;0;-30)$, nên $\overrightarrow{u_3}=\left(-\frac{2}{\sqrt{13}};0;-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.
- $\overrightarrow{SD}=(0;-20;-30)$, nên $\overrightarrow{u_4}=\left(0;-\frac{2}{\sqrt{13}};-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.

Vậy $\overrightarrow{F_i}=15\overrightarrow{u_i}$ và:
$$\overrightarrow{F_1}+2\overrightarrow{F_2}+3\overrightarrow{F_3}+4\overrightarrow{F_4}=15\left(\overrightarrow{u_1}+2\overrightarrow{u_2}+3\overrightarrow{u_3}+4\overrightarrow{u_4}\right).$$

Tính từng thành phần:
- Thành phần $x$: $15\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{6}{\sqrt{13}}\right)\approx 15(0,7071-1,6641)\approx -14,355$.
- Thành phần $y$: $15\left(\frac{4}{\sqrt{13}}-\frac{8}{\sqrt{13}}\right)=15\left(-\frac{4}{\sqrt{13}}\right)\approx -16,641$.
- Thành phần $z$: $15\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{6+9+12}{\sqrt{13}}\right)=15\left(-0,7071-7,4885\right)\approx -122,93$.

Độ lớn:
$$\left|\overrightarrow{F_1}+2\overrightarrow{F_2}+3\overrightarrow{F_3}+4\overrightarrow{F_4}\right|=\sqrt{(-14,355{)}^2+(-16,641{)}^2+(-122,93{)}^2}\approx \sqrt{15595}\approx 124,9\approx 125(N).$$

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là $125$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng từng thành phần: $\vec{a}+\vec{b}=(1+4;2+5;3+6)=(5;7;9)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot 4+2\cdot (-5)+3\cdot 6=4-10+18=12$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB: $C=\left(\frac{1+3}{2};\frac{2+4}{2};\frac{3+5}{2}\right)=(2;3;4)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $x_G=\frac{3+1+2}{3}=2$, $y_G=\frac{2+2+5}{3}=3$, $z_G=\frac{-5+4-2}{3}=-1$. Vậy $G(2;3;-1)$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3\vec{a}=(3;6;9)$ và $2\vec{b}=(4;-2;2)$. Suy ra $\vec{c}=3\vec{a}-2\vec{b}=(3-4;6-(-2);9-2)=(-1;8;7)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$ chỉ đổi dấu hoành độ: $M(2;2;-1)\to M^{\prime }(-2;2;-1)$. Vậy đáp án D.