Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$.
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ (đúng).
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp, đúng).
- C: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ (đúng).
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (sai).
Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì M là trung điểm CD nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD})$. Tứ diện đều có cạnh a nên góc giữa AB và AC là 60°, góc giữa AB và AD cũng là 60°: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\frac{a^2}{2}$. Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}\right)=\frac{a^2}{2}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel DC$ và cùng chiều (từ $D^{\prime }$ đến $C^{\prime }$ cùng chiều với từ $D$ đến $C$), nên $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}$. Mặt khác trong hình vuông $ABCD$, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ (vì $AB\parallel DC$ và cùng chiều). Vậy $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AD}$ vuông góc với $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$; $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$ ngược chiều. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A₁(0;0;a), D₁(0;a;a), B₁(a;0;a). M là trung điểm AD nên M(0; a/2; 0). Khi đó $\overrightarrow{B_{1}M}=(-a;\frac{a}{2};-a)$, $\overrightarrow{B{D}_1}=(-a;a;a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{B_{1}M}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}=a^2+\frac{a^2}{2}-a^2=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$ cạnh 2, ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. Vì các cặp cạnh $AB,AD$ và $AB,AC$ đều tạo góc $60^{\circ }$ và có độ dài 2, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2\cdot 2\cos 60^{\circ }=2$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$. Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=2-2=0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$, do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$ (D đúng). Với điểm S: $\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OS}$, tương tự với B, C, D, nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-4\overrightarrow{OS}=4\overrightarrow{SO}$ (A đúng). Với B: $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ (do ABCD hình bình hành), nên tổng bằng $\vec{0}$ (B đúng). Vậy mệnh đề SAI là C vì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}\ne \vec{0}$ (S không trùng O).

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a), C'(a;a;a), D'(0;a;a).
(I) Theo quy tắc hình hộp: AC' = AA' + AB + AD. Đúng.
(II) K trung điểm AD nên K(0; a/2; 0). C'K = (−a; −a/2; −a). Mặt khác C'C = (0;0;−a), C'D' = (−a;0;0), ½C'B' = (0;−a/2;0), tổng bằng (−a; −a/2; −a). Đúng.
(III) AB·B'D' = (a;0;0)·(−a;−a;0) = −a² ≠ a². Sai.
(IV) M(x; a; 0), N(a; 0; x) nên MN = (a−x; −a; x), AC = (a; a; 0). Tích vô hướng AC·MN = a(a−x) − a² = −ax, phụ thuộc x, nên góc giữa hai vecto không phải hằng số 60°. Sai.
Vậy có 2 phát biểu đúng → đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều S.ABC cạnh a: các góc ASB, BSC, ASC đều bằng 60°.
a) Đúng: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
b) Đúng: M trung điểm BC nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC})$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SA}=-\overrightarrow{SA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$.
c) Đúng: $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot (\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, nên góc giữa $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng 90°.
d) Sai: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{SC}=-\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{SC}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{SC}}^2=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}\ne 0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Các góc ASB, BSC, ASC đều bằng 60° nên ba tích vô hướng đều bằng $a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
M trung điểm BC nên $\overrightarrow{SM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC})$; do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SA}=-\overrightarrow{SA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$ nên góc giữa hai vecto bằng 90°.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{SC}=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{\prime }(0;0;a),B^{\prime }(a;0;a),C^{\prime }(a;a;a),D^{\prime }(0;a;a)$, nên $O(a/2;a/2;0)$.
a) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }}-\overrightarrow{D}=(a;0;a)$, tích vô hướng $=a^2\ne \frac{a^2}{2}$ → sai.
b) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-a;a;0)$, tích vô hướng $=-a^2\ne -\frac{a^2}{2}$ → sai.
c) $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(0;0;-a)$, $\overrightarrow{C^{\prime }C}=(0;0;-a)$, $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, tổng $=(a;0;-2a)$, độ dài $=a\sqrt{5}\ne a\sqrt{3}$ → sai.
d) $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2};a)$, $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(\frac{a}{2};-\frac{a}{2};a)$, $\overrightarrow{O{C}^{\prime }}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};a)$, $\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=(-\frac{a}{2};\frac{a}{2};a)$; tổng $=(0;0;4a)$, độ dài $=4a$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a^2\ne \frac{a^2}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=-a^2\ne -\frac{a^2}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng vecto là $(a;0;-2a)$, độ dài $a\sqrt{5}\ne a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bốn vecto bằng $(0;0;4a)$, độ dài bằng $4a$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a/2; a√3/2; 0) (vì AB=AC=a, góc BAC=60°). Gọi D=(x;y;z) với AD=a, AD·AB=a²cos60°=a²/2 nên x=a/2; AD·AC=0 (góc CAD=90°) nên (a/2)(a/2)+(a√3/2)y=0 ⇒ y=−a/(2√3). Từ x²+y²+z²=a²: z²=a²−a²/4−a²/12=2a²/3 ⇒ z=a√(2/3). Vậy D=(a/2; −a/(2√3); a√(2/3)).

Vì AI=3IB nên I=(3a/4;0;0). J trung điểm CD: J=(a/2; a√3/6; a√(2/3)/2).

Suy ra IJ→=(−a/4; a√3/6; a√(2/3)/2), AB→=(a;0;0).

AB→·IJ→=−a²/4; |AB→|=a; |IJ→|=a√(1/16+1/12+1/6)=a√(15/48)=a√5/4.

cos(AB→, IJ→)=(−a²/4)/(a·a√5/4)=−1/√5=−√5/5.

Vậy góc giữa AB→ và IJ→ là arccos(−√5/5)≈116°34′ (≈116,57°).

(AI giải đề cho tôi)
Tấm gỗ ở trạng thái cân bằng nên tổng các lực bằng vecto không: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{P}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{P}=-\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right)$.

Vì ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ đôi một vuông góc với nhau nên:
$${\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|}^2={\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_3}\right|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}+2\overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{F_3}+2\overrightarrow{F_3}\cdot \overrightarrow{F_1}$$
Do các cặp vecto vuông góc nên các tích vô hướng đều bằng 0, do đó:
$${\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|}^2=10^2+10^2+10^2=300$$
Suy ra $\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|=10\sqrt{3}$ (N).

Vậy trọng lượng của tấm gỗ tròn là $P=\left|\overrightarrow{P}\right|=10\sqrt{3}\approx 17,32$ (N), hướng thẳng đứng xuống dưới, đối cân bằng với hợp lực của ba lực căng dây.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng lực 60N phân bố đều thành bốn lực bằng nhau nên $|\overrightarrow{F_i}|=15N$, mỗi lực hướng từ $S$ xuống từng chân giá đỡ (theo hình vẽ).

Các vecto đơn vị:
$$\overrightarrow{SA}=(30;0;-30),|\overrightarrow{SA}|=30\sqrt{2}\Rightarrow {\vec{u}}_1=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};0;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$
$$\overrightarrow{SB}=(0;20;-30),|\overrightarrow{SB}|=10\sqrt{13}\Rightarrow {\vec{u}}_2=\left(0;\frac{2}{\sqrt{13}};-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$$
$$\overrightarrow{SC}=(-20;0;-30)\Rightarrow {\vec{u}}_3=\left(-\frac{2}{\sqrt{13}};0;-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$$
$$\overrightarrow{SD}=(0;-20;-30)\Rightarrow {\vec{u}}_4=\left(0;-\frac{2}{\sqrt{13}};-\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$$

Với $\overrightarrow{F_i}=15{\vec{u}}_i$, ta có:
$$\overrightarrow{F_1}+2\overrightarrow{F_2}+3\overrightarrow{F_3}+4\overrightarrow{F_4}=15\left({\vec{u}}_1+2{\vec{u}}_2+3{\vec{u}}_3+4{\vec{u}}_4\right)$$

Từng thành phần:
- $x$: $15\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{6}{\sqrt{13}}\right)\approx 15(0,7071-1,6641)\approx -14,355$
- $y$: $15\left(\frac{4}{\sqrt{13}}-\frac{8}{\sqrt{13}}\right)=15\left(-\frac{4}{\sqrt{13}}\right)\approx -16,641$
- $z$: $15\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{6}{\sqrt{13}}-\frac{9}{\sqrt{13}}-\frac{12}{\sqrt{13}}\right)=15\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{27}{\sqrt{13}}\right)\approx -122,936$

Độ lớn:
$$\left|\overrightarrow{F_1}+2\overrightarrow{F_2}+3\overrightarrow{F_3}+4\overrightarrow{F_4}\right|=\sqrt{14,355^2+16,641^2+122,936^2}\approx \sqrt{15596}\approx 124,9$$

Làm tròn đến hàng đơn vị: $\boxed{125N}$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 120^0=4\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-6$.

Tính $|\vec{a}-\vec{b}|$:
$$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}.\vec{b}+|\vec{b}{|}^2=16-2(-6)+9=37$$
Suy ra $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{37}\approx 6,0828$.

Tính $|\vec{a}+\vec{b}|$:
$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}.\vec{b}+|\vec{b}{|}^2=16+2(-6)+9=13$$
Suy ra $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}\approx 3,6056$.

Vậy $A=\sqrt{37}+\sqrt{13}\approx 6,0828+3,6056=9,6883\approx 9,69$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: O(0;0;0), A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) (vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều bằng 1). Khi đó M là trung điểm AB nên M(1/2; 1/2; 0).

Ta có:
$\overrightarrow{OM}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-1;0;1)$.

$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}$; $|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$; $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2}$.

Vậy $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AC})=\frac{-1/2}{(\sqrt{2}/2)(\sqrt{2})}=-\frac{1}{2}$.

Do đó góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }$ và $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (luôn dương, không thể âm). Đề bài gốc viết 'sin góc ... bằng $-\frac{a}{b}$' là lỗi đánh máy: dấu âm chỉ có ý nghĩa với cosin. Theo đúng ý đồ của đề (giá trị $-\frac{a}{b}$ chính là $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AC})=-\frac{1}{2}$ với phân số tối giản), ta có $a=1$, $b=2$, suy ra $Q=a\cdot b=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O tại một góc của phòng, trục Ox dọc chiều dài 8m, Oy dọc chiều rộng 6m, Oz dọc chiều cao 4m. Khi đó các mặt phẳng tường là x=0, x=8, y=0, y=6 và trần là z=4.

- Quạt A treo chính giữa bức tường 8m (tường y=0), cách trần 1m nên z_A = 4 - 1 = 3. Tọa độ: A(4; 0; 3).
- Quạt B treo chính giữa bức tường 6m (tường x=0), cách trần 1,5m nên z_B = 4 - 1,5 = 2,5. Tọa độ: B(0; 3; 2,5).

Vecto $\overrightarrow{AB}=(-4;3;-0,5)$, nên:
$$AB=\sqrt{(-4{)}^2+3^2+(-0,5{)}^2}=\sqrt{16+9+0,25}=\sqrt{25,25}\approx 5,025\text{ (m)}.$$

Vậy khoảng cách giữa hai chiếc quạt xấp xỉ 5,025 m.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-1;2-1;1-(-2))=(1;1;3)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=B+C-A$. Với $A(1;0;3)$, $B(2;3;-4)$, $C(-3;1;2)$: $x_D=2+(-3)-1=-2$; $y_D=3+1-0=4$; $z_D=-4+2-3=-5$. Vậy $D(-2;4;-5)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $C=B+D-A$. Với $A(1;0;1)$, $B(2;1;2)$, $D(1;-1;1)$ ta có $C=(2+1-1;1+(-1)-0;2+1-1)=(2;0;2)$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
M(1;5;2), N(3;7;-4). P đối xứng với M qua N nên N là trung điểm MP: $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=(6-1;14-5;-8-2)=(5;9;-10)$. Suy ra $\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OK}=(5+1;9-3;-10-1)=(6;6;-11)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(1;3;-1)+(3;-1;5)=(4;2;4)$. Vậy chọn đáp án D.