Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều S.ABCD, đáy là hình vuông, O là giao hai đường chéo nên là trung điểm AC và BD, đồng thời SO ⊥ (ABCD).
a) Trong hình vuông ABCD, vectơ CD = -AB (cùng độ dài, ngược hướng), nên AB + CD = 0. Đúng.
b) O là trung điểm AC nên OA + OC = 0. Đúng.
c) O là trọng tâm (tâm) đáy, với điểm S bất kỳ: SA + SB + SC + SD = 4SO, không phải 2SO. Sai.
d) SA - SC = CA và SB + SD = 2SO. Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ CA, do đó CA · 2SO = 0. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông ABCD, CD = -AB nên AB + CD = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm của AC nên OA + OC = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
O là tâm đáy nên SA + SB + SC + SD = 4SO, không phải 2SO.
d) (AI giải đề cho tôi)
SA - SC = CA, SB + SD = 2SO; SO ⊥ (ABCD) nên CA ⊥ SO, tích vô hướng bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\vec{a}-2\vec{b}=(-2+2;1+6;-3-4)=(0;7;-7)\ne (0;1;-1)$ → sai. b) $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-4;7-6;-6+3)=(-2;1;-3)=\vec{a}$ → đúng. c) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không tỉ lệ ($-2/(-1)\ne 1/(-3)$) nên không cùng phương → sai. d) $\vec{a}\cdot \vec{b}=2-3-6=-7$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{14}$, $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-7}{14}=-\frac{1}{2}$ → góc bằng $120^{\circ }$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}-2\vec{b}=(0;7;-7)\ne (0;1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-4;7-6;-6+3)=(-2;1;-3)=\vec{a}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ không tỉ lệ nên hai vectơ không cùng phương.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-7}{\sqrt{14}\sqrt{14}}=-\frac{1}{2}$ nên góc bằng $120^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: O là tâm hình vuông ABCD, trục Ox hướng về C, Oy hướng về D, Oz hướng lên. Cạnh 2 nên nửa đường chéo bằng $\sqrt{2}$. Do đó $C(\sqrt{2};0;0)$, $A(-\sqrt{2};0;0)$, $B(0;-\sqrt{2};0)$, $D(0;\sqrt{2};0)$, và các đỉnh trên có cao 2: $C^{\prime }(\sqrt{2};0;2)$, $D^{\prime }(0;\sqrt{2};2)$.
a) $A(-\sqrt{2};0;0)\ne (-1;0;0)$ → Sai.
b) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=C^{\prime }-A=(2\sqrt{2};0;2)$ → Đúng.
c) $D^{\prime }(0;\sqrt{2};2)$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=D^{\prime }-B=(0;2\sqrt{2};2)\ne (0;0;2)$ → Sai.
a) Vì $AC=2\sqrt{2}$ nên $OA=\sqrt{2}$, A nằm trên trục Ox phía âm: $A(-\sqrt{2};0;0)$, không phải $(-1;0;0)$.
b) $A(-\sqrt{2};0;0)$, $C^{\prime }(\sqrt{2};0;2)$ nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2\sqrt{2};0;2)$.
c) D nằm trên trục Oy với $OD=\sqrt{2}$, cao bằng 2 nên $D^{\prime }(0;\sqrt{2};2)$.
d) $B(0;-\sqrt{2};0)$, $D^{\prime }(0;\sqrt{2};2)$ nên $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(0;2\sqrt{2};2)\ne (0;0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động đều trên đoạn thẳng $AB$ nên $M$ chia $AB$ theo tỉ số $t$ với $z_M=z_A+t(z_B-z_A)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(540;-540;270)$, cao độ tăng từ 0 đến 270 m. Vì $z_M=200$ nên $t=\frac{200}{270}=\frac{20}{27}$. Độ dài $AB=\sqrt{540^2+(-540{)}^2+270^2}=\sqrt{291600+291600+72900}=\sqrt{656100}=810$ (m). Do chuyển động đều theo đường thẳng: $AM=t\cdot AB=\frac{20}{27}\cdot 810=600$ (m). Vậy độ dài quãng đường $AM=600$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $\vec{u}=(0;-2;6)$ có độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{0^2+(-2{)}^2+6^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. Quãng đường cabin đi trong 5 giây với tốc độ 4 m/s là $s=4\cdot 5=20$ (m). Vì chuyển động đều theo đường thẳng nên $\overrightarrow{AM}=\frac{20}{2\sqrt{10}}\vec{u}=\sqrt{10}(0;-2;6)=(0;-2\sqrt{10};6\sqrt{10})$. Suy ra $M=(-2;1-2\sqrt{10};5+6\sqrt{10})$. Do đó $a+3b+c=-2+3(1-2\sqrt{10})+(5+6\sqrt{10})=-2+3-6\sqrt{10}+5+6\sqrt{10}=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, quy tắc hình hộp cho $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Mặt khác $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Vậy mệnh đề A sai.

Các mệnh đề còn lại đúng:
- B: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ (vì $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$), đúng.
- C: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}$, đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, đúng.

Khớp đáp án nguồn (đề 0002, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, kiểm tra từng mệnh đề:

- A: $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ (vì $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$). Đúng.
- B: $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$. Đúng.
- C: $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Mệnh đề đề bài viết $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Sai.
- D: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.

Vậy mệnh đề sai là C, trùng đáp án nguồn (mã đề 0001, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$, suy ra $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng theo tọa độ: $\vec{u}+\vec{v}=(3+5;2+(-4);0+2)=(8;-2;2)$. Khớp đáp án A và bảng đáp án (đề 1033, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vecto $\overrightarrow{BA}=(x_A-x_B;y_A-y_B;z_A-z_B)=(1-0;3-1;4-2)=(1;2;2)$. Kết quả trùng với đáp án D và khớp với đáp án nguồn (đề 1033, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cộng từng thành phần: $\vec{u}+\vec{v}=(3+5;2+(-4);0+2)=(8;-2;2)$. Khớp đáp án B và bảng đáp án mã đề 1022 (câu 5 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{BA}=A-B=(1-0;3-1;4-2)=(1;2;2)$. Kết quả trùng với đáp án D và với đáp án của đề (mã 1022, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-1;5-2;4-2)=(1;3;2)$. Vì $\vec{u}=(1;b;c)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ nên $\vec{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. Do thành phần thứ nhất của cả hai vectơ đều bằng 1 nên $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, suy ra $b=3$ và $c=2$. Vậy $c=2$, chọn đáp án B. Kết quả này khớp với bảng đáp án của đề 104, câu 9: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-1;4-2;5-2)=(1;2;3)$. Vì $\vec{u}=(1;b;c)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ nên $\vec{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, suy ra $b=2$, $c=3$. Vậy $c=3$, chọn đáp án C. Kết quả này trùng với đáp án của đề (mã đề 103, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }A}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ vuông góc với mặt đáy, ta được $\vec{u}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (đường chéo của hình lập phương). Độ dài đường chéo hình lập phương cạnh $a$ là $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }A}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, nên $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vậy $|\vec{u}|=A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}$ (đường chéo hình lập phương cạnh $a$). Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(-1;2;5)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ giữ nguyên tọa độ $y,z$ và có tọa độ $x=0$, nên là điểm $H(0;2;5)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $D(0;4;0)$, $C(6;4;0)$, $S(0;0;6)$ (vì $SA\perp (ABCD)$).

Điểm $M\in BD$ với $\overrightarrow{MB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MD}$ nên $M$ nằm giữa $B,D$ với $MB:MD=1:2$, suy ra $M=\frac{2B+D}{3}=\left(4;\frac{4}{3};0\right)$.

Điểm $N\in SC$ với $\overrightarrow{NS}=-3\overrightarrow{NC}$ nên $N$ nằm giữa $S,C$ với $NS:NC=3:1$, suy ra $N=\frac{S+3C}{4}=\left(\frac{18}{4};3;\frac{6}{4}\right)=\left(\frac{9}{2};3;\frac{3}{2}\right)$.

Vậy $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{1}{2};\frac{5}{3};\frac{3}{2}\right)$, do đó
$$M{N}^2=\frac{1}{4}+\frac{25}{9}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}+\frac{25}{9}=\frac{95}{18}=\frac{190}{36},$$
$$MN=\frac{\sqrt{190}}{6}.$$

Kết quả trùng với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (A đúng) và $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{BG}$ (C đúng). Với A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})=3\overrightarrow{AG}$ (B đúng). Xét D: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\vec{0}=\overrightarrow{GA}\ne \vec{0}$ vì A không trùng G. Vậy khẳng định sai là D.