Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Elip có phương trình $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$ với $36>9$ nên $a^2=36,b^2=9$, tức $a=6,b=3$. Tiêu cự: $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. Tiêu cự $2c=6\sqrt{3}$. Vì trục lớn nằm trên trục $Ox$ nên hai tiêu điểm là $F_1(-3\sqrt{3};0)$ và $F_2(3\sqrt{3};0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=7,b^2=9$ nên $c^2=a^2+b^2=7+9=16\Rightarrow c=4$. Hai tiêu điểm là $F_1(-4;0)$ và $F_2(4;0)$. Tiêu cự $F_1{F}_2=2c=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=8x$ có dạng chuẩn $y^2=2px$ với $2p=8\Rightarrow p=4$.

- Tiêu điểm: $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(2;0)$.
- Đường chuẩn: $x=-\frac{p}{2}$, tức là đường thẳng $x=-2$.

Vậy tiêu điểm của parabol là $F(2;0)$ và đường chuẩn là đường thẳng $x=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục hoành: y=0, x²/5=1 nên x=±√5. Vậy các đỉnh là A₁(−√5;0), A₂(√5;0).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol chính tắc nhận trục $Ox$ làm trục đối xứng, tiêu điểm $F(5;0)$ nên có dạng $y^2=2px$ với $\frac{p}{2}=5\Rightarrow p=10$. Suy ra $y^2=20x$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $O$ tại trung điểm $AB$, trục $Ox$ dọc theo $AB$. Khi đó elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a=10$ (nửa trục lớn, vì $AB=20$ m) và $b=8$ (chiều cao lớn nhất của nửa elip). Phương trình elip: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

Điểm $C$ trên mặt đường cách chân đường hầm (điểm $B$) 3 m nên $C$ có hoành độ $x=10-3=7$ m. Độ cao tại $C$ là tung độ $y$ của điểm trên elip với $x=7$:
$$\frac{49}{100}+\frac{y^2}{64}=1\Rightarrow y^2=64\cdot \frac{51}{100}=\frac{3264}{100}=32,64\Rightarrow y=\sqrt{32,64}\approx 5,713.$$

Vậy độ cao của đường hầm tại điểm cách chân đường hầm 3 m là khoảng $5,7$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=16$, $b^2=9$, nên $c^2=a^2+b^2=25\Rightarrow c=5$. Tiêu cự $F_1{F}_2=2c=10$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ có $a^2=25,b^2=16$ nên $c=\sqrt{25-16}=3$. Elip có trục lớn trên trục $Ox$ nên các tiêu điểm là $(\pm 3;0)$. Vậy một tiêu điểm là $(3;0)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Elip đi qua $(5;0)$ nên $a=5$, tức $a^2=25$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{5}$ nên $c=\sqrt{5}$, suy ra $b^2=a^2-c^2=25-5=20$. Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$. Các phương án C, D là phương trình hyperbol nên loại; phương án A có $b^2=5$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=9\Rightarrow a=3$. Theo định nghĩa hypebol, hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên $(H)$ đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng $2a=2\cdot 3=6$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ với $p>0$ (đỉnh tại gốc tọa độ, trục đối xứng là Ox, parabol hướng về phía dương của Ox). Trong các phương trình: $x^2=2y$ có trục đối xứng là Oy (không phải dạng chính tắc chuẩn trong SGK); $y^2=-4x$ và $y^2=-8x$ có $p<0$ (parabol hướng về phía âm của Ox, không phải dạng chính tắc). Vậy phương trình chính tắc là $y^2=6x$ với $2p=6\Rightarrow p=3>0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=\frac{1}{4}x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=\frac{1}{4}\Rightarrow p=\frac{1}{8}$. Tiêu điểm là $F(p;0)=F\left(\frac{1}{8};0\right)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có phương trình $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{100}=1$ nên $a^2=144,b^2=100$, suy ra $a=12,b=10$ (không phải $a=144,b=100$) → a) Sai. Ta có $c^2=a^2-b^2=144-100=44$, $c=2\sqrt{11}$, tiêu cự $2c=4\sqrt{11}$ → b) Đúng. Elip có hai tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1(-2\sqrt{11};0)$, $F_2(2\sqrt{11};0)$; khẳng định $F_1(0;-2\sqrt{11})$ sai tọa độ → c) Sai. Với elip, tổng khoảng cách từ một điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng $2a=24$, không phải 144 → d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{100}=1$ suy ra $a^2=144,b^2=100$ nên $a=12,b=10$, không phải $a=144,b=100$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$c^2=144-100=44\Rightarrow c=2\sqrt{11}$, tiêu cự $2c=4\sqrt{11}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1(-2\sqrt{11};0)$, không phải $(0;-2\sqrt{11})$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các khoảng cách đến hai tiêu điểm bằng $2a=24$, không phải 144.

(AI giải đề cho tôi)
Hyperbol có tiêu điểm $F_1(-4;0)$ nên $c=4$, $c^2=16$. Độ dài trục ảo $2b=\sqrt{28}$ nên $b^2=7$. Với hyperbol $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ có $c^2=a^2+b^2$, suy ra $a^2=16-7=9$, $a=3$. a) Sai: phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$ (dấu trừ), không phải $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$ (đó là phương trình elip). b) Đúng: độ dài trục thực $2a=2\cdot 3=6$. c) Sai: tiêu cự $2c=2\cdot 4=8\ne 4$. d) Đúng: thay $B(3;0)$ vào $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$ được $\frac{9}{9}-0=1$, thỏa mãn, nên $B$ nằm trên hyperbol (là đỉnh).
a) Vì $c=4\Rightarrow c^2=16$, $2b=\sqrt{28}\Rightarrow b^2=7$, nên $a^2=c^2-b^2=9$. Phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$ (dấu trừ), không phải $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$ nên khẳng định sai.
b) Độ dài trục thực $2a=2\cdot 3=6$ nên khẳng định đúng.
c) Tiêu cự $2c=2\cdot 4=8\ne 4$ nên khẳng định sai.
d) Thay $B(3;0)$ vào $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$: $\frac{9}{9}-0=1$, thỏa mãn phương trình, nên $B$ nằm trên hyperbol (là đỉnh). Khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P)$ có tiêu điểm $F(1;0)$ nên có dạng $y^2=4px$ với $\frac{p}{2}=1\Rightarrow p=2$, tức $(P):y^2=4x$. Thay $x=-6m$ vào: $y^2=-24m$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-24m>0\iff m<0$. Với $m\in [-10;10]$ nguyên, các giá trị $m<0$ là $m\in \{-10,-9,\dots ,-1\}$, gồm 10 giá trị. Vậy đáp án là 10.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12. Xác định tiêu điểm và tiêu cự:

a) Elip $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ có $a^2=100,b^2=64$ nên $a=10,b=8$, $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{100-64}=6$. Tiêu cự $2c=12$. Tiêu điểm: $F_1(-6;0),F_2(6;0)$.

b) Elip $\frac{x^2}{25}+y^2=1$ có $a^2=25,b^2=1$ nên $a=5,b=1$, $c=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. Tiêu cự $2c=4\sqrt{6}$. Tiêu điểm: $F_1(-2\sqrt{6};0),F_2(2\sqrt{6};0)$.

c) $9x^2+25y^2=225\iff \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=25,b^2=9$ nên $a=5,b=3$, $c=\sqrt{25-9}=4$. Tiêu cự $2c=8$. Tiêu điểm: $F_1(-4;0),F_2(4;0)$.

d) Hypebol $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=4,b^2=9$ nên $a=2,b=3$, $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{13}$. Tiêu điểm: $F_1(-\sqrt{13};0),F_2(\sqrt{13};0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13. Lập phương trình chính tắc của elip (E): x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0).

a) Elip có một tiêu điểm (-7; 0) nên c² = 49, tức a² = b² + 49. Elip đi qua M(-2; 12) nên 4/a² + 144/b² = 1. Thay a² = b² + 49, đặt t = b² > 0: 4/(t+49) + 144/t = 1 ⟹ 4t + 144(t + 49) = t(t + 49) ⟹ t² - 99t - 7056 = 0. Δ = 99² + 4·7056 = 38025 = 195², nên t = (99 + 195)/2 = 147 (nhận t > 0). Vậy b² = 147, a² = 196. Kiểm tra: 4/196 + 144/147 = 1/49 + 144/147 = 3/147 + 144/147 = 1 ✓. Phương trình: x²/196 + y²/147 = 1.

b) Elip đi qua M(4; √3) và N(2√2; -3): 16/a² + 3/b² = 1 và 8/a² + 9/b² = 1. Đặt u = 1/a², v = 1/b²: 16u + 3v = 1; 8u + 9v = 1. Trừ hai phương trình: 8u - 6v = 0 ⟹ u = 3v/4. Suy ra 12v + 3v = 1 ⟹ v = 1/15, u = 1/20. Vậy a² = 20, b² = 15 (thỏa a > b > 0). Phương trình: x²/20 + y²/15 = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 15: Parabol (P): y² = 2px (p>0) có tiêu điểm F(p/2; 0) và đường chuẩn x = -p/2.

a) Tiêu điểm F(5; 0) nên p/2 = 5 ⇒ p = 10. Phương trình: y² = 20x.

b) Tiêu điểm F(p/2; 0). Khoảng cách từ F đến Δ: x + y - 12 = 0 là:
d(F, Δ) = |p/2 + 0 - 12|/√2 = 2√2 ⇒ |p/2 - 12| = 4 ⇒ p/2 = 8 hoặc p/2 = 16 ⇒ p = 16 hoặc p = 32.
Vậy có hai parabol thỏa mãn: y² = 32x và y² = 64x.

c) Đường chuẩn x = -p/2 = -2 ⇒ p = 4. Phương trình: y² = 8x.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Xét từng phương trình: A) $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$ có đúng dạng chính tắc với $a^2=2,b^2=4$, thỏa mãn. B) $4x^2+8y^2=32\iff \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ là elip nhưng chưa ở dạng chính tắc (cần biến đổi). C) $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=-1$ vô nghiệm vì vế trái không âm, không phải elip. D) $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$ là phương trình chính tắc của hyperbol, không phải elip. Vậy đáp án A.