Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục sao cho đỉnh parabol tại $(0;9)$, mặt đất là trục $Ox$. Parabol có dạng $y=a{x}^2+9$. Cửa chính rộng $4m$, cao $5m$ nên hai đỉnh trên của cửa chính có tọa độ $(\pm 2;5)$. Thay vào: $5=4a+9\Rightarrow a=-1$. Tại mặt đất $y=0$: $0=-x^2+9\Rightarrow x=\pm 3$. Vậy $AB=6m$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): x²/25 + y²/16 = 1 với a²=25, b²=16.
a) Thay M(2;3): 4/25 + 9/16 = (64+225)/400 = 289/400 ≠ 1, nên M ∉ (E) → sai.
b) c² = a² − b² = 25 − 16 = 9 ⇒ c = 3, tiêu cự 2c = 6 → đúng.
c) Với x = 1: 1/25 + y²/16 = 1 ⇒ y²/16 = 24/25 ⇒ y² = 384/25 ⇒ y = ±8√6/5. Vậy (Δ) cắt (E) tại P(1; −8√6/5) và Q(1; 8√6/5) → đúng.
d) Thay y = 3x vào (E): x²/25 + 9x²/16 = 1 ⇒ x²(16+225)/400 = 1 ⇒ x² = 400/241 ⇒ x = ±20/√241. Phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng cắt elip tại 2 điểm phân biệt, không phải một điểm chung duy nhất → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
4/25 + 9/16 = 289/400 ≠ 1 nên M(2;3) không thuộc (E).
b) (AI giải đề cho tôi)
c² = 25 − 16 = 9 ⇒ c = 3, tiêu cự 2c = 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với x=1: y² = 384/25 ⇒ y = ±8√6/5, đúng như hai điểm P, Q.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay y=3x: x² = 400/241 ⇒ hai nghiệm phân biệt, đường thẳng cắt elip tại 2 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=25\Rightarrow a=5$. Theo tính chất tổng quát của elip, với mọi điểm $M$ thuộc elip, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là $M{F}_1+M{F}_2=2a=10$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=9,b^2=1$ với $a>b$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Tính $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Vậy các tiêu điểm là $F_1(-2\sqrt{2};0)$ và $F_2(2\sqrt{2};0)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho biết miệng chụp có đường kính 30 cm (bán kính 15 cm) và độ sâu 20 cm. Chọn gốc tọa độ tại đỉnh chụp, trục hoành là trục đối xứng của parabol, phương trình có dạng $y^2=4ax$ với tiêu điểm $F(a;0)$. Điểm trên miệng chụp là $(20;15)$, thay vào: $15^2=4a\cdot 20\Rightarrow 225=80a\Rightarrow a=2,8125$ cm. Kết quả làm tròn: $2,81$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$. Elip đi qua $A(5;0)$ nằm trên trục hoành nên $a=5$, suy ra $b^2=a^2-c^2=25-9=16$. Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$, tương ứng đáp án D. Kiểm tra: các phương án A, C có $c=\sqrt{100-81}=\sqrt{19}$ hoặc $c=4$ (sai tiêu cự), B không đi qua $A(5;0)$ vì $25/15\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của Hypebol (nhận trục Ox làm trục thực) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a,b>0$. Các phương án còn lại: A và C là dạng elip (sai dấu), D là phương trình hypebol với trục thực là Oy, không phải dạng chính tắc chuẩn theo sách giáo khoa ở đây. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=16$, $b^2=9$, nên $c^2=a^2+b^2=16+9=25\Rightarrow c=5$. Hai tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1(-5;0)$, $F_2(5;0)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$), tiêu cự $2c$ thỏa mãn $c^2=a^2-b^2$, suy ra $a^2=b^2+c^2$. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (dấu trừ giữa hai phân số, vế phải bằng 1). Xét các phương án: A: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ có dấu trừ và vế phải bằng 1 nên là hypebol. B, C có dấu cộng nên là elip. D: $y^2=x$ là parabol. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ (đỉnh tại gốc tọa độ, trục là một trục tọa độ). Trong các phương trình đã cho: $y^2=2x$ là parabol với $2p=2$; $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ là hyperbol; $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$ là elip; $y=2x^2$ là parabol nhưng không phải phương trình chính tắc (dạng chính tắc phải là $y^2=2px$ hoặc $x^2=2py$). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=5>b^2=4$, nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$ với $c^2=a^2-b^2=1\Rightarrow c=1$. Vậy $F_{1,2}=(\pm 1;0)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Chuyển về dạng chính tắc: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$, nên $a^2=9,b^2=4\Rightarrow a=3,b=2$, $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}$. Kiểm tra: tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ (A đúng); trục lớn $2a=6$ (B đúng); trục nhỏ $2b=4$ (C đúng); tiêu cự $2c=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$, nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=25,b^2=9$ nên $a=5,b=3,c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=4$. Kiểm tra từng khẳng định: A) Tiêu điểm $F_{1,2}(\pm c;0)=(\pm 4;0)$, đúng. B) $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$, đúng. C) Đỉnh trên trục lớn $A_1(-5;0)$, đúng. D) Độ dài trục nhỏ bằng $2b=6\ne 3$, sai. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, đường tròn tiếp xúc trong với elip tại hai đầu mút của trục nhỏ nên đường kính đường tròn bằng độ dài trục nhỏ $2b=30m$, bán kính $R=15m$. Elip có $2a=60m$, $2b=30m$ nên $a=30m$, $b=15m$, diện tích elip $S=\pi ab=450\pi$. Diện tích phần trong đường tròn (trồng cây lâu năm) là $\pi R^2=225\pi$; diện tích phần ngoài đường tròn trong elip (trồng hoa màu) là $450\pi -225\pi =225\pi$. Vậy $T=\frac{225\pi }{225\pi }=1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của Parabol có dạng $y^2=2px$ $(p>0)$. Vì Parabol đi qua $A(1;2)$ nên $2^2=2p\cdot 1\Rightarrow 4=2p\Rightarrow p=2$. Vậy phương trình là $y^2=4x$. Kiểm tra: điểm $A(1;2)$ thỏa $4=4\cdot 1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol chính tắc $y^2=2px$ có đường chuẩn $x=-\frac{p}{2}$. Theo đề, $-\frac{p}{2}=-1\Rightarrow p=2$. Suy ra $y^2=2px=4x$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a,b$ là nửa trục thực và nửa trục ảo. Trục thực dài gấp đôi trục ảo: $2a=2(2b)\Rightarrow a=2b$. Tiêu cự $2c=10\Rightarrow c=5$. Vì $c^2=a^2+b^2=4b^2+b^2=5b^2$ nên $5b^2=25\Rightarrow b^2=5$, $a^2=20$. Vậy $(H):\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$, khớp đáp án B.