Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hệ gồm ba bất phương trình bậc nhất hai ẩn nên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (a đúng). Thay $M(1;2)$: $1+2=3\le 4$, $x=1\ge 0$, $y=2\ge 0$ nên $M$ thuộc miền nghiệm (b đúng). Miền nghiệm là tam giác $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$ — miền bị chặn (c sai). Các đỉnh là giao của các cặp đường thẳng: $O(0;0)$, $A(4;0)$ (giao $x+y=4$ với $y=0$), $B(0;4)$ (giao $x+y=4$ với $x=0$) (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ đã cho là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$, $y=2$: $1+2=3\le 4$ (đúng), $1\ge 0$ (đúng), $2\ge 0$ (đúng). Vậy $M(1;2)$ thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$, nằm hoàn toàn trong phần mặt phẳng $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 4$, nên là miền bị chặn, không phải miền không bị chặn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh $O(0;0)$ là giao của $x=0$ và $y=0$; $A(4;0)$ là giao của $x+y=4$ và $y=0$; $B(0;4)$ là giao của $x+y=4$ và $x=0$. Vậy các đỉnh đúng như đề.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ $\{\begin{array}{l}x+2y\le 6\\ 2x-y\le 2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

a) Thay $O(0;0)$: $0+2\cdot 0=0\le 6$; $2\cdot 0-0=0\le 2$; $0\ge 0$; $0\ge 0$. O thỏa mọi bất phương trình nên thuộc miền nghiệm. → Đúng.

b) Thay $A(2;1)$: $x+2y=2+2=4\le 6$ (thỏa) nhưng $2x-y=4-1=3>2$ (không thỏa). Vậy $A$ không thuộc miền nghiệm, phát biểu đúng. → Đúng.

c) Giải hệ $\{\begin{array}{l}x+2y=6\\ 2x-y=2\end{array}$: từ phương trình thứ hai $y=2x-2$, thay vào: $x+2(2x-2)=6\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2$, $y=2$. Kiểm tra: $2+2\cdot 2=6$ ✓, $2\cdot 2-2=2$ ✓. Giao điểm là $(2;2)$. → Đúng.

d) Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $O(0;0)$, $B(1;0)$ (giao $2x-y=2$ với $y=0$), $C(2;2)$ (giao hai đường thẳng), $D(0;3)$ (giao $x+2y=6$ với $x=0$). Diện tích theo công thức shoelace với $(0;0),(1;0),(2;2),(0;3)$: $S=\frac{1}{2}|0+1\cdot 2-2\cdot 0+2\cdot 3-0\cdot 2+0|=\frac{1}{2}\cdot 8=4\ne 7$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
O(0;0) thỏa cả bốn bất phương trình: 0≤6, 0≤2, 0≥0, 0≥0 nên thuộc miền nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
A(2;1): x+2y=4≤6 thỏa nhưng 2x−y=3>2 không thỏa, nên A không thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được x=2, y=2, kiểm tra thỏa cả hai phương trình, nên giao điểm là (2;2).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tứ giác có đỉnh (0;0), (1;0), (2;2), (0;3) có diện tích bằng 4, không phải 7.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác $O(0;0)$, $A(3;0)$, $B(2;2)$, $C(0;3)$.
a) Diện tích theo công thức diện tích shoelace: $S=1/2|x_A{y}_B+x_B{y}_C-x_B{y}_A-x_C{y}_B|=1/2|3\cdot 2+2\cdot 3-2\cdot 0-0\cdot 2|=1/2\cdot 12=6$. Vậy diện tích bằng $6$, không phải $7,5$ → sai.
b) $F=x+y$ tại các đỉnh: $O:0$, $A:3$, $B:4$, $C:3$. Giá trị lớn nhất bằng $4$ tại $B(2;2)$ → đúng.
c) $F=3x+y$ tại các đỉnh: $O:0$, $A:9$, $B:8$, $C:3$. Giá trị lớn nhất bằng $9$ đạt tại $A(3;0)$, không phải tại $C(0;3)$ → sai.
d) $G=2x+3y$ tại các đỉnh: $O:0$, $A:6$, $B:10$, $C:9$. Giá trị lớn nhất bằng $10$ đạt tại $B(2;2)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tứ giác $OABC=1/2|3\cdot 2+2\cdot 3|=6$, không phải $7,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F=x+y$ đạt giá trị lớn nhất $4$ tại $B(2;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F=3x+y$ đạt max bằng $9$ tại $A(3;0)$; tại $C(0;3)$ chỉ bằng $3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=2x+3y$: $O:0$, $A:6$, $B:10$, $C:9$, nên max $=10$ tại $B(2;2)$.

Đáp số: 2.

Đáp số: 6.

Đáp số: 18.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ điểm $O(0;0)$ vào vế trái $2x-y+2$: ta được $2\cdot 0-0+2=2>0$. Vậy $O$ thuộc nửa mặt phẳng không chứa đường thẳng $d$ phía giá trị dương, tức là nửa mặt phẳng là miền nghiệm của bất phương trình $2x-y+2>0$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm gồm: $x\ge 0$, $y\ge 0$ (góc phần tư thứ nhất, kể cả hai trục) và $x+y\le 4$ (nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng $x+y=4$ đi qua $(4;0)$ và $(0;4)$). Giao của ba miền này là tam giác với ba đỉnh $(0;0)$, $(4;0)$, $(0;4)$. Vậy miền nghiệm là hình tam giác.

(AI giải đề cho tôi)
Thay điểm $(0;1)$ vào $x-y$: $0-1=-1<0$ nên $(0;1)$ thuộc miền nghiệm. Thay $(1;0)$: $1-0=1>0$ nên $(1;0)$ không thuộc miền nghiệm. Vì bất phương trình là $x-y<0$ (không có dấu bằng) nên bờ $x-y=0$ không thuộc miền nghiệm. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $(0;1)$ không kể bờ $x-y=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $(1;-2)$ vào bất phương trình: $m\cdot 1+(m-1)(-2)-3>0\iff m-2m+2-3>0\iff -m-1>0\iff m<-1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm tuyến tính $F(x,y)=2x+3y$ đạt giá trị lớn nhất trên tam giác $ABC$ tại một đỉnh. Tính: $F(A)=F(0;0)=0$; $F(B)=F(4;0)=2\cdot 4+0=8$; $F(C)=F(0;3)=0+3\cdot 3=9$. Vậy giá trị lớn nhất là $9$, đạt tại $C(0;3)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $A(2;0)$ và $B(0;1)$ có phương trình: $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1\iff x+2y-2=0$. Thay tọa độ điểm $O(0;0)$ vào vế trái: $0+2\cdot 0-2=-2<0$. Vì nửa mặt phẳng chứa $O$ (kể cả bờ $d$) là miền nghiệm nên bất phương trình là $x+2y-2\le 0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}2x+3y-6\le 0\\ x-y+1\ge 0\\ x\ge 0\end{array}$: A(1;2): $2+6-6=2>0$ loại. B(0;2): $0+6-6=0\le 0$ nhưng $0-2+1=-1<0$ loại. C(1;1): $2+3-6=-1\le 0$; $1-1+1=1\ge 0$; $1\ge 0$ thỏa cả ba. D(2;1): $4+3-6=1>0$ loại. Vậy điểm $(1;1)$ nằm trong miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng diện tích trồng ngô và đậu xanh không vượt quá 8 ha, và diện tích không âm: $x+y\le 8$, $x\ge 0$, $y\ge 0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm: $y\ge 0$, $x+y\le 3$, $x\ge y-1$. Tam giác có đỉnh $(-1;0)$, $(3;0)$, $(1;2)$. Đếm điểm nguyên: với $y=0$: $x\in \{-1,0,1,2,3\}$ (5 điểm); với $y=1$: $x\in \{0,1,2\}$ (3 điểm); với $y=2$: $x=1$ (1 điểm). Tổng cộng $5+3+1=9$ điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng giờ làm việc: $2x+y\le 8$; tổng nguyên liệu: $x+3y\le 9$; cùng $x\ge 0,y\ge 0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$. Tính $F(x,y)=x-2y$ tại các đỉnh: $F(0;0)=0$, $F(4;0)=4$, $F(0;4)=-8$. Vì $F$ là hàm bậc nhất hai ẩn nên giá trị nhỏ nhất trên miền tam giác đạt tại đỉnh, do đó $\min F=-8$ tại điểm $(0;4)$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng $y-2x=2$, $2y-x=-1$, $x+y=5$.

- Giao $y-2x=2$ và $2y-x=-1$: thay $y=2x+2$ vào $2y-x=-1$ được $4x+4-x=-1\Rightarrow x=-\frac{5}{3}$, $y=-\frac{4}{3}$. Đỉnh $A\left(-\frac{5}{3};-\frac{4}{3}\right)$.
- Giao $y-2x=2$ và $x+y=5$: $x+2x+2=5\Rightarrow x=1$, $y=4$. Đỉnh $B(1;4)$.
- Giao $2y-x=-1$ và $x+y=5$: $2(5-x)-x=-1\Rightarrow x=\frac{11}{3}$, $y=\frac{4}{3}$. Đỉnh $C\left(\frac{11}{3};\frac{4}{3}\right)$.

Tính $F(x,y)=y-x$ tại các đỉnh:
- $F(A)=-\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=\frac{1}{3}$
- $F(B)=4-1=3$ (lớn nhất)
- $F(C)=\frac{4}{3}-\frac{11}{3}=-\frac{7}{3}$

Vậy $F$ đạt giá trị lớn nhất tại $(x_0;y_0)=(1;4)$, nên $x_0+y_0=5$. Đáp án B.