Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chuyên đề: quy hoạch/tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số sản phẩm loại $I$, $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: An làm $3x+2y\le 180$ giờ, Bình làm $x+6y\le 220$ giờ. Lãi: $P=0,5x+0,4y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh $(0;0)$, $(60;0)$, giao điểm hai đường thẳng và $(0;\frac{110}{3})$. Giải hệ $3x+2y=180$, $x+6y=220$: nhân phương trình thứ hai với 3 ta được $3x+18y=660$, trừ đi $3x+2y=180$ suy ra $16y=480\Rightarrow y=30$, $x=40$. Tại $(40;30)$: $P=0,5\cdot 40+0,4\cdot 30=20+12=32$ triệu đồng. Kiểm tra các đỉnh khác: $(60;0)$ cho $30$; $(0;110/3)$ cho $\approx 14,67$. Vậy lãi lớn nhất là $32$ triệu đồng, khớp đáp án nguồn (mã đề 1103, câu 4 = 32).

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $x+y\le 8$, $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$, $x,y\ge 0$. Cần tối đa hóa $F=3x+4y$ trên miền này. Các đỉnh của miền: $(8;0)$ cho $F=24$; $(0;6)$ cho $F=24$; giao của $x+y=8$ và $2x+3y=18$: thay $x=8-y$ vào $2(8-y)+3y=18\Rightarrow 16+y=18\Rightarrow y=2$, $x=6$, khi đó $F=3\cdot 6+4\cdot 2=26$. Vậy giá trị lớn nhất $F=26$ (trồng 6 sào đậu, 2 sào cà, dùng đủ 8 sào đất và đúng 180 công). Khớp đáp án D (Mã đề 1103, Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc giờ làm: An: $3x+2y\le 180$; Bình: $x+6y\le 220$. Hàm lãi (triệu đồng): $P=0,5x+0,4y$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(60;0)$, giao điểm của $3x+2y=180$ và $x+6y=220$: giải hệ được $y=30$, $x=40$ (thỏa mãn), và $(0;\frac{110}{3})$. Tính $P$: tại $(60;0)$: $P=30$; tại $(40;30)$: $P=20+12=32$; tại $(0;\frac{110}{3})$: $P\approx 14,67$. Vậy lãi lớn nhất là $32$ triệu đồng, đạt tại $x=40$, $y=30$ (An làm $3\cdot 40+2\cdot 30=180$ giờ, Bình làm $40+6\cdot 30=220$ giờ, đều đúng giới hạn). Kết quả khớp với đáp án nguồn 32.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số xe loại $A$ và $B$ cần thuê ($0\le x\le 10$, $0\le y\le 9$, $x,y\in \mathbb{Z}$). Ràng buộc: chở người $20x+10y\ge 140\iff 2x+y\ge 14$; chở hàng $0,6x+1,5y\ge 9\iff 2x+5y\ge 30$ (đề dùng từ "trên 140 người" và "trên 9 tấn", nhưng đáp án chính thức của đề cho kết quả ứng với trường hợp ràng buộc không nghiêm ngặt $\ge$). Chi phí $C=4x+3y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: giao điểm $2x+y=14$ và $2x+5y=30$ cho $y=4$, $x=5$ (thỏa mãn), khi đó $C=4\cdot 5+3\cdot 4=32$. Các đỉnh khác: $x=3,y=9$ cho $C=39$; $x=10,y=3$ cho $C=49$. Theo đáp án chính thức của đề (mã đề 0105, câu 18), chi phí nhỏ nhất là $32$ triệu đồng khi thuê $5$ xe loại $A$ và $4$ xe loại $B$ (kiểm tra: $5$ xe A chở $100$ người, $3$ tấn; $4$ xe B chở $40$ người, $6$ tấn — đạt đúng $140$ người và $9$ tấn). Lưu ý: nếu hiểu ràng buộc là nghiêm ngặt (trên 140 người và trên 9 tấn) thì phương án $(5,4)$ không khả thi và chi phí nhỏ nhất sẽ khác; đáp án chính thức của đề vẫn là $32$. Đáp số: $32$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng nguyên liệu loại I, II cần mua ($0\le x\le 12$, $0\le y\le 8$). Chi phí $P=5x+4y$ (triệu đồng). Ràng buộc: $25x+10y\ge 190\iff 5x+2y\ge 38$ và $0,5x+2,5y\ge 13\iff x+5y\ge 26$. Giao hai đường thẳng $5x+2y=38$, $x+5y=26$: giải hệ được $x=6$, $y=4$ (thỏa giới hạn). Khi đó $P=5\cdot 6+4\cdot 4=46$. Kiểm tra các đỉnh khác: $(12;2,8)$ cho $P=71,2$; $(4,4;8)$ cho $P=54$; $(12;8)$ cho $P=92$. Vậy chi phí ít nhất là $46$ triệu đồng, đạt tại $x=6$ tấn loại I và $y=4$ tấn loại II (chiết xuất đúng $190$ kg chất A và $13$ kg chất B). Kết quả khớp đáp án nguồn 46.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm $I$ và $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc: An làm $3x+2y\le 180$ giờ; Bình làm $x+6y\le 220$ giờ. Hàm lợi nhuận (triệu đồng): $P=0,5x+0,4y$. Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(60;0)$, giao điểm của $3x+2y=180$ và $x+6y=220$, và $(0;\frac{220}{6})$. Giải hệ: từ $y=\frac{180-3x}{2}$ thay vào $x+6y=220$: $x+540-9x=220\Rightarrow x=40$, $y=30$. Kiểm tra: $3(40)+2(30)=180$ ✓, $40+6(30)=220$ ✓. Xét $P$ tại các đỉnh: $P(0;0)=0$; $P(60;0)=30$; $P(40;30)=0,5(40)+0,4(30)=20+12=32$; $P(0;36,67)\approx 14,67$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $32$ triệu đồng, đạt tại $x=40$, $y=30$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $20x+10y\ge 140\iff 2x+y\ge 14$; $0,6x+1,5y\ge 9\iff 2x+5y\ge 30$; $0\le x\le 10$, $0\le y\le 10$. Chi phí $C=4x+3y$. Giao hai đường thẳng $2x+y=14$ và $2x+5y=30$: trừ hai phương trình được $4y=16\Rightarrow y=4$, $x=5$, khi đó $C=4\cdot 5+3\cdot 4=32$. Kiểm tra các đỉnh khác: $(10;2)$ cho $C=46$; $(2;10)$ cho $C=38$; $(10;10)$ cho $C=70$. Vậy chi phí thấp nhất là 32 triệu đồng tại $(x;y)=(5;4)$.

Đáp số: 5.

Đáp số: 25.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (lít) là số nước A và B cần chế tạo ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: bột trái cây $10x+20y\le 800\iff x+2y\le 80$; đường $20x+10y\le 700\iff 2x+y\le 70$. Hàm lợi nhuận $P=20x+18y$ (nghìn đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0),(35;0),(20;30),(0;40)$, trong đó $(20;30)$ là giao của $x+2y=80$ và $2x+y=70$ (giải: $x=20,y=30$). Tính $P$: tại $(35;0)$: $P=700$; tại $(20;30)$: $P=400+540=940$; tại $(0;40)$: $P=720$. Vậy $P$ lớn nhất $=940$ nghìn đồng tại $x=20$, tức chế tạo 20 lít nước A. Đáp án A.

Đáp số: 155.

Đáp số: 9.

Đáp số: 64.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc thời gian: sản xuất 1 mũ loại 2 mất $t$, loại 1 mất $2t$; tổng thời gian một ngày cho phép $500t$ nên $2m+n\le 500$. Ngoài ra $0\le m\le 150$, $0\le n\le 200$. Lợi nhuận $P=8m+5n$. Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$: $P=0$; $(150;0)$: $P=1200$; $(0;200)$: $P=1000$; $(150;200)$ (thỏa $2\cdot 150+200=500$): $P=8\cdot 150+5\cdot 200=2200$ lớn nhất. Vậy $m=150$, $n=200$, $m+n=350$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số lô linh kiện loại $A$ và loại $B$ sản xuất mỗi tuần, $x,y\ge 0$. Ràng buộc: máy Phay $2x+3y\le 120$; máy Tiện $4x+2y\le 160$ (tức $2x+y\le 80$). Lợi nhuận $P=3x+4y$ (triệu đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(40;0)$, giao điểm hai đường thẳng và $(0;40)$. Giải hệ $2x+3y=120$, $2x+y=80$: trừ hai phương trình được $2y=40\Rightarrow y=20$, $x=30$. Kiểm tra: $2(30)+3(20)=120$ ✓, $4(30)+2(20)=160$ ✓. Giá trị $P$: tại $(40;0)$: $120$; tại $(0;40)$: $160$; tại $(30;20)$: $3(30)+4(20)=90+80=170$. Vậy lợi nhuận cao nhất mỗi tuần là $170$ triệu đồng, khớp đáp án nguồn (bảng đáp án trang 12, Câu 6: 170).

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $x+y\le 8$, $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$, $x\ge 0,y\ge 0$. Hàm mục tiêu $F=3x+4y$. Các đỉnh miền nghiệm: $(0,0)$, $(8,0)$, $(0,6)$, giao của $x+y=8$ và $2x+3y=18$: từ $x+y=8$ suy ra $2x+2y=16$, trừ đi được $y=2$, $x=6$. Tính $F$: tại $(8,0)$: $24$; tại $(0,6)$: $24$; tại $(6,2)$: $3\cdot 6+4\cdot 2=26$. Vậy $F_{\max }=26$, đạt được khi trồng 6 sào đậu và 2 sào cà (tổng công $=120+60=180\le 180$, tổng đất $=8$). Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và loại $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc về thời gian: An làm $3x+2y\le 180$ giờ, Bình làm $x+6y\le 220$ giờ. Hàm lãi (đơn vị: trăm nghìn đồng): $P=5x+4y$. Miền ràng buộc có các đỉnh: $(0;0)$, $(60;0)$, $(0;\frac{110}{3})$ và giao điểm của $3x+2y=180$ với $x+6y=220$: giải hệ được $16y=480\Rightarrow y=30$, $x=40$, tức $(40;30)$. Giá trị $P$: tại $(60;0)$: $300$; tại $(0;\frac{110}{3})$: $\approx 146,7$; tại $(40;30)$: $5\cdot 40+4\cdot 30=320$ trăm nghìn đồng $=32$ triệu đồng. Vậy lãi lớn nhất là $32$ triệu đồng, đạt được khi sản xuất $40$ sản phẩm loại $I$ và $30$ sản phẩm loại $II$ (thời gian: An $3\cdot 40+2\cdot 30=180$ giờ, Bình $40+6\cdot 30=220$ giờ, đều hợp lệ). Kết quả khớp với đáp án nguồn 32.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B ($x,y\ge 0$, $x,y\in \mathbb{Z}$). Ràng buộc về lượng sơn: sơn xanh $6x+2y\le 12\iff 3x+y\le 6$; sơn vàng $2x+2y\le 8\iff x+y\le 4$. Hàm lợi nhuận: $P=10x+8y$ (triệu đồng). Miền ràng buộc là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(2;0)$, $(1;3)$, $(0;4)$, trong đó $(1;3)$ là giao điểm của $3x+y=6$ và $x+y=4$ (kiểm tra: $6\cdot 1+2\cdot 3=12$ kg sơn xanh, $2\cdot 1+2\cdot 3=8$ kg sơn vàng, đều thỏa mãn). Tính $P$ tại các đỉnh: $P(0;0)=0$; $P(2;0)=20$; $P(1;3)=10+24=34$; $P(0;4)=32$. Vì $x,y$ nguyên và $(1;3)$ nguyên nên giá trị lớn nhất đạt được tại đỉnh. Vậy tiền lãi lớn nhất là $34$ triệu đồng, khi sơn 1 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B (dùng hết 12 kg sơn xanh và 8 kg sơn vàng).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y\ge 0$ lần lượt là số kg sản phẩm loại I và loại II. Ràng buộc: nguyên liệu $2x+2y\le 200\iff x+y\le 100$; thời gian $2x+5y\le 300$. Lợi nhuận $P=0,3x+0,6y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(100;0)$, $(50;50)$ (giao của $x+y=100$ và $2x+5y=300$), $(0;60)$. Tính $P$: tại $(100;0)$: $30$; tại $(50;50)$: $15+30=45$; tại $(0;60)$: $36$. Vậy $P_{\max }=45$ triệu đồng, tức $a=45$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng bắp, $y$ (ha) là diện tích trồng cà chua ($x,y\ge 0$). Điều kiện: $x+y\le 6$ (diện tích đất) và $10x+20y\le 100\iff x+2y\le 10$ (thời gian canh tác). Hàm mục tiêu: $P=30x+50y$ (triệu đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0),(6;0),(6;2),(0;5)$. Tính $P$: tại $(0;0)$: $P=0$; tại $(6;0)$: $P=180$; tại $(6;2)$: $P=180+100=280$; tại $(0;5)$: $P=250$. Vậy giá trị lớn nhất là $P=280$ triệu đồng, đạt khi trồng 6 ha bắp và 2 ha cà chua (dùng hết 6 ha đất và đúng 100 ngày).