Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chuyên đề: quy hoạch/tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số tấn sản phẩm $A,B$. Bài toán: max $P=4x+3y$ với $x+6y\le 36$, $2x+3y\le 23$, $3x+2y\le 27$, $x,y\ge 0$. Các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$, $(0;\frac{23}{3})$, giao của $x+6y=36$ và $2x+3y=23$ là $(\frac{10}{3};\frac{49}{9})$ (thỏa $3x+2y\approx 20,9\le 27$), giao của $2x+3y=23$ và $3x+2y=27$ là $(7;3)$ (thỏa $x+6y=25\le 36$), và $(9;0)$. Giao của $x+6y=36$ và $3x+2y=27$ là $(\frac{45}{8};\frac{81}{16})$ nhưng vi phạm $2x+3y\approx 26,4>23$ nên loại. Tính $P$: tại $(0;\frac{23}{3})$: $23$; tại $(\frac{10}{3};\frac{49}{9})$: $\frac{89}{3}\approx 29,67$; tại $(7;3)$: $28+9=37$; tại $(9;0)$: $36$. Vậy lãi lớn nhất $37$ triệu đồng khi sản xuất $7$ tấn $A$ và $3$ tấn $B$, tổng cộng $7+3=10$ tấn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi x (100g) thịt bò, y (100g) trứng; tỉ lệ yến mạch : thịt bò = 3 : 2 nên yến mạch = 1,5x (100g). Các ràng buộc: Protein: 26x + 15y + 14(1,5x) = 47x + 15y ≤ 139; Carb: 120x + 0,7y ≤ 242,1; Chất béo: 5x + 9y + 10(1,5x) = 20x + 9y ≤ 80; y ≤ 8; x, y ≥ 0. Hàm chi phí: P = 22x + 7y + 21(1,5x) = 53,5x + 7y (nghìn đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: giao của Carb và Protein: 120x + 0,7y = 242,1 và 47x + 15y = 139 giải được x = 2; y = 3 (kiểm tra chất béo: 20·2 + 9·3 = 67 ≤ 80, y = 3 ≤ 8, thỏa). Chi phí P = 53,5·2 + 7·3 = 128. Các đỉnh khác: (0; 8) cho P = 56; (2,0175; 0) cho P ≈ 107,9; giao Chất béo–Carb cho P ≈ 137,8 nhưng vi phạm ràng buộc Protein (47x + 15y ≈ 160,5 > 139) nên loại; giao Chất béo–Protein cho P ≈ 78. Vậy tối ưu tại x = 2, y = 3, yến mạch = 3. Tổng khối lượng theo đơn vị 100g: 2 + 3 + 3 = 8, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số thùng size M và size L ($x,y\in \mathbb{N}$).

Ràng buộc:
- $x+y\le 300$
- $10x+15y\le 3600$ (nghìn đồng)
- $y\le 200$
- $y\ge \frac{x}{3}$
- $x\ge 0,y\ge 0$

Khối lượng hàng: $P=10x+14y$ (kg).

Miền ràng buộc là đa giác với các đỉnh (tính từ giao của các đường thẳng):
- Giao $y=\frac{x}{3}$ với $10x+15y=3600$: thay vào được $10x+5x=3600\Rightarrow x=240,y=80$. Điểm $(240;80)$, thỏa $x+y=320>300$? Kiểm tra: $240+80=320>300$ — vi phạm! Xem lại: thực tế đỉnh này không thuộc miền vì vi phạm $x+y\le 300$.

Xét lại các đỉnh của miền ràng buộc:
- Giao $y=\frac{x}{3}$ với $x+y=300$: $x+\frac{x}{3}=300\Rightarrow x=225,y=75$. Kiểm tra chi phí: $10(225)+15(75)=2250+1125=3375\le 3600$ ✓. $P=2250+1050=3300$ kg.
- Giao $x+y=300$ với $10x+15y=3600$: $10x+15(300-x)=3600\Rightarrow 4500-5x=3600\Rightarrow x=180,y=120$. Kiểm tra $y\ge x/3$: $120\ge 60$ ✓. $P=1800+1680=3480$ kg.
- Giao $10x+15y=3600$ với $y=200$: $10x=600\Rightarrow x=60$. Kiểm tra $y\ge x/3$: $200\ge 20$ ✓. $P=600+2800=3400$ kg.
- Giao $y=200$ với $y=x/3$: $x=600$, vi phạm $x+y\le 300$, loại.

Vì hàm mục tiêu tuyến tính, giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh $(180;120)$: $P_{\max }=3480$ kg.

Vậy khối lượng hàng lớn nhất công ty có thể gửi đi là $3480$ kg, với 180 thùng size M và 120 thùng size L.

Sản xuất x kg loại I và y kg loại II để lợi nhuận cao nhất. Điều kiện: $x,y\ge 0$.
Dựa vào dữ kiện đề bài ta có hệ sau:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+2y\le 100\\ 2x+y\le 80\end{array}$$
- Lợi nhuận: $L=40x+30y$ (nghìn đồng). [0,25]

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC:

[Hình cần kiểm tra lại: p17_f1]

[0,25]

Thay tọa độ các đỉnh vào hàm lợi nhuận $L=40x+30y$:



(Điểm: 0,25)

Kết quả: Sản xuất 20kg loại I và 40kg loại II. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số bánh chưng và bánh ống gói được ($x,y\ge 0$). Các ràng buộc nguyên liệu:
- Gạo nếp: $0,4x+0,6y\le 20\iff 2x+3y\le 100$.
- Thịt: $0,05x+0,075y\le 2\iff 2x+3y\le 80$.
- Đậu xanh: $0,1x+0,15y\le 5\iff 2x+3y\le 100$.

Vì ràng buộc thịt chặt nhất, miền nghiệm thực chất là tam giác với $2x+3y\le 80$, $x\ge 0$, $y\ge 0$. Hàm mục tiêu $P=5x+7y$.

Trên cạnh $2x+3y=80$: $x=\frac{80-3y}{2}$, nên $P=5\cdot \frac{80-3y}{2}+7y=200-0,5y$, giảm theo $y$, lớn nhất tại $y=0$, tức $x=40$: $P=200$.

Kiểm tra các đỉnh: $(40;0)$ cho $P=200$; $(0;80/3)$ cho $P=350/3\approx 116,7$; $(0;0)$ cho $P=0$. Vậy điểm thưởng cao nhất là 200, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số đơn vị sản phẩm loại $I$ và loại $II$ cần sản xuất. Hàm mục tiêu: $P=3x+5y$ (triệu đồng). Ràng buộc từ số máy của từng nhóm:
- Nhóm $A$: $2x+2y\le 10\iff x+y\le 5$.
- Nhóm $B$: $2y\le 4\iff y\le 2$.
- Nhóm $C$: $2x+4y\le 12\iff x+2y\le 6$.
- $x\ge 0,y\ge 0$.

Miền ràng buộc có các đỉnh: $(0;0)$, $(5;0)$, giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ là $(4;1)$, giao của $x+2y=6$ và $y=2$ là $(2;2)$, $(0;2)$.

Tính $P=3x+5y$ tại các đỉnh:
- $(0;0)$: $P=0$.
- $(5;0)$: $P=15$.
- $(4;1)$: $P=12+5=19$.
- $(2;2)$: $P=6+10=16$.
- $(0;2)$: $P=10$.

Vậy lãi cao nhất là $19$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $4$ đơn vị loại $I$ và $1$ đơn vị loại $II$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (gam) là lượng thịt bò, $y$ (gam) là lượng thịt lợn, với $0\le x\le 1600$, $0\le y\le 1100$. Ràng buộc dinh dưỡng: $0,8x+0,6y\ge 900$ (protein) và $0,2x+0,4y\ge 400$ (lipit). Hàm chi phí (nghìn đồng): $P=0,045x+0,035y$.

Xét các đỉnh của miền ràng buộc:
- Giao của hai đường thẳng: giải $0,8x+0,6y=900$ và $0,2x+0,4y=400$. Nhân phương trình hai với 2: $0,4x+0,8y=800$. Trừ: $0,4x-0,2y=100\Rightarrow y=2x-500$. Thay vào: $0,8x+1,2x-300=900\Rightarrow x=600$, $y=700$. Chi phí: $P=0,045\cdot 600+0,035\cdot 700=27+24,5=51,5$.
- $(1600,200)$ (do lipit: $320+0,4y\ge 400\Rightarrow y\ge 200$): $P=72+7=79$.
- $(300,1100)$ (do protein: $0,8x+660\ge 900\Rightarrow x\ge 300$): $P=13,5+38,5=52$.
- $(1600,0)$ và $(0,1100)$ không thỏa mãn ràng buộc.

Vậy chi phí nhỏ nhất đạt tại $x=600$ gam thịt bò, $y=700$ gam thịt lợn, bằng $51,5$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng gạo loại I, II nhập vào ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $x+y\le 9$ (doanh số) và $20x+30y\le 240\iff 2x+3y\le 24$ (vốn). Lợi nhuận $P=4,5x+5y$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(9;0)$, giao của $x+y=9$ và $2x+3y=24$: trừ hai phương trình ta được $y=6,x=3$, tức $(3;6)$, và $(0;8)$. Tính $P$: tại $(9;0)$: $40,5$; tại $(3;6)$: $13,5+30=43,5$; tại $(0;8)$: $40$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $43,5$ triệu đồng, đạt khi nhập $3$ tấn gạo loại I và $6$ tấn gạo loại II. Kết quả khớp với đáp án nguồn 43,5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng gạo loại I, loại II nhập trong tháng ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $20x+30y\le 240\iff 2x+3y\le 24$; $x+y\le 9$. Lợi nhuận $P=4,5x+5y$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(9;0)$, giao điểm của $2x+3y=24$ và $x+y=9$: giải hệ được $x=3,y=6$; và $(0;8)$. Tính $P$: tại $(9;0)$: $P=40,5$; tại $(3;6)$: $P=4,5\cdot 3+5\cdot 6=13,5+30=43,5$; tại $(0;8)$: $P=40$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $43,5$ triệu đồng khi nhập $3$ tấn gạo loại I và $6$ tấn gạo loại II, khớp với đáp án nguồn 43,5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (kg) là lượng sản phẩm $P,Q$ sản xuất. Ràng buộc: $2x+2y\le 10\Rightarrow x+y\le 5$; $2y\le 4\Rightarrow y\le 2$; $2x+4y\le 12\Rightarrow x+2y\le 6$; $x,y\ge 0$. Lợi nhuận $f=3x+5y$. Các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$, $(5;0)$, giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ là $(4;1)$, $(0;2)$. Tính: $f(5;0)=15$, $f(4;1)=12+5=17$, $f(0;2)=10$. Vậy lợi nhuận cao nhất là $17$ triệu đồng tại $x=4,y=1$ (kiểm tra: nguyên liệu A dùng $10$, B dùng $2\le 4$, C dùng $12$).

a) Chọn $m=18$. Khi đó Mario sẽ nhảy xa được đúng một lần với độ dài $b=14$ (mét). Cần phải di chuyển thêm $18-14=4$ (mét), không đủ cho một lần nhảy với độ dài $a=6$ (mét), nên Mario cần phải nhảy thêm 4 lần, mỗi lần với độ dài 1 mét. Vì vậy Mario phải nhảy đúng 5 lần.
Trong khi đó, có cách khác chỉ sau 3 lần nhảy, mỗi lần với độ dài 6 mét để đến đích với khoảng cách 18 mét, và do đó Mario sẽ thua.

b) Ta gọi một cặp $(a,b)$ là Tốt, nếu Mario luôn thắng với mọi số nguyên dương $m$. Trong trường hợp ngược lại, tức là nếu tồn tại một số nguyên dương $m$ sao cho Mario thua, thì ta nói $(a,b)$ là Không tốt.
Bổ đề. Cặp $(a,b)$ là không tốt khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $n\ge 2$ sao cho
$$(n-1)a<b\le n(a-1).$$
Chứng minh bổ đề.
Điều kiện đủ. Giả sử $(n-1)a<b\le n(a-1)$. Rõ ràng khi đó $a>n$. Cho $m=na$, khi đó Mario sẽ nhảy một lần với độ dài $b$ mét. Khoảng cách còn lại cần phải di chuyển là $na-b\in [n;a)$, nên Mario sẽ phải nhảy thêm ít nhất $n$ lần, mỗi lần 1 mét. Tổng cộng Mario phải nhảy ít nhất $n+1$ lần. Tuy nhiên có cách khác đến đích với $n$ lần nhảy, mỗi lần $a$ mét, do đó Mario sẽ thua.
Điều kiện cần. Giả sử $(a,b)$ là một cặp không tốt, do đó có cách nhảy đến đích với số lần nhảy ít hơn cách của Mario. Gọi số lần nhảy tương ứng $(b,a,1)$ mét của Mario là $(x_1,y_1,z_1)$, $x_1\ge 0$, $y_1\ge 0$, $z_1\ge 0$. Suy ra tồn tại một bộ $(x_2,y_2,z_2)$ khác gồm các số nguyên không âm thỏa mãn
$$\{\begin{array}{l}{x}_{1}b+y_{1}a+z_1=x_{2}b+y_{2}a+z_2\\ x_1+y_1+z_1>x_2+y_2+z_2\\ x_1\ge x_2\end{array}$$
Từ các hệ thức trên suy ra $(x_1-x_2)b+(y_1-y_2)a=z_2-z_1<(x_1-x_2)+(y_1-y_2)$.
Do đó $(y_1-y_2)(1-a)>(x_1-x_2)(b-1)\ge 0$. Vì $a>1$ suy ra $y_1<y_2$.
Ngoài ra không thể xảy ra trường hợp $x_1=x_2$, vì khi đó ta phải có đánh giá $z_1-z_2=(y_2-y_1)a>a$, dẫn tới $z_1>a$: mâu thuẫn với cách chơi của Mario.
Vì vậy ta có hệ thức $(x_1-x_2)b+(z_1-z_2)=(y_2-y_1)a$.
Đặt $t=x_1-x_2\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $u=y_2-y_1\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $v=z_1-z_2\in \mathbb{Z}$. Suy ra $\{\begin{array}{l}tb+v=ua\\ t+v>u\end{array}$
Theo cách nhảy xa của Mario, ta có $v=z_1-z_2\le z_1<a$. Do đó
$$ua-a<ua-v=tb<ua+t-u,$$
dẫn tới $(u-1)a<tb<u(a-1)+t$. Chia cả hai vế cho $t>0$ ta nhận được
$$\frac{u-1}{t}a<b<\frac{u}{t}(a-1)+1.$$
Đặt $\lfloor \frac{u}{t}\rfloor =n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, suy ra $(n-1)<\frac{u-1}{t}$ và $\frac{u}{t}\le n$. Do $b$ là số nguyên dương, ta suy ra $(n-1)a<b\le n(a-1)$. Do $n\ge \frac{b}{a-1}>1$ nên $n\ge 2$. Bổ đề được chứng minh.
Bây giờ, với mỗi $b\ge 3$ cố định, ta đếm số cặp $(a,b)$ tốt. Từ Bổ đề trên ta thấy rằng $(a,b)$ là không tốt khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $n\ge 2$ sao cho $\frac{b}{n}+1\le a<\frac{b}{n-1}$.
Vì $(n-1)a<n(a-1)$ suy ra $n<a$. Từ đó với $(a,b)$ là không tốt, phải có $n(n-1)<b$.
Gọi $l$ là số nguyên dương sao cho $l(l-1)<b\le l(l+1)$. Khi đó $2\le n\le l$. Vậy cặp $(a,b)$ là không tốt khi và chỉ khi $2\le a<b$ và $a\in S$, ở đó tập $S$ là hợp của $(l-1)$ khoảng đôi một không giao nhau sau đây:
$$S=\left[\frac{b}{l}+1;\frac{b}{l-1}\right)\cup \left[\frac{b}{l-1}+1;\frac{b}{l-2}\right)\cup \cdots \cup \left[\frac{b}{3}+1;\frac{b}{2}\right)\cup \left[\frac{b}{2}+1;b\right),$$
Do đó cặp $(a,b)$ là tốt khi và chỉ khi $1<a<b$ và $a\notin S$. Dễ thấy với mọi $k$, $3\le k\le l$, có duy nhất một số nguyên dương $a=\lfloor \frac{b}{k-1}\rfloor$ nằm giữa hai khoảng liên tiếp $\left[\frac{b}{k-1}+1;\frac{b}{k-2}\right)$, $\left[\frac{b}{k}+1;\frac{b}{k-1}\right)$ và không thuộc hai khoảng này.
Tổng cộng có $(l-2)$ số $a$ như vậy. Ngoài ra, có $\lfloor \frac{b}{l}\rfloor -1$ số $a$ thỏa mãn $1<a<\frac{b}{l}+1$. Với một số $b\le 100$ cố định, có $\lfloor \frac{b}{l}\rfloor -1+(l-2)=\lfloor \frac{b}{l}\rfloor +(l-3)=:K(b)$ cặp $(a,b)$ tốt.
Nhận thấy $K(b)=\{\begin{array}{ll}l+l-3=2l-3,& l(l-1)<b\le l^2\\ l+1+l-3=2l-2,& l^2<b\le l(l+1)\end{array}$. Suy ra $K(b)=\lceil 2\sqrt{b}\rceil -3$.
Do đó số cặp tốt với $1<a<b\le 100$ là $T={\sum }_{b=3}^{100}\left(\lceil 2\sqrt{b}\rceil -3\right)$.
Nhận xét rằng với $91\le b\le 100$, $\lceil 2\sqrt{b}\rceil =20$. Do đó
$$T=(20-3)\cdot 10+\sum _{b=3}^{90}\left(\lceil 2\sqrt{b}\rceil -3\right).$$
Đặt $\lceil 2\sqrt{b}\rceil =c$, suy ra $4\le c\le 19$. Với mỗi số $c$ cố định, ta có $\lceil 2\sqrt{b}\rceil =c$ tương đương với $c-1<2\sqrt{b}\le c\iff \frac{(c-1{)}^2}{4}<b\le \frac{c^2}{4}$. (*)
Bằng cách xét tính chẵn lẻ của $c$, ta thấy có tất cả $\lfloor \frac{c}{2}\rfloor$ số $b$ thỏa mãn (*) với mỗi số $c$ cố định. Vì vậy, nếu đặt $d=\lfloor \frac{c}{2}\rfloor$, ta có
$$T=170+\sum _{c=4}^{19}(c-3)\lfloor \frac{c}{2}\rfloor =170+\sum _{d=2}^9(2d-3)d+\sum _{d=2}^9(2d-2)d$$
$$=170+\sum _{d=2}^9(4d-5)d=170+4\sum _{d=2}^9{d}^2-5\sum _{d=2}^{9}d=170+4\sum _{d=1}^9{d}^2-5\sum _{d=1}^{9}d-4+5$$
$$=171+4\cdot \frac{9\cdot 10\cdot 19}{6}-5\cdot \frac{9\cdot 10}{2}=171+1140-225=1086.$$
Đáp số: 1086 cặp.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (đơn vị $100m^2$) lần lượt là diện tích trồng dưa vàng và nho, $x,y\ge 0$, $x+y=10$. Ràng buộc công: $30x+40y\le 360\iff 3x+4y\le 36$. Số tiền thu (triệu đồng): $P=8,5x+9,1y$. Vì hệ số của $y$ lớn hơn, ta ưu tiên trồng nho: từ $x+y=10$ và $3x+4y=36$ suy ra $y=6,x=4$ (thỏa mãn). Khi đó $P=8,5\cdot 4+9,1\cdot 6=34+54,6=88,6$ triệu đồng. Kiểm tra các đỉnh khác: $(10;0)$ cho $85$; $(0;9)$ cho $81,9$ (vì $y\le 9$ do $4y\le 36$). Vậy giá trị lớn nhất là $88,6$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm $I$ và $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: Chiến làm $3x+2y\le 180$ giờ, Bình làm $x+6y\le 220$ giờ. Hàm lãi: $f=500x+400y$ (nghìn đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$: $f=0$; $(60;0)$: $f=30000$; giao điểm hai đường thẳng: giải $3x+2y=180$, $x+6y=220$ ta được $x=40$, $y=30$, khi đó $f=500\cdot 40+400\cdot 30=20000+12000=32000$ nghìn đồng; $(0;\frac{110}{3})$: $f\approx 14667$ nghìn đồng. Vậy lãi lớn nhất là $32000$ nghìn đồng $=32$ triệu đồng, đạt khi sản xuất 40 sản phẩm $I$ và 30 sản phẩm $II$.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $x+y\le 8$, $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$, $x,y\ge 0$. Lợi nhuận $P=40x+50y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$: $P=0$; $(8;0)$: $P=320$; $(0;6)$: $P=300$; giao điểm $x+y=8$ và $2x+3y=18$ suy ra $x=6,y=2$: $P=40\cdot 6+50\cdot 2=340$ (lớn nhất). Vậy $x=6,y=2$ và $25x+3y=150+6=156$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng ngô, $y$ (ha) là diện tích trồng đậu xanh ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $x+y\le 8$ (diện tích) và $20x+30y\le 180$ (ngày công). Lãi cần lớn nhất: $P=40x+50y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$: $P=0$; $(8;0)$: $P=320$; $(0;6)$: $P=300$; giao của $x+y=8$ và $20x+30y=180$: thay $y=8-x$ ta được $20x+30(8-x)=180\Rightarrow -10x=-60\Rightarrow x=6,y=2$, khi đó $P=40\cdot 6+50\cdot 2=340$. Vậy lãi lớn nhất là $340$ triệu đồng (trồng 6 ha ngô, 2 ha đậu xanh), khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng ngô, $y$ (ha) là diện tích trồng đậu xanh ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $x+y\le 8$ (diện tích) và $20x+30y\le 180$ tức $2x+3y\le 18$ (ngày công). Hàm lợi nhuận: $P=40x+50y$ (triệu đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: giao của $x+y=8$ và $2x+3y=18$ cho $x=6,y=2$ với $P=40\cdot 6+50\cdot 2=340$; đỉnh $(0,6)$ cho $P=300$; đỉnh $(8,0)$ cho $P=320$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $340$ triệu đồng, đạt khi trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh. Kết quả trùng với đáp án nguồn (340).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số gói thực phẩm loại $X$ và $Y$ dùng mỗi ngày ($0\le x,y\le 12$, $x,y\in \mathbb{Z}$). Ràng buộc:
- Canxi: $20x+20y\ge 240\iff x+y\ge 12$;
- Sắt: $20x+10y\ge 160\iff 2x+y\ge 16$;
- Vitamin B: $10x+20y\ge 140\iff x+2y\ge 14$.

Chi phí: $P=20x+25y$ (nghìn đồng), cần nhỏ nhất.

Xét các đỉnh của miền ràng buộc:
- Giao $x+y=12$ và $x+2y=14$: $y=2,x=10$. Kiểm tra $2x+y=22\ge 16$ ✓. Chi phí $P=200+50=250$.
- Giao $x+y=12$ và $2x+y=16$: $x=4,y=8$. Kiểm tra $x+2y=20\ge 14$ ✓. Chi phí $P=80+200=280$.
- Giao $2x+y=16$ và $x+2y=14$: $x=6,y=4$, nhưng $x+y=10<12$ ✗ (loại).
- Điểm $(12,1)$: thỏa mọi ràng buộc ($x+2y=14$), chi phí $P=240+25=265$.

Vậy chi phí nhỏ nhất $250$ nghìn đồng tại $x=10,y=2$. Tổng số gói là $x+y=10+2=12$ (khớp đáp án nguồn: 12).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng sản phẩm I và II sản xuất. Ràng buộc: $2x+2y\le 10\Rightarrow x+y\le 5$; $2y\le 4\Rightarrow y\le 2$; $2x+4y\le 12\Rightarrow x+2y\le 6$; $x,y\ge 0$. Hàm lợi nhuận $P=3x+5y$ (triệu đồng). Các đỉnh miền ràng buộc: $(0,0),(5,0),(4,1),(2,2),(0,2)$, trong đó $(4,1)$ là giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$; $(2,2)$ là giao của $y=2$ và $x+2y=6$. Tính $P$: tại $(5,0)$: $15$; tại $(4,1)$: $17$; tại $(2,2)$: $16$; tại $(0,2)$: $10$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $17$ triệu đồng tại $x=4,y=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (đơn vị: $100m^2$) lần lượt là diện tích trồng hoa thược dược và hoa cẩm tú cầu ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: tổng diện tích $x+y\le 50$ (vì đất $5000m^2=50\times 100m^2$); tổng giờ công $3,2x+4,8y\le 24\times 8=192$. Hàm mục tiêu: $T=300x+400y$ (nghìn đồng). Xét hiệu suất trên mỗi giờ công: hoa thược dược cho $\frac{300}{3,2}=93,75$ nghìn đồng/giờ công; hoa cẩm tú cầu cho $\frac{400}{4,8}\approx 83,33$ nghìn đồng/giờ công. Vì hoa thược dược có hiệu suất cao hơn, nên ưu tiên trồng hoa thược dược. Với $y=0$: từ $x\le 50$ và $3,2x\le 192\Rightarrow x\le 60$, chọn $x=50$. Khi đó $T=300\times 50=15000$ nghìn đồng $=15$ triệu đồng (sử dụng $50\times 3,2=160$ giờ công $=20$ ngày công $\le 24$ ngày công, thỏa mãn). Vậy số tiền nhiều nhất bác Minh thu được là $15$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $20x+10y\ge 120\iff 2x+y\ge 12$; $0,6x+1,5y\ge 9\iff 2x+5y\ge 30$; $0\le x\le 10$, $0\le y\le 9$. Chi phí $C=4x+3y$. Giao hai đường thẳng $2x+y=12$ và $2x+5y=30$: trừ hai phương trình được $4y=18\Rightarrow y=4,5$, $x=3,75$ (thỏa mọi ràng buộc). Các đỉnh khác của miền ràng buộc: $(10;2)$ cho $C=46$; $(3,75;4,5)$ cho $C=4\cdot 3,75+3\cdot 4,5=15+13,5=28,5$ (triệu đồng) là nhỏ nhất. Vậy $x+y=3,75+4,5=8,25$.