Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chuyên đề: quy hoạch/tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (kg) lần lượt là lượng thịt bò và thịt lợn cần mua ($x,y\ge 0$, $x\le 1,6$, $y\le 1,1$).

Ràng buộc dinh dưỡng (đổi gam ra kg):
- Protein: $0,8x+0,6y\ge 0,9$
- Lipit: $0,2x+0,4y\ge 0,4$

Hàm chi phí: $P=450000x+350000y$ (đồng), cần tìm $\min P$.

Miền ràng buộc là đa giác với các đỉnh (tính bằng kg):
- Giao hai đường thẳng $0,8x+0,6y=0,9$ và $0,2x+0,4y=0,4$: nhân phương trình thứ hai với 2 rồi trừ, được $0,4x-0,2y=0,1\Rightarrow y=2x-0,5$; thay vào: $0,8x+0,6(2x-0,5)=0,9\Rightarrow 2x=1,2\Rightarrow x=0,6$, $y=0,7$. Đỉnh $A(0,6;0,7)$.
- Trên đường lipit với $x=1,6$: $0,32+0,4y=0,4\Rightarrow y=0,2$. Đỉnh $B(1,6;0,2)$.
- Trên đường protein với $y=1,1$: $0,8x+0,66=0,9\Rightarrow x=0,3$. Đỉnh $C(0,3;1,1)$.

Tính $P$ tại các đỉnh:
- $P(A)=450000\cdot 0,6+350000\cdot 0,7=270000+245000=515000$ đồng.
- $P(B)=450000\cdot 1,6+350000\cdot 0,2=720000+70000=790000$ đồng.
- $P(C)=450000\cdot 0,3+350000\cdot 1,1=135000+385000=520000$ đồng.

Vậy chi phí nhỏ nhất là $515000$ đồng, đạt được khi gia đình mua $0,6$ kg thịt bò (600 g) và $0,7$ kg thịt lợn (700 g). Kiểm tra: protein $=0,8\cdot 600+0,6\cdot 700=480+420=900$ g (đủ), lipit $=0,2\cdot 600+0,4\cdot 700=120+280=400$ g (đủ).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số bánh nướng, $y$ là số bánh dẻo ($x,y\in \mathbb{N}$). Ràng buộc: $120x+160y\le 600000\iff 3x+4y\le 15000$; $60x+40y\le 240000\iff 3x+2y\le 12000$; $y\le 3x$; $x,y\ge 0$. Lợi nhuận $P=8000x+6000y$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(4000;0)$, giao của $3x+4y=15000$ và $3x+2y=12000$: trừ hai phương trình được $2y=3000\Rightarrow y=1500$, $x=3000$; giao của $y=3x$ với $3x+4y=15000$: $15x=15000\Rightarrow (1000;3000)$. Tính $P$: tại $(4000;0)$: $P=32000000$; tại $(3000;1500)$: $P=24000000+9000000=33000000$; tại $(1000;3000)$: $P=8000000+18000000=26000000$. Vậy lợi nhuận lớn nhất tại $m=3000$, $n=1500$ (thỏa mãn nguyên). Do đó $\frac{m+n}{6}=\frac{4500}{6}=750$.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $a+4b\le 24$ (hương liệu), $a+b\le 9$ (nước), $30a+10b\le 210\iff 3a+b\le 21$ (đường), $a,b\ge 0$. Cần max $F=60a+80b$. Các đỉnh: giao $a+4b=24$ và $a+b=9$ cho $(4;5)$, $F=640$; giao $a+b=9$ và $3a+b=21$ cho $(6;3)$, $F=600$; $(0;6)$, $F=480$; $(7;0)$, $F=420$. Max tại $(a;b)=(4;5)$ nên $a-b=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $m,n$ (kg) là lượng thịt bò, thịt lợn. Ràng buộc: $0\le m\le 1,6$, $0\le n\le 1,1$; protein: $800m+600n\ge 900\iff 4m+3n\ge 4,5$; lipit: $200m+400n\ge 400\iff m+2n\ge 2$. Chi phí $F=200000m+160000n$ (đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: giao của $4m+3n=4,5$ và $m+2n=2$: thay $m=2-2n$ được $8-8n+3n=4,5\Rightarrow n=0,7$, $m=0,6$ (thỏa mọi ràng buộc), $F=200000(0,6)+160000(0,7)=232000$ đồng. Đỉnh khác: $m=1,6,n=0,2$ cho $F=352000$; $m=1,125,n=0$ không đủ lipit; $m=0$ không đủ protein. Vậy chi phí nhỏ nhất tại $m=0,6$, $n=0,7$, nên $m+n=1,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (kg) lần lượt là lượng sản phẩm P và Q cần sản xuất, $x\ge 0,y\ge 0$. Từ bảng số liệu (nguyên liệu A: tổng 10 kg, cần 2 kg cho 1 kg P và 2 kg cho 1 kg Q; nguyên liệu B: tổng 4 kg, cần 0 kg cho P và 2 kg cho Q; nguyên liệu C: tổng 12 kg, cần 2 kg cho P và 4 kg cho Q), ta có hệ ràng buộc:
$$2x+2y\le 10\iff x+y\le 5$$
$$2y\le 4\iff y\le 2$$
$$2x+4y\le 12\iff x+2y\le 6$$
Hàm lợi nhuận: $f(x,y)=3x+5y$ (triệu đồng).

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $O(0;0)$, $A(5;0)$, $B(4;1)$ — giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ (trừ hai phương trình được $y=1$, suy ra $x=4$), và $C(0;2)$.

Tính $f$ tại các đỉnh:
- $f(0;0)=0$
- $f(5;0)=15$
- $f(4;1)=3\cdot 4+5\cdot 1=17$
- $f(0;2)=10$

Vậy lợi nhuận lớn nhất là $17$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $4$ kg sản phẩm P và $1$ kg sản phẩm Q. Kiểm tra lại ràng buộc: nguyên liệu A dùng $2\cdot 4+2\cdot 1=10\le 10$; nguyên liệu B dùng $2\cdot 1=2\le 4$; nguyên liệu C dùng $2\cdot 4+4\cdot 1=12\le 12$ — đều thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (kg thịt bò), $y$ (kg thịt lợn), $0\le x\le 1,5$, $0\le y\le 1$. Ràng buộc dinh dưỡng: $800x+600y\ge 900\iff 8x+6y\ge 9$ và $200x+400y\ge 400\iff x+2y\ge 2$. Hàm mục tiêu: $P=200x+100y$ (nghìn đồng), cần nhỏ nhất.

Miền ràng buộc có các đỉnh:
- Giao hai đường thẳng: $8x+6y=9$, $x+2y=2$. Thay $x=2-2y$: $16-16y+6y=9\Rightarrow y=0,7$, $x=0,6$. Điểm $(0,6;0,7)$, $P=120+70=190$.
- Với $x=1,5$: từ $x+2y\ge 2$ được $y\ge 0,25$; đỉnh $(1,5;0,25)$, $P=300+25=325$.
- Với $y=1$: từ $8x+6\ge 9$ được $x\ge 0,375$; đỉnh $(0,375;1)$, $P=75+100=175$.

So sánh: $P$ nhỏ nhất bằng $175$ nghìn đồng tại $x=0,375$ kg, $y=1$ kg (kiểm tra: protein $=800\cdot 0,375+600=900$ ✓, lipit $=75+400=475\ge 400$ ✓).

Vậy gia đình nên mua $0,375$ kg thịt bò và $1$ kg thịt lợn, số tiền ít nhất là $175$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoại trội cần sản xuất. Ràng buộc: $2x+y\le 6$ (nguyên liệu A), $x+2y\le 8$ (nguyên liệu B), $0\le x\le 2$, $x\le y+1$, $x,y\ge 0$. Doanh thu $F(x,y)=60x+30y$ (triệu đồng).

b) Đúng: $x,y$ là số tấn sơn sản xuất nên $x\ge 0,y\ge 0$.

d) Đúng: sơn nội thất 60 triệu/tấn, sơn ngoại trội 30 triệu/tấn nên $F(x,y)=60x+30y$ (triệu đồng).

c) Sai: miền ràng buộc có các đỉnh $(0;0),(2;0),(2;2),\left(\frac{4}{3};\frac{10}{3}\right),(0;4)$. Lưu ý trên đường $x=2$, điều kiện $2x+y\le 6$ cho $y\le 2$ nên điểm $(2;3)$ không khả thi. Tính $F$: $F(2;2)=180$, $F\left(\frac{4}{3};\frac{10}{3}\right)=180$, $F(0;4)=120$, $F(2;0)=120$. Vậy doanh thu lớn nhất là $180$ triệu đồng, không phải $200$ triệu đồng → sai.

a) Đúng: thêm điều kiện $x+y\le 4,5$. Xét các đỉnh của miền mới: giao $x+y=4,5$ với $2x+y=6$ cho $(1,5;3)$, $F=180$; giao $x+y=4,5$ với $x+2y=8$ cho $(1;3,5)$, $F=165$; đỉnh $(2;2)$, $F=180$; $(0;4)$, $F=120$. Doanh thu lớn nhất $180$ triệu đồng đạt tại $(2;2)$ và $(1,5;3)$; trong các phương án tối ưu, lượng sơn nội thất nhỏ nhất là $1,5$ tấn → đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 2: Đ Đ S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Thêm điều kiện $x+y\le 4,5$: các đỉnh mới gồm $(1,5;3)$ (giao với $2x+y=6$) và $(2;2)$ đều cho $F=180$ triệu đồng; điểm $(1;3,5)$ cho $F=165$. Vậy trong các phương án tối ưu, $x$ nhỏ nhất là $1,5$ tấn → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$x,y$ là số tấn sơn sản xuất nên $x\ge 0,y\ge 0$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Miền ràng buộc có các đỉnh $(0;0),(2;0),(2;2),\left(\frac{4}{3};\frac{10}{3}\right),(0;4)$ (trên $x=2$ thì $2x+y\le 6$ cho $y\le 2$ nên $(2;3)$ không khả thi). $F(2;2)=180$, $F\left(\frac{4}{3};\frac{10}{3}\right)=180$, $F(0;4)=120$, $F(2;0)=120$. Doanh thu lớn nhất là $180$ triệu đồng, không phải $200$ triệu đồng → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$F(x,y)=60x+30y$ (triệu đồng) → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng gỗ keo và gỗ bạch đàn mua mỗi tháng ($0\le x\le 9$, $0\le y\le 10$). Ràng buộc: $200x+300y\ge 2800\iff 2x+3y\ge 28$ và $300x+150y\ge 2400\iff 2x+y\ge 16$. Hàm mục tiêu $f=1,2x+1,5y$. Xét các đỉnh miền ràng buộc: giao của $2x+3y=28$ và $2x+y=16$ cho $y=6,x=5$ (thỏa mãn giới hạn), $f=1,2\cdot 5+1,5\cdot 6=15$. Tại $x=9$: $y\ge 10/3$, $f\ge 10,8+5=15,8$. Tại $y=10$: $2x\ge 16-...$ với $2x+3\cdot 10\ge 28$ luôn đúng và $2x\ge -14$; nhưng cần $2x+y\ge 16\Rightarrow x\ge 3$, $f=1,2\cdot 3+15=18,6$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $15$ triệu đồng (tại $x=5$ tấn gỗ keo, $y=6$ tấn gỗ bạch đàn), khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (nghìn vé) lần lượt là số vé giá 400 000 đồng và 200 000 đồng phát hành. Ràng buộc: $x\le y$; tổng số vé không quá $30\%$ của $40000=12000$ vé, tức $x+y\le 12000$; số tiền thu được $P=0,4x+0,2y$ (triệu đồng, vì 400 000 đồng $=0,4$ triệu đồng) phải không nhỏ hơn $3000$ triệu đồng. Vì $P=0,4x+0,2y=0,2(x+y)+0,2x\le 0,2\cdot 12000+0,2x$ và $x\le y\Rightarrow x\le 6000$, nên $P\le 2400+0,2\cdot 6000=3600$ triệu đồng. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=6000$ (thỏa mọi ràng buộc, $P=3600$ triệu $=3,6$ tỉ $\ge 3$ tỉ). Vậy số tiền lớn nhất thu được là $3600$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số tạ xúc xích bò và xúc xích heo sản xuất trong một ngày ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: dây chuyền $D_1$: $x+y\le 7$; dây chuyền $D_2$: $2x+y\le 10$. Hàm mục tiêu: $P=3,2x+2,5y$ (triệu đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(5;0)$, $(3;4)$, $(0;7)$. Tính $P$: tại $(0;0)$: $P=0$; tại $(5;0)$: $P=16$; tại $(3;4)$: $P=9,6+10=19,6$; tại $(0;7)$: $P=17,5$. Vậy tiền lãi lớn nhất là $19,6$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $3$ tạ xúc xích bò và $4$ tạ xúc xích heo mỗi ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số tấn cà phê và ca cao sản xuất trong một ngày ($x,y\ge 0$). Ràng buộc thời gian: máy $M_1$: $3x+y\le 9$; máy $M_2$: $x+y\le 5$. Tiền lãi: $P=2,5x+1,4y$ (triệu đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(3;0)$, $(2;3)$, $(0;5)$. Tính $P$: tại $(0;0)$: $P=0$; tại $(3;0)$: $P=7,5$; tại $(2;3)$: $P=5+4,2=9,2$; tại $(0;5)$: $P=7$. Vậy tiền lãi lớn nhất là $9,2$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $2$ tấn cà phê và $3$ tấn ca cao (kiểm tra: $M_1$: $6+3=9\le 9$; $M_2$: $2+3=5\le 5$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số lô ván ép và số lô ván ghép sản xuất trong một ngày ($x,y\ge 0$). Điều kiện về thời gian máy: $2x+y\le 10$ (máy $M_1$) và $x+3y\le 15$ (máy $M_2$). Hàm mục tiêu: $P=2,5x+2,1y$ (triệu đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(5;0)$, $B(3;4)$, $C(0;5)$, trong đó $B$ là giao điểm của $2x+y=10$ và $x+3y=15$: từ $y=10-2x$ thay vào $x+3(10-2x)=15\Rightarrow x=3,y=4$. Tính $P$ tại các đỉnh: $P(O)=0$; $P(A)=2,5\cdot 5=12,5$; $P(B)=2,5\cdot 3+2,1\cdot 4=7,5+8,4=15,9$; $P(C)=2,1\cdot 5=10,5$. Vậy số tiền lãi lớn nhất là $15,9$ triệu đồng, đạt khi sản xuất 3 lô ván ép và 4 lô ván ghép.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số lô áo khoác và số lô áo sơ mi sản xuất trong một ngày ($x,y\ge 0$, có thể coi $x,y$ nguyên vì sản xuất theo lô). Ràng buộc thời gian: máy $M_1$: $2x+y\le 6$; máy $M_2$: $x+y\le 4$. Hàm lợi nhuận: $P=1,9x+1,2y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(3;0)$, giao điểm của $2x+y=6$ và $x+y=4$ là $(2;2)$, và $(0;4)$. Tính $P$: tại $(3;0)$: $P=5,7$; tại $(2;2)$: $P=3,8+2,4=6,2$; tại $(0;4)$: $P=4,8$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $6,2$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $2$ lô áo khoác và $2$ lô áo sơ mi (máy $M_1$ làm việc $2\cdot 2+2=6$ giờ, máy $M_2$ làm việc $2+2=4$ giờ, đều thỏa mãn).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y,z$ (triệu đồng) lần lượt là số tiền đầu tư vào trái phiếu Chính phủ, ngân hàng, doanh nghiệp. Điều kiện: $x+y+z=2000$, $x\ge 2y\ge 0$, $0\le z\le 400$. Lợi nhuận sau một năm: $P=0,05x+0,07y+0,09z$. Vì $x=2000-y-z$ nên $P=0,05(2000-y-z)+0,07y+0,09z=100+(0,07-0,05)y+(0,09-0,05)z=100+0,02y+0,04z$. Hàm $P$ tăng theo cả $y$ và $z$, nên lấy $z=400$ (giá trị lớn nhất cho phép). Khi đó $x+y=1600$ với $x\ge 2y\Rightarrow 3y\ge x+y=1600\Rightarrow y\le \frac{1600}{3}$. Vì hệ số của $y$ dương, lấy $y=\frac{1600}{3}$, suy ra $x=\frac{3200}{3}$. Kiểm tra: $x=\frac{3200}{3}\approx 1066,67=2y$ (thỏa dấu bằng). Lợi nhuận lớn nhất: $P=0,05\cdot \frac{3200}{3}+0,07\cdot \frac{1600}{3}+0,09\cdot 400=\frac{160}{3}+\frac{112}{3}+36=\frac{380}{3}\approx 126,67$ triệu đồng. Kết luận: Bác An nên đầu tư $\frac{3200}{3}$ triệu $\approx 1$ tỷ $66$ triệu $667$ nghìn đồng vào trái phiếu Chính phủ, $\frac{1600}{3}$ triệu $\approx 533$ triệu $333$ nghìn đồng vào trái phiếu ngân hàng, và $400$ triệu đồng vào trái phiếu doanh nghiệp; lợi nhuận lớn nhất sau một năm là $\frac{380}{3}\approx 126,67$ triệu đồng.

Hệ bất phương trình ràng buộc là $\{\begin{array}{l}2x+1,5y\le 880\\ 20x+5y\le 5600\iff 4x+y\le 1120\\ x\le y\le 2x,x\ge 0,y\ge 0\end{array}$. Hàm tiền lãi $F(x,y)=350x+100y$ đạt giá trị lớn nhất tại giao điểm của $2x+1,5y=880$ và $4x+y=1120$, tức là $(x;y)=(200;320)$ với $F(200;320)=102000$ nghìn đồng. Khi đó $T=2\cdot 200+3\cdot 320=1360$.

Hệ bất phương trình ràng buộc là $\{\begin{array}{l}2x+1,5y\le 920\\ 20x+5y\le 6400\iff 4x+y\le 1280\\ x\le y\le 2x,x\ge 0,y\ge 0\end{array}$. Hàm mục tiêu $F(x,y)=350x+100y$ đạt giá trị lớn nhất tại giao điểm của $2x+1,5y=920$ và $4x+y=1280$, tức là $(x;y)=(250;280)$ với $F(250;280)=115500$ nghìn đồng. Khi đó $T=2\cdot 250+3\cdot 280=1340$.

Gọi $x,y$ ($x,y\ge 0$) lần lượt là số bức tranh và số tấm thiệp làm trong tuần. Hệ bất phương trình ràng buộc là $\{\begin{array}{l}2x+0,75y\le 15\\ x+y\le 10\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$.
Hàm lợi nhuận (nghìn đồng) $F(x,y)=25x+15y$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $(x;y)=(6;4)$ với $F(6,4)=25\cdot 6+15\cdot 4=210$ (nghìn đồng).

Gọi $x,y\ge 0$ lần lượt là diện tích trồng bắp và cà chua (đơn vị: ha). Ta có hệ ràng buộc:
$\{\begin{array}{l}x\ge 0,y\ge 0\\ x+y\le 6\\ 10x+20y\le 100\end{array}$
Hàm doanh thu $F(x,y)=30x+50y$ (triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất trên miền đa giác có các đỉnh $(0;0),(6;0),(0;5),(2;4)$ tại đỉnh $C(2;4)$ với $F(2,4)=30\cdot 2+50\cdot 4=260$ (triệu đồng).

Gọi $x,y$ lần lượt là số nhân viên ca I và ca II. Ta có hệ ràng buộc $\{\begin{array}{l}0<x\le 9\\ y\ge 2\\ x+y\ge 10\\ x\ge 1,5y\end{array}$ và hàm chi phí mỗi ngày $T(x;y)=8\cdot 32x+8\cdot 30y=256x+240y$ (nghìn đồng). Miền nghiệm là tứ giác có các đỉnh $(6;4),(8;2),(9;2),(9;6)$, tại đó giá trị nhỏ nhất là $T(6;4)=256\cdot 6+240\cdot 4=2496$ (nghìn đồng).

Gọi $x,y\in \mathbb{N}$ lần lượt là số xe loại $X$ và loại $Y$. Ta có hệ ràng buộc $\{\begin{array}{l}12x+2y\ge 23\\ 6x+20y\ge 59\\ 18x+22y\le 139\end{array}$. Xét các nghiệm nguyên không âm thỏa mãn hệ, chi phí $T=37x+45y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $(x;y)=(2;3)$ với $T=37\cdot 2+45\cdot 3=209$ (triệu đồng). Vậy $10T=2090$.