Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chuyên đề: quy hoạch/tối ưu (Toán học Lớp 12)

Một công ty $A$ chuyên sản xuất giấy đã nhận được một đơn đặt hàng theo tháng từ đối tác $B$, mỗi tháng công ty $A$ phải cung cấp cho đối tác $B$ ít nhất $2800\text{ kg}$ giấy in và $2400\text{ kg}$ giấy carton. Công ty $A$ sử dụng hai loại nguyên liệu là gỗ keo và gỗ bạch đàn. Từ một tấn gỗ keo sản xuất ra được $200\text{ kg}$ giấy in và $300\text{ kg}$ giấy carton; từ một tấn gỗ bạch đàn sản xuất ra được $300\text{ kg}$ giấy in và $150\text{ kg}$ giấy carton. Một tấn gỗ keo có giá là $1,2$ triệu đồng và một tấn gỗ bạch đàn có giá là $1,5$ triệu đồng. Biết mỗi tháng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ cung cấp không quá $9$ tấn gỗ keo và không quá $10$ tấn gỗ bạch đàn. Số tiền nhỏ nhất mà công ty $A$ cần dùng mỗi tháng để mua nguyên liệu là bao nhiêu triệu đồng?

Một trang trại quy hoạch trồng bưởi da xanh và cam sành trên tổng diện tích tối đa là $9\text{ ha}$. Để trồng $1\text{ ha}$ bưởi da xanh cần $30$ công lao động và $20$ triệu đồng tiền vốn. Để trồng $1\text{ ha}$ cam sành cần $10$ công lao động và $60$ triệu đồng tiền vốn. Trang trại hiện có tối đa $210$ công lao động và nguồn vốn đầu tư không vượt quá $420$ triệu đồng. Lợi nhuận thu được ước tính là $50$ triệu/ha bưởi da xanh và $40$ triệu/ha cam sành. Hãy xác định mức lợi nhuận tối đa có thể đạt được (đơn vị triệu đồng).

Một doanh nghiệp phân bổ ngân sách quảng cáo trên Facebook và Google với tổng số tiền không vượt quá $80$ triệu. Chi phí cho Facebook nằm trong khoảng từ $20$ đến $50$ triệu. Chi phí cho Google tối thiểu là $15$ triệu. Số tiền chi cho chạy quảng cáo trên Google không được vượt quá chi phí chi cho quảng cáo trên Facebook. Biết rằng số khách tiếp cận là $4$ nghìn khách cho mỗi triệu tiền chi quảng cáo trên Facebook và $6$ nghìn khách cho mỗi triệu quảng cáo trên Google. Hỏi lượng khách tiếp cận lớn nhất là bao nhiêu nghìn?

Một xưởng sơn dự định sản xuất hai loại sơn là sơn nội thất và sơn ngoài trời. Nguyên liệu để sản xuất gồm hai loại A và B với trữ lượng lần lượt là $6$ tấn và $8$ tấn. Để sản xuất một tấn sơn nội thất cần $2$ tấn nguyên liệu A và $1$ tấn nguyên liệu B. Để sản xuất một tấn sơn ngoài trời cần $1$ tấn nguyên liệu A và $2$ tấn nguyên liệu B. Kết quả nghiên cứu thị trường cho thấy nhu cầu sơn nội thất không quá $2$ tấn và không nhiều hơn nhu cầu sơn ngoài trời $1$ tấn. Giá bán một tấn sơn nội thất là $60$ triệu đồng, một tấn sơn ngoài trời là $30$ triệu đồng (giả sử rằng số sơn sản xuất ra đều được bán hết).

Công ty chứng khoán VNStock cần xử lý 18000 lệnh giao dịch trong một ngày làm việc (8 giờ). Hệ thống gồm các máy chủ xử lý với thông số như sau:
- Năng suất: 250 lệnh/giờ/máy.
- Chi phí triển khai: 15 triệu đồng/máy (cài đặt ban đầu).
- Chi phí vận hành: Điện + bảo trì: 120000 đồng/giờ/máy.
- Chi phí nhân viên giám sát: 8 triệu đồng/giờ (trả theo giờ làm việc thực tế).
Tìm chi phí thấp nhất mà công ty phải bỏ ra để thực hiện số lượng giao dịch nói trên (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).

Một cơ sở sản xuất lụa dệt thủ công hai loại lụa gấm và lụa tơ tằm. Công suất tối đa một ngày của cả xưởng là 100 m lụa, biết rằng tiền nguyên liệu cho một mét lụa gấm là 20 nghìn đồng và cần hai công thợ để dệt xong, còn đối với lụa tơ tằm thì cần 10 nghìn đồng tiền nguyên liệu và một công thợ. Vốn của xưởng một ngày là không quá 6 triệu đồng và một công thợ là 40 nghìn đồng. Giá bán lẻ một mét lụa gấm và tơ tằm lần lượt là 150 nghìn đồng/mét và 80 nghìn đồng/mét. Vậy chủ cơ sở cần sản xuất một ngày $x$ mét lụa gấm và $y$ mét lụa tơ tằm để thu lãi nhiều nhất (Giả sử mỗi ngày đều bán hết). Tính giá trị của biểu thức $x+3y$.

Tín chỉ carbon là một đơn vị thương mại đại diện cho quyền phát thải khí nhà kính, trong đó mỗi tín chỉ được tính toán định lượng tương đương với một tấn CO2 (hoặc khí nhà kính khác quy đổi tương đương) đã được cắt giảm hoặc loại bỏ khỏi khí quyển. Về bản chất toán học, đây là một hệ thống kế toán sinh thái dựa trên nguyên tắc cân bằng: các tổ chức phát thải vượt hạn ngạch phải mua lại tín chỉ từ những dự án có chỉ số phát thải âm để triệt tiêu phần chênh lệch. Việc định giá và giao dịch các tín chỉ này tạo ra một cơ chế tài chính minh bạch, biến các nỗ lực bảo vệ môi trường thành tài sản số có giá trị kinh tế bền vững.
Một doanh nghiệp cần đầu tư mua tín chỉ carbon từ hai dự án: Dự án A (trồng rừng) và Dự án B (năng lượng sạch). Mỗi tín chỉ dự án A giá 20 USD, dự án B giá 30 USD. Dự án A giúp giảm 1,5 tấn CO2 /tín chỉ, dự án B giảm 2 tấn CO2 /tín chỉ. Tổng số tín chỉ của hai dự án không quá 25. Doanh nghiệp cần mua $x$ tín chỉ từ dự án A và $y$ tín chỉ từ dự án B để lượng CO2 giảm được là tối đa, biết rằng tổng ngân sách của doanh nghiệp không quá 600 USD. Giá trị của $y$ là bao nhiêu?

Một quỹ đầu tư có nguồn vốn tối đa $30$ tỷ đồng, dự kiến phân bổ vào hai danh mục: Cổ phiếu niêm yết (Kênh A) và Trái phiếu doanh nghiệp (Kênh B). Các điều kiện đầu tư được quy định như sau: Lợi nhuận kỳ vọng của Kênh A là $15\%$ một năm, Kênh B là $10\%$ một năm. Lợi nhuận từ cả hai kênh đều chịu mức thuế thu nhập là $10\%$. Để giảm thiểu rủi ro, số tiền đầu tư vào Kênh A không được vượt quá $2$ lần số tiền đầu tư vào Kênh B. Số tiền đầu tư vào Kênh B không được ít hơn $3$ tỷ đồng. Mỗi tỷ đồng đầu tư vào Kênh A chi phí quản lý là $45$ triệu đồng; mỗi tỷ đồng đầu tư vào Kênh B chi phí quản lý là $20$ triệu đồng. Tổng chi phí quản lý không được vượt quá $1,05$ tỷ đồng. Biết rằng lợi nhuận thực tế thu về là lợi nhuận kỳ vọng sau khi đã trừ thuế và trừ chi phí quản lý. Để lợi nhuận thực tế thu về đạt giá trị lớn nhất thì quỹ đầu tư nên phân bổ bao nhiêu vốn vào Kênh A (đơn vị: tỷ đồng)?

Một công ty trong một lần quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hoá (một sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở $140$ người và $9$ tấn hàng. Nơi cho thuê chỉ có hai loại xe $A$ và $B$. Trong đó, xe loại $A$ có $10$ chiếc và xe loại $B$ có $9$ chiếc. Một chiếc xe loại $A$ được cho thuê với giá $4$ triệu đồng và chỉ chở được tối đa $20$ người và $0,6$ tấn hàng. Một chiếc xe loại $B$ được cho thuê với giá $3$ triệu đồng và chỉ chở được tối đa $10$ người và $1,5$ tấn hàng. Hỏi chi phí thuê xe thấp nhất là bao nhiêu triệu đồng? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, kết quả cuối cùng được ghi dưới dạng số nguyên)

Câu 6. Một phân xưởng có hai máy chuyên dụng I và II để sản xuất hai loại sản phẩm A, B theo đơn đặt hàng. Nếu sản xuất một tấn sản phẩm A thì phân xưởng phải dùng máy I trong 3 giờ, máy II trong 1 giờ và thu được lãi 2 triệu đồng. Nếu sản xuất một tấn sản phẩm B thì phân xưởng phải dùng máy I trong 1 giờ, máy II trong 1 giờ và thu được lãi 1,6 triệu đồng. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy I làm việc không quá 6 giờ một ngày, máy II làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng đó có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 2: Hàm lượng các chất vitamin A, vitamin B và vitamin K chứa trong $100\text{ g}$ mỗi loại thực phẩm $X$ và $Y$ được cho ở bảng sau:

$<table><tbody><tr><td>\text{Thực phẩm}</td><td>\text{Vitamin A (mg)}</td><td>\text{Vitamin B (mg)}</td><td>\text{Vitamin K (mg)}</td></tr><tr><td>X</td><td>200</td><td>600</td><td>8</td></tr><tr><td>Y</td><td>500</td><td>300</td><td>6</td></tr></tbody></table>$

Từ hai loại thực phẩm $X$ và $Y$, người ta muốn tạo ra một lượng thực phẩm hỗn hợp chứa ít nhất $2000\text{ mg}$ vitamin A, $3000\text{ mg}$ vitamin B, $48\text{ mg}$ vitamin K. Lượng thực phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu trên là bao nhiêu? (đơn vị: kilogram; làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 4. Một bãi xe đậu xe ô tô kinh doanh dịch vụ giữ xe qua đêm có diện tích là $200{\text{ m}}^2$ (không tính phần diện tích lối đi cho xe ra vào). Biết rằng mỗi xe ô tô 7 chỗ ngồi cần diện tích $10{\text{ m}}^2$ và mỗi chiếc xe ô tô loại 16 chỗ ngồi cần diện tích $20{\text{ m}}^2$. Chi phí gửi xe mỗi đêm với xe ô tô loại 7 chỗ ngồi là $150$ nghìn đồng và loại xe 16 chỗ ngồi là $200$ nghìn đồng. Bãi đậu xe không thể chứa quá $16$ xe mỗi đêm. Sau mỗi đêm, doanh thu lớn nhất từ việc kinh doanh dịch vụ trên là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 2. Một phân xưởng có hai máy chuyên dụng X và Y để sản xuất hai loại sản phẩm A và B theo đơn đặt hàng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại A, người ta phải dùng máy X trong $3$ giờ và máy Y trong $1$ giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B, người ta phải dùng máy X trong $1$ giờ và máy Y trong $2$ giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy X làm việc không quá $8$ giờ một ngày và máy Y làm việc không quá $6$ giờ một ngày. Nếu sản xuất được một tấn sản phẩm loại A thì phân xưởng nhận được số tiền lãi là $20$ triệu đồng; nếu sản xuất được một tấn sản phẩm loại B thì phân xưởng nhận được số tiền lãi là $12$ triệu đồng. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng này có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 6. Phòng chăm sóc khách hàng của công ty $A$ làm việc từ 8h00 sáng đến 20h00 mỗi ngày. Nhân viên trực tổng đài làm việc theo $2$ ca, mỗi ca $8$ tiếng, ca I từ 8h00 đến 16h00 và ca II từ 12h00 đến 20h00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ và cho trong bảng dưới đây:



Để chăm sóc khách hàng tốt nhất thì cần tối thiểu $2$ nhân viên trong khoảng từ 12h00 đến 20h00, tối thiểu $10$ nhân viên trong giờ cao điểm từ 12h00 đến 16h00 và không quá $9$ nhân viên trong khoảng từ 8h00 đến 16h00. Do lượng khách hàng trong khoảng 8h00 đến 16h00 thường đông hơn nên phòng chăm sóc khách hàng cần số nhân viên ca I ít nhất phải gấp $1,5$ lần số nhân viên của ca II. Công ty $A$ muốn huy động số lượng nhân viên mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất. Khi đó, chi phí tiền lương ít nhất mà công ty $A$ phải trả cho nhân viên mỗi ngày là $a$ (nghìn đồng). Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Câu 1. Một cửa hàng hoa quả sạch dự định đóng gói hai loại giỏ quà Tết: **Giỏ Lộc Phát** và **Giỏ Bình An**
- Mỗi **Giỏ Lộc Phát** cần $3\text{ kg}$ táo, $1\text{ kg}$ cam và $1\text{ kg}$ nho. Lãi thu được là $400$ nghìn đồng.
- Mỗi **Giỏ Bình An** cần $1\text{ kg}$ táo, $3\text{ kg}$ cam và $1\text{ kg}$ nho. Lãi thu được là $500$ nghìn đồng.

Hiện tại, trong kho của cửa hàng đang có sẵn tối đa $18\text{ kg}$ táo, $18\text{ kg}$ cam và $8\text{ kg}$ nho. Hỏi tổng tiền lãi lớn nhất mà cửa hàng có thể thu được khi bán hai loại giỏ quà Tết trên? (đơn vị nghìn đồng)

Câu 2. Một doanh nghiệp phân bổ ngân sách quảng cáo trên Facebook và YouTube với tổng số tiền không vượt quá $80$ triệu đồng. Chi phí cho Facebook nằm trong khoảng từ $20$ đến $50$ triệu đồng. Chi phí cho YouTube tối thiểu là $15$ triệu đồng. Số tiền chi cho chạy quảng cáo trên YouTube không được vượt qua chi phí cho quảng cáo trên Facebook. Biết rằng số khách tiếp cận là $4$ nghìn khách cho mỗi triệu tiền chi quảng cáo trên Facebook và $6$ nghìn khách cho mỗi triệu quảng cáo trên YouTube. Hỏi lượng khách tiếp cận lớn nhất là bao nhiêu nghìn người.

Một cửa hàng điện tử dự định kinh doanh hai loại tivi: loại $50$ inch và loại $55$ inch với số vốn ban đầu không vượt quá $1,8$ tỉ đồng. Giá nhập vào tivi loại $50$ inch là $15$ triệu đồng/$1$ chiếc và lợi nhuận dự kiến $2$ triệu đồng/$1$ chiếc, giá nhập vào tivi loại $55$ inch là $25$ triệu đồng/$1$ chiếc và lợi nhuận dự kiến $3$ triệu đồng/$1$ chiếc. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu tiêu thụ của thị trường sẽ không vượt quá $100$ chiếc tivi cả hai loại. Lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng có thể thu được là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã bán hết hàng)?

Câu 2. Một xưởng có máy cắt và máy tiện dùng để sản xuất trục sắt và đinh ốc. Sản xuất $1$ tấn trục sắt thì lần lượt máy cắt chạy trong $3$ giờ và máy tiện chạy trong $1$ giờ, tiền lãi là $2$ triệu. Sản xuất $1$ tấn đinh ốc thì lần lượt máy cắt và máy tiện chạy trong $1$ giờ, tiền lãi là $1$ triệu. Một máy không thể sản xuất cả $2$ loại. Máy cắt làm không quá $6$ giờ/ngày, máy tiện làm không quá $4$ giờ/ngày. Gọi $x,y$ ($x\ge 0,y\ge 0$) là số tấn trục sắt và đinh ốc sản xuất trong ngày. Khi đó xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

Công ty X có một kho hàng trung tâm tại điểm $A$ và cần giao hàng đến 3 điểm giao hàng khác nhau $B,C,D$ trong thành phố, sau khi giao hàng xong thì xe quay về điểm $A$. Biết rằng khoảng cách giữa các điểm giao hàng cho bởi bảng sau (đơn vị tính km):

Thời gian giao hàng tại mỗi điểm giao hàng 30 phút/điểm. Tốc độ trung bình của xe vận chuyển hàng là $40\text{ km/h}$. Tính tổng thời gian ít nhất để hoàn thành việc giao hàng nói trên (đơn vị đo: phút, làm tròn đến hàng đơn vị).

Một hộ kinh doanh sản xuất hai loại sản phẩm, gồm sản phẩm thường và sản phẩm cao cấp. Mỗi sản phẩm thực hiện hai công đoạn là lắp ráp và hoàn thiện, có tối đa 12 giờ cho mỗi công đoạn. Mỗi sản phẩm thường cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện, mỗi sản phẩm cao cấp cần 2 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện. Hộ kinh doanh sản xuất tối đa 7 sản phẩm mỗi ngày. Biết mỗi sản phẩm thường, mỗi sản phẩm cao cấp cho lợi nhuận lần lượt là 2 triệu đồng, 3 triệu đồng. Hỏi mỗi ngày, hộ kinh doanh đó thu được lợi nhuận nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng từ sản xuất các sản phẩm trên?