Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị từ đạo hàm và bảng biến thiên (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(4x+5)(x+1)-(2x^2+5x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x(x+2)}{(x+1{)}^2}$, cực trị tại $x=0$ và $x=-2$. Hai điểm cực trị: $(0;5)$ và $(-2;-3)$. Đường thẳng $\Delta$ qua hai điểm này có hệ số góc $\frac{-3-5}{-2-0}=4$, phương trình $y=4x+5$. Khoảng cách từ $O$ đến $\Delta$: $d=\frac{5}{\sqrt{4^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{17}}\approx 1,21$. Khớp đáp án nguồn 1,21.

(AI giải đề cho tôi)
Từ dữ kiện: $f(0)=50$ và $f(x)=0$ tại $x=20,50,100$, nên $f(x)=a(x-20)(x-50)(x-100)$. Thay $x=0$: $a(-20)(-50)(-100)=-100000a=50\Rightarrow a=-\frac{1}{2000}$. Khi đó $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2000}(3x^2-340x+8000)$. Giải $3x^2-340x+8000=0$: $x=\frac{340\pm \sqrt{340^2-4\cdot 3\cdot 8000}}{6}=\frac{340\pm 140}{6}$, được $x=\frac{100}{3}$ và $x=80$. Trên $[0;100]$: điểm thấp nhất (cực tiểu) $q=\frac{100}{3}$ (nằm giữa hai nghiệm 20 và 50), điểm cao nhất (cực đại) $p=80$ (nằm giữa 50 và 100). Vậy $3q+p=3\cdot \frac{100}{3}+80=180$.

(AI giải đề cho tôi)
$V(t)=300(t^2-t^3)+4,5$ với $0\le t\le 0,5$, nên $V^{\prime }(t)=300(2t-3t^2)=300t(2-3t)$ và $V^{\prime \prime }(t)=300(2-6t)$.
a) $V^{\prime \prime }(t)=0\iff t=\frac{1}{3}$ phút $=20$ giây. Trên $[0;\frac{1}{3})$ có $V^{\prime \prime }>0$ nên $V^{\prime }$ đồng biến; trên $(\frac{1}{3};0,5]$ có $V^{\prime \prime }<0$ nên $V^{\prime }$ nghịch biến. Do đó $V^{\prime }$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=\frac{1}{3}$ (điểm cực đại của $V^{\prime }$), với $V^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=300\cdot \frac{1}{3}\cdot \left(2-1\right)=100$ (lít/phút), lớn hơn $V^{\prime }(0)=V^{\prime }(0,5)=37,5$. Vậy tốc độ tăng thể tích lớn nhất vào giây thứ 20, không phải giây thứ 21 → Sai.
b) $V^{\prime }(t)=0\iff t=0$ hoặc $t=\frac{2}{3}$. Trên đoạn $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ chỉ có nghiệm $t=0$ (vì $\frac{2}{3}>\frac{1}{2}$), tức chỉ một nghiệm → Sai.
c) Sau 30 giây, $t=0,5$ phút: lượng xăng bơm vào là $V(0,5)-V(0)=300(0,25-0,125)=37,5$ lít; số tiền $=37,5\times 21000=787500$ đồng → Đúng.
d) Lượng xăng ban đầu trong bình là $V(0)=300(0-0)+4,5=4,5$ lít, không phải 1,5 lít → Sai.
Đối chiếu đáp án mã đề 122, Câu 4 Phần II: S, S, Đ, S — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V^{\prime }(t)=300t(2-3t)$, $V^{\prime \prime }(t)=300(2-6t)$; $V^{\prime \prime }=0$ tại $t=\frac{1}{3}$ phút $=20$ giây, $V^{\prime \prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $t=\frac{1}{3}$ là điểm cực đại của $V^{\prime }$ với $V^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=100$ là giá trị lớn nhất trên $[0;0,5]$. Vậy max vào giây thứ 20, không phải giây thứ 21 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V^{\prime }(t)=300t(2-3t)=0\iff t=0$ hoặc $t=\frac{2}{3}$; trên $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ chỉ có $t=0$, tức 1 nghiệm → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Lượng xăng bơm sau 30 giây: $300(0,5^2-0,5^3)=37,5$ lít; tiền $=37,5\times 21000=787500$ đồng → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V(0)=4,5$ lít, không phải 1,5 lít → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(0)=1$, và $f^{\prime }(\pm 1)=0$. Với $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$: $d=1$; $f(1)=a+b+c+1=-1\Rightarrow a+b+c=-2$; $f(-1)=-a+b-c+1=3\Rightarrow -a+b-c=2$. Cộng lại được $b=0$, suy ra $a+c=-2$. Vì $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+c$ có nghiệm $x=\pm 1$ nên $3a+c=0\Rightarrow c=-3a$, do đó $a-3a=-2\Rightarrow a=1,c=-3$. Vậy $f(x)=x^3-3x+1$.

a) Sai: hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (cực đại tại $x=-1$).

b) Đúng: $\max f=3$, $\min f=-1$, đường thẳng $y=2$ nằm giữa $-1$ và $3$ nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.

c) Sai: hàm số là $f(x)=x^3-3x+1$, không phải $x^3-3x+2$ (vì $f(0)=1$).

d) Đúng: $y=f(4-x)+1$ đạt cực đại khi $4-x=-1\Rightarrow x=5$, giá trị $y=f(-1)+1=3+1=4$, nên điểm cực đại là $(5;4)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (giá trị 3) và cực tiểu tại $x=1$ (giá trị -1). Thực tế $f(x)=x^3-3x+1$ nên $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, cực tiểu tại $x=1$, không phải $x=-1$. Phát biểu sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại $f(-1)=3$, cực tiểu $f(1)=-1$. Vì $-1<2<3$, phương trình $f(x)=2$ có 3 nghiệm phân biệt. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xác định từ đồ thị: $f(0)=1$ nhưng $x^3-3x+2$ tại $x=0$ bằng 2. Hàm số đúng là $f(x)=x^3-3x+1$. Phát biểu sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=f(4-x)+1$ đạt cực đại khi $4-x=-1\Rightarrow x=5$, khi đó $y=f(-1)+1=3+1=4$. Điểm cực đại là $(5;4)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(0)=1\Rightarrow d=1$; điểm $(0;1)$ là điểm cực tiểu nên $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. Đồ thị đi qua $(-2;1)$ (dấu gạch ngang chỉ trên hình) và đi qua điểm $(-1;2)$ (hai đường đứt nét chỉ tới điểm có hoành độ $-1$, tung độ $2$ trên đường cong — đây là điểm thuộc đồ thị, không phải điểm cực đại). Với $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+1$: $f(-2)=1\Rightarrow -8a+4b=0\Rightarrow b=2a$; $f(-1)=2\Rightarrow -a+b=1\Rightarrow a=1,b=2$. Vậy $f(x)=x^3+2x^2+1$, $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=3x(x+\frac{4}{3})$, nên điểm cực đại thực sự của hàm số là $x=-\frac{4}{3}$ (giá trị $\approx 2,19$), điểm cực tiểu $x=0$. a) Hàm đạt cực tiểu tại $x=0$ (không phải $x=1$) → Sai. b) $f(0)=1$ nên đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;1)$ → Đúng. c) Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-\frac{4}{3})$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-\frac{4}{3};0)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;-1)$ → Sai. d) $2a+3b+c=2+6+0=8\ne 9$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức SDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu của đồ thị là $(0;1)$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=d=1$ nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x+\frac{4}{3})$ đổi dấu tại $x=-\frac{4}{3}$, nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1,b=2,c=0$ ta có $2a+3b+c=8\ne 9$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ — Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Bảng biến thiên: $f$ tăng trên $(-\infty ;0)$, giảm trên $(0;2)$, tăng trên $(2;+\infty )$ nên cực tiểu tại $x=2$, không phải $x=0$ (tại $x=0$ là cực đại) — Sai.
c) Trên $[0;4]$: $f(0)=0$, $f(2)=-4$, $f(4)=64-48=16$. Giá trị lớn nhất bằng 16 — Đúng.
d) $y=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)(x-3{)}^2}=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ với $x\ne 3$. Tại $x=1$ và $x=3$ mẫu số về 0 trong khi tử số khác 0 (tại $x=3$, tỉ số ~ $\frac{9}{2(x-3)}\to \infty$), nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=3$, không phải 1 — Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)=0\iff x=0,x=2$; hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ (cực đại tại $x=0$).
c) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=16$ nên max trên $[0;4]$ bằng 16.
d) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $y=\frac{x^2}{(x-1)(x-3)}$ ($x\ne 3$); tiệm cận đứng là $x=1$ và $x=3$, tức có 2 đường.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^4-2x^2-5$, ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x\in \{-1;0;1\}$, và $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên cả ba đều là điểm cực trị (cực tiểu tại $x=\pm 1$, cực đại tại $x=0$).
a) Đúng: hàm số có 3 điểm cực trị $x=-1,0,1$.
b) Sai: trên $(0;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$, do đó không đồng biến trên toàn $(0;+\infty )$ (chỉ đồng biến trên $(1;+\infty )$).
c) Sai: $f(0)=-5\ne 1$, nên điểm cực đại của đồ thị là $(0;-5)$, không phải $M(0;1)$.
d) Đúng: $y=f(2x)=16x^4-8x^2-5$ có $(f(2x){)}^{\prime }=64x^3-16x=16x(2x-1)(2x+1)$, cực đại tại $x=0$ với $y=-5$; hàm $f(x)$ cũng có điểm cực đại duy nhất $(0;-5)$. Vậy hai hàm số có cùng điểm cực đại $(0;-5)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $-1$, $0$, $1$ và $f^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm có 3 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$; hàm chỉ đồng biến trên $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=-5$ nên điểm cực đại của đồ thị là $(0;-5)$, không phải $M(0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2x)=16x^4-8x^2-5$ có cực đại tại $x=0$, $y=-5$; $f(x)$ cũng có điểm cực đại duy nhất $(0;-5)$. Vậy hai hàm có cùng điểm cực đại.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=1$ (nghiệm đơn), $x=3$ (nghiệm bội chẵn 4) và $x=-1$ (nghiệm bội chẵn 2).
Do $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn $x=1$, nên hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị.

a) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x<0\iff x\in (0;2)$.
b) Đúng: ${\lim }_{x\to +\infty }(x^3-3x^2+4)=+\infty$.
c) Sai: Hai điểm cực trị là $A(0;4)$ và $B(2;0)$, nên $AB=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$.
d) Sai: Ta có $f(x)=(x+1)(x-2{)}^2$, nên $\frac{x+1}{f(x)}=\frac{1}{(x-2{)}^2}$ (với $x\ne -1$) chỉ có đúng một đường tiệm cận đứng là $x=2$.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 15, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

a) Ta có $y=x-2+\frac{4}{x-1}$. Đạo hàm $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=0⟺(x-1{)}^2=4⟺x=3$ hoặc $x=-1$. Tại $x=3$ hàm số đạt cực tiểu và $y_{CT}=3$. Điểm cực tiểu là $(3;3)⟹a=3,b=3⟹a^2+b=9+3=12$ (Đúng).
b) Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x-2)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$, do đó tiệm cận xiên là $y=x-2$ (Đúng).
c) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ tạo với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích không bằng $12$ (Sai).
d) Khảo sát tương giao đồ thị để tìm các giá trị nguyên của $m$ thoả mãn điều kiện nghiệm cho đúng $9$ giá trị nguyên (Đúng).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 7), Câu 1 (Phần III) có đáp số là $1191$.

Theo lời giải chi tiết trang 19–20: $f(x)=kx(x-2)(x-5,5)$ với $k<0$. Hai điểm cực trị là $x=\frac{15\pm \sqrt{93}}{6}$. Từ $y_{\text{CT}}=f\left(\frac{15-\sqrt{93}}{6}\right)=-0,45\text{ km}$ suy ra $y_{\text{CĐ}}=f\left(\frac{15+\sqrt{93}}{6}\right)\approx 1,19106\text{ km}\approx 1191\text{ m}$.