Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm: $x_1=19,5$, $x_2=22,5$, $x_3=25,5$, $x_4=28,5$. Nhiệt độ trung bình: $\bar{x}=\frac{19,5\cdot 6+22,5\cdot 12+25,5\cdot 9+28,5\cdot 3}{30}=\frac{117+270+229,5+85,5}{30}=\frac{702}{30}=23,4{(}^{\circ }C)$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: $n=2+3+3+14+23+3+2=50$.
a) Sai: mẫu số liệu chỉ ghi điểm từ $[3;4)$ trở lên, không có học sinh nào bị điểm 0; nhóm $[3;4)$ có 2 học sinh nhưng đó là điểm từ 3 đến dưới 4, không phải điểm 0.
b) Đúng: học sinh bị điểm dưới 5 thuộc hai nhóm $[3;4)$ và $[4;5)$, tổng $2+3=5$ học sinh.
c) Sai: học sinh đạt điểm 9 thuộc nhóm $[9;10]$ có 2 học sinh, chiếm $\frac{2}{50}=4\%$, không quá nửa số học sinh của lớp.
d) Sai: giá trị đại diện các nhóm là $3,5;4,5;5,5;6,5;7,5;8,5;9,5$. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm: $\bar{x}=\frac{2\cdot 3,5+3\cdot 4,5+3\cdot 5,5+14\cdot 6,5+23\cdot 7,5+3\cdot 8,5+2\cdot 9,5}{50}=\frac{7+13,5+16,5+91+172,5+25,5+19}{50}=\frac{345}{50}=6,9\ne 8$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu chỉ có điểm từ 3 trở lên, không có học sinh nào bị điểm 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh bị điểm dưới 5 là $2+3=5$ học sinh.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm $[9;10]$ chỉ có 2 học sinh, chiếm $4\%$, không quá nửa lớp.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x}=\frac{345}{50}=6,9\ne 8$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Cỡ mẫu n = 6+14+17+8+5 = 50 → đúng.
b) Giá trị đại diện các nhóm: 37; 59; 81; 103; 125. Tổng: 6·37+14·59+17·81+8·103+5·125 = 222+826+1377+824+625 = 3874. Doanh thu trung bình = 3874/50 = 77,48 triệu đồng ≠ 81 → sai.
c) Vị trí trung vị: giá trị thứ 25 thuộc nhóm [70;92) (tần số tích lũy trước là 20). Me = 70 + (25−20)/17 · 22 = 70 + 110/17 ≈ 76,47 ≈ 76,5 → đúng.
d) Vị trí Q3: giá trị thứ 0,75·50 = 37,5 thuộc nhóm [92;114) (tần số tích lũy trước là 37). Q3 = 92 + (37,5−37)/8 · 22 = 92 + 11/8 = 93,375 ≠ 95 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = 6+14+17+8+5 = 50.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung bình = 3874/50 = 77,48 triệu đồng, không phải 81.
c) (AI giải đề cho tôi)
Me = 70 + (25−20)/17·22 ≈ 76,47 ≈ 76,5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q3 = 92 + (37,5−37)/8·22 = 93,375 ≠ 95.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: $162$, $166$, $170$, $174$, $178$, $182$, $186$. Tích: $20\cdot 162=3240$; $30\cdot 166=4980$; $100\cdot 170=17000$; $75\cdot 174=13050$; $225\cdot 178=40050$; $30\cdot 182=5460$; $20\cdot 186=3720$. Tổng $=87500$. Chiều cao trung bình $=87500/500=175$ (cm).

(AI giải đề cho tôi)
Mức giá nhiều người có nhu cầu nhất là mốt của mẫu số liệu ghép nhóm. Nhóm chứa mốt là [18;22) vì có tần số lớn nhất (179 khách hàng). Với nhóm trước có tần số 105, nhóm sau có tần số 96, độ dài nhóm h = 4: $M_o=18+\frac{179-105}{(179-105)+(179-96)}\cdot 4=18+\frac{74}{74+83}\cdot 4=18+\frac{296}{157}\approx 18+1,885\approx 19,9$ (triệu đồng/m²). Vậy công ty nên xây nhà ở mức giá khoảng 19,9 triệu đồng/m².

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=9+15+25+30+21=100$, nên trung vị là giá trị thứ $50$. Tần số tích lũy: $9;24;49;79;100$. Vì $49<50\le 79$ nên trung vị thuộc nhóm $[55;60)$ với $n_{me}=30$, nhóm trước có tần số tích lũy $49$. Do đó $$M_e=55+\left(\frac{50-49}{30}\right)\cdot 5=55+\frac{1}{6}\approx 55,17.$$ Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $M_e\approx 55,17$ (kg).

(AI giải đề cho tôi)
Cần tìm $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm gồm $n=20$ ngày. Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 20}{4}=15$. Tần số tích lũy: nhóm $[5;7)$: 2; nhóm $[7;9)$: 9; nhóm $[9;11)$: 16. Vì $9<15\le 16$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[9;11)$ với $x_1=9$, $n_1=7$, $cf=9$, $d=2$. Do đó $Q_3=9+\frac{15-9}{7}\cdot 2=9+\frac{12}{7}\approx 10,71\approx 11$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, nên $\frac{3n}{4}=15$. Tần số tích lũy: nhóm $[5;7)$: 2; nhóm $[7;9)$: 9; nhóm $[9;11)$: 16. Vì $9<15\le 16$ nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm $[9;11)$ với $x_3=9$, $n_3=7$, $c=2$: $$Q_3=9+\frac{15-9}{7}\cdot 2=9+\frac{12}{7}\approx 10,71\approx 11.$$ Vậy tứ phân vị thứ ba (làm tròn đến hàng đơn vị) bằng 11 (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: $\bar{x}=\frac{2,5\cdot 13+7,5\cdot 29+12,5\cdot 48+17,5\cdot 22+22,5\cdot 8}{120}=\frac{32,5+217,5+600+385+180}{120}=\frac{1415}{120}\approx 11,79$ (phút). Vì $11,79\in [10;15)$ nên số trung bình thuộc khoảng $[10;15)$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (đề 102, câu 11 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là $[6;8)$ với $n=15$, nên mốt thuộc nhóm này. Công thức: $Mo=6+\frac{2(15-10)}{(15-10)+(15-8)}=6+\frac{10}{12}\approx 6,8$. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng đáp án (đề 102, câu 5 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là $[5;7)$ với $n_m=18$, nên $x_m=5$, $h=2$, $n_{m-1}=5$, $n_{m+1}=10$. Mốt: $M_o=x_m+\frac{n_m-n_{m-1}}{(n_m-n_{m-1})+(n_m-n_{m+1})}\cdot h=5+\frac{18-5}{(18-5)+(18-10)}\cdot 2=5+\frac{13}{21}\cdot 2\approx 6,238\approx 6,2$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu ghép nhóm: dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm). $\bar{x}=\frac{2\cdot 13+6\cdot 29+10\cdot 48+14\cdot 22+18\cdot 8}{120}=\frac{26+174+480+308+144}{120}=\frac{1132}{120}\approx 9,43$ phút. Vì $9,43\in [8;12)$ nên số trung bình thuộc khoảng $[8;12)$, khớp với đáp án nguồn (đáp án Câu 4 của mã đề 101 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay mỗi nhóm bằng giá trị đại diện (trung điểm): 12,5; 17,5; 22,5; 27,5; 32,5; 37,5. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{12,5\cdot 2+17,5\cdot 5+22,5\cdot 15+27,5\cdot 8+32,5\cdot 9+37,5\cdot 1}{40}=\frac{25+87,5+337,5+220+292,5+37,5}{40}=\frac{1000}{40}=25$ (nghìn đồng). Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 5+14+10+8+3 = 40. Giá trị đại diện các nhóm: 2; 5; 8; 11; 14. Số trung bình: x̄ = (2·5 + 5·14 + 8·10 + 11·8 + 14·3)/40 = (10+70+80+88+42)/40 = 290/40 = 7,25. Mốt: nhóm có tần số lớn nhất là [4;6] với n_2 = 14 (nhóm trước có 5, nhóm sau có 10), độ dài nhóm h = 3. Mô = 4 + (14−5)/((14−5)+(14−10)) · 3 = 4 + 9/13 · 3 = 4 + 27/13 = 79/13 ≈ 6,08.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm) để tính số trung bình ước lượng.

Các giá trị đại diện: 152,5; 157,5; 162,5; 167,5; 172,5 (gam).

Lô hàng A:
$${\bar{x}}_A=\frac{152,5\cdot 2+157,5\cdot 6+162,5\cdot 12+167,5\cdot 4+172,5\cdot 1}{25}=\frac{4042,5}{25}=161,7\text{ (gam)}.$$

Lô hàng B:
$${\bar{x}}_B=\frac{152,5\cdot 1+157,5\cdot 3+162,5\cdot 7+167,5\cdot 10+172,5\cdot 4}{25}=\frac{4127,5}{25}=165,1\text{ (gam)}.$$

Vì ${\bar{x}}_B=165,1>{\bar{x}}_A=161,7$ nên cân nặng trung bình quả cam ở lô hàng B lớn hơn ở lô hàng A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 16,8; 18,7; 19,1; 19,2; 20,6; 21,1; 23,5; 25,2. Theo đề bài, chia thành ba nhóm tương ứng ba tình trạng cân nặng: nhóm [16,5; 18,5) (thiếu cân) chứa giá trị 16,8 nên tần số là 1; nhóm [18,5; 23) (cân nặng lí tưởng) chứa các giá trị 18,7; 19,1; 19,2; 20,6; 21,1 nên tần số là 5; nhóm [23; 25,5) (thừa cân) chứa các giá trị 23,5; 25,2 nên tần số là 2. Tổng tần số bằng 1 + 5 + 2 = 8, đúng bằng cỡ mẫu. Bảng tần số ghép nhóm: Nhóm [16,5; 18,5) có tần số 1; nhóm [18,5; 23) có tần số 5; nhóm [23; 25,5) có tần số 2. Như vậy trong tổ có 1 học sinh thiếu cân, 5 học sinh có cân nặng lí tưởng và 2 học sinh thừa cân.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số liệu có giá trị nhỏ nhất là 40 và giá trị lớn nhất là 63. Vì phải có nhóm $[40;45)$ nên các nhóm có độ dài bằng 5, gồm 5 nhóm: $[40;45)$, $[45;50)$, $[50;55)$, $[55;60)$, $[60;65)$.

Đếm tần số từng nhóm:
- Nhóm $[40;45)$: 43, 40, 40, 42, 44 → 5 giá trị.
- Nhóm $[45;50)$: 47, 48, 48, 46, 45, 47, 48 → 7 giá trị.
- Nhóm $[50;55)$: 51, 50, 53, 53, 50, 52, 54, 52, 50, 54, 53 → 11 giá trị.
- Nhóm $[55;60)$: 56, 56, 55, 55, 58, 55, 58 → 7 giá trị.
- Nhóm $[60;65)$: 62, 62, 60, 63, 60 → 5 giá trị.

Kiểm tra: $5+7+11+7+5=35$, đúng bằng số người trưởng thành.

Vậy mẫu số liệu ghép nhóm là:

$$<table><tbody><tr><td>\text{Caˆn nặng (kg)}</td><td>[40;45)</td><td>[45;50)</td><td>[50;55)</td><td>[55;60)</td><td>[60;65)</td></tr><tr><td>\text{Taˆˋn soˆˊ}</td><td>5</td><td>7</td><td>11</td><td>7</td><td>5</td></tr></tbody></table>$$

Tổng cộng $n=35$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu gồm 24 giá trị: 18, 25, 39, 12, 54, 27, 46, 25, 19, 8, 36, 22, 20, 19, 17, 44, 5, 18, 23, 28, 25, 34, 46, 27.

Bước 1: Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất:
$$x_{\min }=5,x_{\max }=54.$$

Bước 2: Cần lập 6 nhóm có độ dài bằng nhau, hiệu
$$\frac{54-5}{6}=\frac{49}{6}\approx 8,17.$$
Chọn độ dài nhóm bằng 10 (số nguyên thuận tiện) và bắt đầu từ 5.

Bước 3: Lập các nhóm và đếm tần số (giá trị $x$ thuộc nhóm $[a;b)$ nếu $a\le x<b$):
- Nhóm $[5;15)$: 12, 8, 5 → tần số 3.
- Nhóm $[15;25)$: 18, 19, 22, 20, 19, 17, 18, 23 → tần số 8 (giá trị 25 thuộc nhóm sau).
- Nhóm $[25;35)$: 25, 27, 25, 28, 25, 34, 27 → tần số 7.
- Nhóm $[35;45)$: 39, 36, 44 → tần số 3.
- Nhóm $[45;55)$: 54, 46, 46 → tần số 3.
- Nhóm $[55;65)$: không có giá trị nào → tần số 0.

Kiểm tra tổng tần số: $3+8+7+3+3+0=24$, đúng bằng cỡ mẫu $n=24$.

Bảng tần số ghép nhóm:



Lưu ý: các giá trị đầu mút (ví dụ 25) thuộc nhóm bên phải theo quy ước $[a;b)$, nên tần số nhóm $[15;25)$ là 8 và nhóm $[25;35)$ là 7.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu có giá trị nhỏ nhất $\min =492$ và giá trị lớn nhất $\max =653$, nên biên độ là $R=653-492=161$. Chia thành 7 nhóm có độ dài bằng nhau, ta chọn độ dài nhóm là $\frac{161}{7}\approx 23$, làm tròn lên thành $24$ để đảm bảo phủ hết toàn bộ dữ liệu (từ $492$ đến $660>653$). Các nhóm lần lượt là $[492;516),[516;540),[540;564),[564;588),[588;612),[612;636),[636;660)$. Đếm tần số: nhóm $[492;516)$ chứa $492,496,499,503,504,504,505,508,514$ nên có tần số $9$; nhóm $[516;540)$ chứa $516,535$ nên có tần số $2$; nhóm $[540;564)$ không chứa giá trị nào nên tần số $0$; nhóm $[564;588)$ chứa $565,572$ nên có tần số $2$; nhóm $[588;612)$ chứa $609$ nên có tần số $1$; nhóm $[612;636)$ chứa $632$ nên có tần số $1$; nhóm $[636;660)$ chứa $653$ nên có tần số $1$. Tổng $9+2+0+2+1+1+1=16$ đúng bằng cỡ mẫu $n=16$. Bảng phân bố tần số ghép nhóm: Thời gian ra sân (giờ): $[492;516)$ — tần số $9$; $[516;540)$ — $2$; $[540;564)$ — $0$; $[564;588)$ — $2$; $[588;612)$ — $1$; $[612;636)$ — $1$; $[636;660)$ — $1$; Cộng: $N=16$.