Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x_0=2$: $y_0=8-6=2$. $y^{\prime }=3x^2-3$, $y^{\prime }(2)=9$. Tiếp tuyến: $y=2+9(x-2)=9x-16$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=S^{\prime }(t)=t^2-4t+3$. Tại $t=4$: $v(4)=16-16+3=3$ (m/s). Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=-\frac{3}{2}{t}^2+24t$. Tại $t=10$: $v(10)=-\frac{3}{2}\cdot 100+240=-150+240=90$ (m/s). Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x^2+6x=x(x+6)$. a) $k=-9\Rightarrow x^2+6x=-9\iff (x+3{)}^2=0\Rightarrow x_0=-3$; $y(-3)=-9+27-2=16$. Tiếp tuyến: $y=16-9(x+3)$, tức $y-16=-9(x+3)$ → đúng. b) $k=0\Rightarrow x(x+6)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=-6$: có 2 tiếp tuyến → đúng. c) Phương trình $x^2+6x=k$ có $\Delta =36+4k$; với $k<-9$ thì $\Delta <0$ nên không có tiếp tuyến → sai. d) Với $k>-9$, $\Delta >0$ nên có 2 tiếp tuyến, không phải 1 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+6x=-9\Rightarrow x=-3$, $y(-3)=16$, tiếp tuyến $y-16=-9(x+3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x(x+6)=0$ cho $x=0$ và $x=-6$: 2 tiếp tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =36+4k<0$ khi $k<-9$, không có tiếp tuyến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =36+4k>0$ khi $k>-9$: có 2 tiếp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-2t+5$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-2$. a) $v(2)=12-4+5=13\ne 9$ → sai. b) $a(3)=18-2=16$ → đúng. c) Giải $3t^2-2t+5=45\iff 3t^2-2t-40=0\iff t=4$ (nhận) hoặc $t=-10/3$ (loại). Khi đó $s(4)=64-16+20+2=70$ m → đúng. d) $6t-2=34\iff t=6$, khi đó $v(6)=108-12+5=101$ m/s → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=3t^2-2t+5$ nên $v(2)=12-4+5=13\ne 9$ (m/s).
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=6t-2$ nên $a(3)=18-2=16$ (m/s${}^2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$3t^2-2t+5=45\iff t=4$ (nhận), $s(4)=64-16+20+2=70$ (m).
d) (AI giải đề cho tôi)
$6t-2=34\iff t=6$, $v(6)=108-12+5=101$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Khẳng định này đúng với phương án A. Các phương án B, C, D sai vì mẫu số hoặc tử số không đúng định nghĩa (B và D dùng $x+x_0$, C và D dùng $f(x)+f(x_0)$).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+3)}{(x-2{)}^2}=\frac{-7}{(x-2{)}^2}$. a) $M(1;-5)\in (C)$ vì $\frac{2+3}{1-2}=-5$; $y^{\prime }(1)=\frac{-7}{1}=-7$ → đúng. b) Với $x=3$: $y=\frac{6+3}{3-2}=9\ne -5$ → sai. c) Tiếp tuyến tại $M$ có hệ số góc $-7$, bằng hệ số góc của $d_1$ và $M(1;-5)$ không thuộc $d_1$ (vì $-7(1)+17=10\ne -5$) nên song song → đúng. d) $d_2$ có hệ số góc $16/7$, tiếp tuyến vuông góc có hệ số góc $-\frac{7}{16}$. Giải $\frac{-7}{(x-2{)}^2}=-\frac{7}{16}\Rightarrow (x-2{)}^2=16\Rightarrow x=6$ hoặc $x=-2$: có hai tiếp tuyến → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-7}{(x-2{)}^2}$, $M(1;-5)\in (C)$, $y^{\prime }(1)=-7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=3$, $y=\frac{6+3}{3-2}=9\ne -5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M$ có hệ số góc $-7$ bằng hệ số góc của $d_1$, và $M\notin d_1$ nên hai đường song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến vuông góc $d_2$ cần hệ số góc $-7/16$; giải $-7/(x-2{)}^2=-7/16$ cho $x=6$ hoặc $x=-2$, tức có hai tiếp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+6t+7$. Đây là parabol bậc hai với đỉnh tại $t=3$ (giây), khi đó $v(3)=-9+18+7=16$ (m/s). Vậy vận tốc lớn nhất bằng 16 m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2f(5-x)+xf(x)=2x$: thay $x=0$ được $2f(5)=0\Rightarrow f(5)=0$. Thay $x=5$ được $2f(0)+5f(5)=10\Rightarrow f(0)=5$. Đạo hàm hai vế: $-2f^{\prime }(5-x)+f(x)+x{f}^{\prime }(x)=2$. Thay $x=0$: $-2f^{\prime }(5)+f(0)=2\Rightarrow f^{\prime }(5)=\frac{5-2}{2}=\frac{3}{2}$. Tiếp tuyến tại điểm $(5;0)$: $y=f^{\prime }(5)(x-5)+f(5)=\frac{3}{2}(x-5)$, tức $y=\frac{3}{2}x-\frac{15}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $(-2;-8)$ thuộc đồ thị vì $(-2{)}^3=-8$. Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2$, tại $x=-2$ suy ra $y^{\prime }(-2)=3\cdot 4=12$. Phương trình tiếp tuyến: $y=12(x+2)-8=12x+16$. Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=12x+16$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3x-3$ thì $6-3x=3-t$ và $x=\frac{t+3}{3}$. Khi đó:
$$2f(t)+f(3-t)=3{\left(\frac{t+3}{3}\right)}^2-5\cdot \frac{t+3}{3}=\frac{t^2+t-6}{3}.$$
Thay $t$ bởi $3-t$:
$$2f(3-t)+f(t)=\frac{(3-t{)}^2+(3-t)-6}{3}=\frac{t^2-7t+6}{3}.$$
Từ phương trình đầu, $f(3-t)=\frac{t^2+t-6}{3}-2f(t)$. Thay vào phương trình thứ hai:
$$2\left(\frac{t^2+t-6}{3}-2f(t)\right)+f(t)=\frac{t^2-7t+6}{3}$$
$$\Rightarrow \frac{2t^2+2t-12}{3}-3f(t)=\frac{t^2-7t+6}{3}$$
$$\Rightarrow 3f(t)=\frac{t^2+9t-18}{3}\Rightarrow f(t)=\frac{t^2+9t-18}{9}.$$
Vậy $f(x)=\frac{x^2+9x-18}{9}$.

Tại $x=3$: $f(3)=\frac{9+27-18}{9}=2$; $f^{\prime }(x)=\frac{2x+9}{9}$ nên $f^{\prime }(3)=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(3;2)$:
$$y=2+\frac{5}{3}(x-3)\iff y=\frac{5}{3}x-3.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-x-1}{x+1}=x-2+\frac{1}{x+1}$ (điều kiện $x\ne -1$), nên $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$.

a) Tại $x=0$: $y(0)=-1$, $y^{\prime }(0)=1-1=0$. Tiếp tuyến: $y=-1$.

b) $y=0\iff x^2-x-1=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.
- Tại $x_0=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$: $x_0+1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, nên $\frac{1}{(x_0+1{)}^2}=\frac{4}{(3+\sqrt{5}{)}^2}=\frac{4}{14+6\sqrt{5}}=\frac{2}{7+3\sqrt{5}}=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$, suy ra $y^{\prime }=1-\frac{7-3\sqrt{5}}{2}=\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$; tiếp tuyến: $y=\frac{3\sqrt{5}-5}{2}\left(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$.
- Tại $x_0=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$: tương tự $y^{\prime }=\frac{-3\sqrt{5}-5}{2}$; tiếp tuyến: $y=-\frac{3\sqrt{5}+5}{2}\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$.

c) Gọi $P(0;m)$. Tiếp tuyến tại $x_0\ne -1$ đi qua $P$ khi $m=y_0-x_0{y}^{\prime }$. Thay $y_0=x_0-2+\frac{1}{x_0+1}$ và $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x_0+1{)}^2}$:
$$m=-2+\frac{1}{x_0+1}+\frac{x_0}{(x_0+1{)}^2}=-2+\frac{2}{x_0+1}-\frac{1}{(x_0+1{)}^2}.$$
Đặt $u=\frac{1}{x_0+1}$ ($u\ne 0$), khi đó $m=-2+2u-u^2$, tức $u^2-2u+(m+2)=0$ với $u\ne 0$.

- Với $m=-1$: phương trình có nghiệm kép $u=1$ (chỉ một tiếp tuyến tại $x_0=0$), không thỏa.
- Với $m=-2$: phương trình $u^2-2u=0$ có nghiệm $u=0$ (loại vì $u\ne 0$) và $u=2$ (hợp lệ), nên chỉ có một tiếp tuyến, không thỏa.
- Với $m<-1$, $m\ne -2$: $\Delta =4-4(m+2)=-4(m+1)>0$ cho hai nghiệm phân biệt $u_1\ne u_2$, đều khác $0$ (vì $u=0\Rightarrow m=-2$), tương ứng hai tiếp tuyến phân biệt.

Vậy các điểm cần tìm là $P(0;m)$ với $m<-1$ và $m\ne -2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}=x+2+\frac{1}{x+1}$ (điều kiện $x\ne -1$), nên $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$.

Gọi tiếp tuyến tại điểm tiếp $x_0$ (kí hiệu $t=x_0+1\ne 0$) có hệ số góc $k=y^{\prime }(x_0)=\frac{t^2-1}{t^2}$. Phương trình tiếp tuyến: $y=k(x+3)+1$ (vì đi qua $M(-3;1)$).

Điểm tiếp thuộc đồ thị nên: $k(x_0+3)+1=x_0+2+\frac{1}{x_0+1}$, tức $k(t+2)=t+\frac{1}{t}$.

Thay $k=\frac{t^2-1}{t^2}$, nhân hai vế với $t^2$: $(t^2-1)(t+2)=t^3+t\Rightarrow t^3+2t^2-t-2=t^3+t\Rightarrow 2t^2-2t-2=0\Rightarrow t^2-t-1=0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $t_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ (đều khác $0$), vậy qua $M$ kẻ được đúng hai tiếp tuyến.

Vì $t^2=t+1$ nên $k=\frac{t^2-1}{t^2}=\frac{t}{t^2}=\frac{1}{t}$. Do đó $k_1{k}_2=\frac{1}{t_1{t}_2}=\frac{1}{-1}=-1$ (vì $t_1{t}_2=-1$ theo Vi-ét).

Vậy $k_1{k}_2=-1$, hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$ có hệ số góc $-\frac{1}{3}$, nên tiếp tuyến vuông góc với nó phải có hệ số góc $k=3$. Ta có $y^{\prime }=x^2-1$. Giải $x^2-1=3\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$. Vì hoành độ âm nên $x=-2$. Khi đó $y=\frac{1}{3}(-2{)}^3-(-2)+\frac{2}{3}=-\frac{8}{3}+2+\frac{2}{3}=0$. Vậy $M(-2;0)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=6t^2+12t-1$. Tại $t=3$: $v(3)=6\cdot 9+12\cdot 3-1=54+36-1=89m/s$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Khẳng định A đúng với định nghĩa này. Các khẳng định B, C, D sai vì mẫu số hoặc tử số không khớp định nghĩa (B dùng $f(x)+f(x_0)$, C và D dùng $x+x_0$ ở mẫu).

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ thay đổi nhiệt độ là đạo hàm $T^{\prime }(t)=-0,2t+1,2$. Tại $t=2$: $T^{\prime }(2)=-0,4+1,2=0,8$ (độ Fahrenheit/ngày).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-9}{x^2}$, tại $x=3$: $y^{\prime }(3)=-1$. Tiếp tuyến tại $M(3;3)$: $y=-x+6$. Giao với Ox: $(6;0)$, Oy: $(0;6)$. Diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ thay đổi cân nặng là đạo hàm $w^{\prime }(t)=0,00228t^2-0,12t+1,8$. Tại $t=15$: $w^{\prime }(15)=0,00228\cdot 225-0,12\cdot 15+1,8=0,513-1,8+1,8=0,513$ pound/tháng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x-1}{x-1}$ với $x\ne 1$. Tính đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}$. Theo giả thiết hệ số góc $y^{\prime }=-\frac{1}{4}$, nên $\frac{-1}{(x-1{)}^2}=-\frac{1}{4}\Rightarrow (x-1{)}^2=4\Rightarrow x=3$ hoặc $x=-1$ (đều thuộc tập xác định).
- Với $x_0=3$: $y_0=\frac{6-1}{3-1}=\frac{5}{2}$. Tiếp tuyến: $y=-\frac{1}{4}(x-3)+\frac{5}{2}=-\frac{x}{4}+\frac{13}{4}$.
- Với $x_0=-1$: $y_0=\frac{-2-1}{-1-1}=\frac{3}{2}$. Tiếp tuyến: $y=-\frac{1}{4}(x+1)+\frac{3}{2}=-\frac{x}{4}+\frac{5}{4}$.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn: $y=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}$ và $y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$.