Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết: $C(1)=a+b+c=40$; $C(3)=27a+9b+3c=144\Rightarrow 9a+3b+c=48$; $C^{\prime }(1)=3a+2b+c=48$. Trừ hai phương trình đầu: $8a+2b=8\Rightarrow 4a+b=4$. Trừ $C^{\prime }(1)$ và $C(1)$: $2a+b=8$. Suy ra $2a=-4\Rightarrow a=-2$, $b=12$, $c=30$. Vậy $C(t)=-2t^3+12t^2+30t$. a) Sai vì $C(1)=40$ (đề cho chi phí sau 1 giờ là 40 nghìn đồng, không phải 48). b) Đúng vì tốc độ thay đổi là đạo hàm $C^{\prime }(t)=3a{t}^2+2bt+c$. c) Sai vì hàm đúng là $C(t)=-2t^3+12t^2+30t$. d) Đúng vì $d(t)=C^{\prime }(t)=-6t^2+24t+30$ có đỉnh tại $t=\frac{-24}{2(-6)}=2$, thuộc $[0;5]$, nên tốc độ thay đổi lớn nhất tại $t=2$ (giờ), $d(2)=54$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo đề, chi phí sau 1 giờ bay là 40 nghìn đồng, tức $C(1)=40$, không phải 48. Thật vậy với $a+b+c=40$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ thay đổi của chi phí là đạo hàm $C^{\prime }(t)=3a{t}^2+2bt+c$ (nghìn đồng/giờ).
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $a+b+c=40$, $9a+3b+c=48$, $3a+2b+c=48$ được $a=-2,b=12,c=30$, nên $C(t)=-2t^3+12t^2+30t$, không phải $-t^3+8t^2+33t$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(t)=-6t^2+24t+30$ là parabol bậc hai với đỉnh $t=2\in [0;5]$, nên $d(t)$ lớn nhất tại $t=2$ với $d(2)=54$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Điểm M(x; 1/x) thuộc (C) với x≠0. Ta có OM² = x² + 1/x² = 2. Đặt t = x² > 0, khi đó t + 1/t = 2 ⟹ t² − 2t + 1 = 0 ⟹ t = 1 ⟹ x = ±1. Vậy M(1; 1) hoặc M(−1; −1).

b) Với N(a; 1/a), a≠0, ta có y′ = −1/x² nên y′(a) = −1/a². Tiếp tuyến tại N: y = −(1/a²)(x − a) + 1/a = −x/a² + 2/a.
• Giao với Ox (y=0): x = 2/a ⟹ A(2/a; 0).
• Giao với Oy (x=0): y = 2/a ⟹ B(0; 2/a).
Do đó OA = OB = 2/|a|, tam giác OAB vuông cân tại O, nên AB = 2√2/|a|.
Đường cao hạ từ O trong tam giác vuông cân: h = OA·OB/AB = (4/a²)/(2√2/|a|) = √2/|a|.
Theo giả thiết: √2/|a| = 4/√26 ⟹ |a| = √2·√26/4 = √52/4 = √13/2.
Suy ra AB = 2√2/|a| = 2√2 · 2/√13 = 4√2/√13 = 4√26/13.
Vậy AB = 4√26/13 ≈ 1,57.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2x^2$ có đạo hàm $y^{\prime }=4x$. Tại $x=-1$, hệ số góc của tiếp tuyến là $y^{\prime }(-1)=4(-1)=-4$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=S^{\prime }(t)=3t^2-18t+15=3(t-1)(t-5)$. Chất điểm chuyển động sang trái khi $v(t)<0$, tức $3(t-1)(t-5)<0\iff 1<t<5$ (với $t\ge 0$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của độ cao theo thời gian: $h^{\prime }(t)=24,5-9,8t$. Tại $t=2$ giây: $h^{\prime }(2)=24,5-9,8\cdot 2=24,5-19,6=4,9$ (m/s). Vậy vận tốc của vật sau 2 giây là $4,9m/s$ (vật vẫn đang đi lên).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}$. Tiếp tuyến song song với $d:y=-4x+1$ nên $y^{\prime }=-4\Rightarrow (x-1{)}^2=1\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tiếp điểm có hoành độ dương nên $x=2$, $y(2)=\frac{6}{1}=6$. Tiếp tuyến: $y=-4(x-2)+6=-4x+14$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=3t^2-3$. a) $f^{\prime }(t)=0\iff t=\pm 1$, trên $[0;10]$ chỉ có nghiệm $t=1$, nên chỉ có một nghiệm phân biệt → sai. b) Trên $[0;10]$: $f^{\prime }(t)<0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }(t)>0$ trên $(1;10)$, nên $t=1$ là điểm cực tiểu duy nhất, không có điểm cực đại → sai. c) Với $t\in (0;1)$, $v=f^{\prime }(t)=3t^2-3<0$ và $v^{\prime }(t)=6t>0$ nên vận tốc (đại số) tăng, không giảm → sai. d) Vận tốc tức thời là đạo hàm của tọa độ: $v=f^{\prime }(t)=3t^2-3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=3t^2-3=0\iff t=\pm 1$; trên $[0;10]$ chỉ có $t=1$, nên chỉ có một nghiệm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $t=1$, nên $t=1$ là điểm cực tiểu; hàm số không có điểm cực đại trên $[0;10]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $t\in (0;1)$: $v=3t^2-3<0$ và $v^{\prime }(t)=6t>0$, nên vận tốc tăng chứ không giảm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời bằng đạo hàm tọa độ: $v=f^{\prime }(t)=3t^2-3$.

Câu 2. (1,5 điểm)
Trong 1 giờ kim phút quay góc $2\pi$ (rad), kim giờ quay góc $\frac{\pi }{6}$ (rad).
Hiện tại là 2 giờ đêm góc giữa kim giờ và phút là $\frac{\pi }{3}$ (rad)
Giả sử sau t giờ thì kim giờ và kim phút vuông góc nhau lần 1 vậy ta có
$$2\pi t-\left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi t}{6}\right)=\frac{\pi }{2}\leftrightarrow t=\frac{5}{11}\text{ (giờ)}$$
Vận tốc tại thời điểm sau t giờ là $f^{\prime }(t)=3t^2-4t+4$, $t\ge 0$
Vận tốc cần tìm là $f^{\prime }\left(\frac{5}{11}\right)=3{\left(\frac{5}{11}\right)}^2-4\left(\frac{5}{11}\right)+4$ (km/giờ)

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục hoành: $2^{x+1}-8=0\Rightarrow 2^{x+1}=2^3\Rightarrow x=2$, nên $M(2;0)$. Đạo hàm $y^{\prime }=2^{x+1}\ln 2$, tại $x=2$: $k=y^{\prime }(2)=2^3\ln 2=8\ln 2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
V(t)=$\frac{1}{100}$\left(30t^{3}-$\frac{t^4}{4}$\right), nên v(t)=V'(t)=$\frac{1}{100}$\left(90t^{2}-t^{3}\right)=0{,}9t^{2}-0{,}01t^{3}.
a) V(10)=$\frac{1}{100}$\left(30$\cdot$1000-$\frac{10000}{4}$\right)=$\frac{1}{100}$(30000-2500)=275$\ne$80\ (m^3) → sai.
b) v(20)=0{,}9$\cdot$400-0{,}01$\cdot$8000=360-80=280\ (m^3/phút) → đúng.
c) v'(t)=1{,}8t-0{,}03t^{2}=0{,}03t(60-t). Với t>60 thì v'(t)<0, tức sau 60 phút tốc độ bơm giảm → đúng.
d) Trên [0;90], v tăng đến t=60 rồi giảm, max v(60)=0{,}9$\cdot$3600-0{,}01$\cdot$216000=3240-2160=1080\ (m^3/phút)$\ne$1000 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
V(10)=$\frac{1}{100}$(30000-2500)=275\ (m^3), không phải 80.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(20)=0{,}9$\cdot$400-0{,}01$\cdot$8000=280\ (m^3/phút).
c) (AI giải đề cho tôi)
v'(t)=0{,}03t(60-t)<0 khi t>60 nên tốc độ bơm giảm sau 60 phút.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ lớn nhất đạt tại t=60 với v(60)=1080\ (m^3/phút), không phải 1000.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời: $v(t)=x^{\prime }(t)=\pi \cos \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\right)$ (cm/s). Với $t\in [2;3]$, pha $\phi =\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}$ đi từ $\frac{2\pi }{3}$ đến $\frac{7\pi }{6}$. Trên khoảng này hàm $\cos \phi$ giảm từ $-\frac{1}{2}$ đến $-1$ (tại $\phi =\pi$, tức $t=\frac{8}{3}$) rồi tăng từ $-1$ đến $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy $v(t)$ giảm trên $[2;\frac{8}{3}]$ và tăng trên $[\frac{8}{3};3]$: vận tốc giảm rồi sau đó tăng. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của tọa độ: $v(t)=x^{\prime }(t)=3t^2-14t+11$. Tại $t=4$: $v(4)=3\cdot 16-14\cdot 4+11=48-56+11=3$ (m/giây). Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 0102, câu 7 = D).

$v(t)=x^{\prime }(t)=3t^2-14t+11$.
$v(4)=3(m/s)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+18t+21$ (đạo hàm của $9t^2$ là $18t$, không phải $9t$), nên ý a) sai.
$v(t)=-3t^2+18t+21=-3(t-7)(t+1)$, là parabol bậc hai với đỉnh tại $t=3$ (thuộc $[0;9]$), giá trị lớn nhất $v(3)=-27+54+21=48$ m/s, nên ý d) đúng.
Thời điểm vận tốc lớn nhất là $t=3$. Trên $[0;3]$ ta có $v(t)>0$ nên vật chuyển động cùng chiều, quãng đường đi được là $s(3)-s(0)=(-27+81+63+1)-1=118-1=117$ m, không phải $118$ m, nên ý b) sai.
$v^{\prime }(t)=18-6t>0$ khi $t<3$ và $v^{\prime }(t)<0$ khi $t>3$, nên vận tốc tăng trên $(1;3)$ nhưng giảm trên $(3;5)$; do đó từ giây thứ nhất đến giây thứ năm vận tốc không luôn tăng, ý c) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+18t+21$, không phải $-3t^2+9t+21$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc lớn nhất tại $t=3$; $s(3)=-27+81+63+1=118$, $s(0)=1$, trên $[0;3]$ có $v>0$ nên quãng đường $=s(3)-s(0)=118-1=117$ m, không phải $118$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$v^{\prime }(t)=18-6t>0$ chỉ khi $t<3$; từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 vận tốc giảm.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-3(t-7)(t+1)$ đạt max tại $t=3$, $v(3)=48$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t$ (d đúng). $v^{\prime }(t)=-6t+12=0$ tại $t=2$; $v$ tăng trên $(0;2)$, giảm trên $(2;4)$, nên $v_{\max }=v(2)=12$ m/s (c sai). Trên $(2;3)$ vận tốc giảm nên b sai. Quãng đường đến $t=2$: $s(2)-s(0)=26-10=16$ m (a đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-3t^2+12t$ đạt max tại $t=2$ ($v^{\prime }(t)=-6t+12=0$). Quãng đường đi được: $s(2)-s(0)=(-8+24+10)-10=16$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v^{\prime }(t)=-6t+12<0$ khi $t>2$, nên trên khoảng $(2;3)$ vận tốc giảm, không tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(2)=-3(4)+12(2)=12$ m/s, không phải $6$ m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+3$. Tại $t=5$: $v(5)=3\cdot 25-6\cdot 5+3=75-30+3=48$ (m/s). Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+8t$. a) $v(3)=-9+24=15$ m/s → đúng. b) $s(5)=-\frac{125}{3}+100=\frac{175}{3}\approx 58,3$ m → đúng. c) Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=-2t+8\ne 3t+8$ → sai. d) Trên $[0;6]$, $v(t)=-t^2+8t$ đạt cực đại tại $t=4$ với $v(4)=16$ m/s $\ne 24$ m/s → sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (ab).
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-t^2+8t$; $v(3)=-9+24=15$ m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s(5)=-\frac{125}{3}+100=\frac{175}{3}\approx 58,3$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=v^{\prime }(t)=-2t+8$, không phải $3t+8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=-t^2+8t$ đạt giá trị lớn nhất trên $[0;6]$ tại $t=4$, $v(4)=16$ m/s $\ne 24$ m/s.

Một vật chuyển động theo quy luật $s=-t^3+24t^2+9t-3$. Tính vận tốc của vật lúc $t=5$:
- $v=s^{\prime }=-3t^2+48t+9$ (đạo hàm đúng 1 đơn thức 0.125đ) (0.25)
- $t=5$ nên $v(5)=-3\cdot 5^2+48\cdot 5+9$ (0.125)
- $v(5)=174$ (0.125)

Một vật chuyển động theo quy luật $s=-2t^3+24t^2+9t-3$. Tính vận tốc của vật lúc $t=4$:
- $v=s^{\prime }=-6t^2+48t+9$ (đạo hàm đúng 1 đơn thức 0.125đ) (0,25)
- $T=4$ nên $v(4)=-6.4^2+48.4+9$ (0,125)
- $v(4)=105$ (0,125)