Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cường độ dòng điện là $I(t)=Q^{\prime }(t)=4t+1$ (A). Tại $t=4$: $I(4)=4\cdot 4+1=17$ (A). Vậy cường độ dòng điện tại thời điểm $t=4$ s bằng $17$ A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm, ${\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=f^{\prime }(3)=2$. Do đó khẳng định đúng là $f^{\prime }(3)=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M(-3;f(-3))$ chính là giá trị của đạo hàm tại $x=-3$, tức là $k=f^{\prime }(-3)=3$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $(x_0;f(x_0))$ (khi hàm số có đạo hàm tại $x_0$) là $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, tức là $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Điều này khớp với phương án C. Các phương án A, B, D sai dấu khi dịch chuyển theo trục tung và trục hoành.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=h^{\prime }(t)=9,8t$. Tại $t=10$: $v(10)=9,8\cdot 10=98(m/s)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=2x^3-3x+3$, ta có $y^{\prime }=6x^2-3$.
1) Tiếp điểm có hoành độ $x_0=-1$: $y_0=2(-1{)}^3-3(-1)+3=4$; hệ số góc $k=y^{\prime }(-1)=6-3=3$. Phương trình tiếp tuyến: $y=3(x+1)+4=3x+7$.
2) Tiếp điểm có tung độ $y_0=13$: giải $2x^3-3x+3=13\iff 2x^3-3x-10=0$. Thử $x=2$: $16-6-10=0$, nên phân tích $(x-2)(2x^2+4x+5)=0$. Phương trình $2x^2+4x+5=0$ có biệt thức ${\Delta }^{\prime }=4-10=-6<0$ nên vô nghiệm. Vậy $x_0=2$, $k=y^{\prime }(2)=24-3=21$. Tiếp tuyến: $y=21(x-2)+13=21x-29$.
3) Tiếp tuyến có hệ số góc $147$: $6x^2-3=147\iff x^2=25\iff x=\pm 5$.
- Với $x=5$: $y_0=2\cdot 125-15+3=238$, tiếp tuyến $y=147(x-5)+238=147x-497$.
- Với $x=-5$: $y_0=-250+15+3=-232$, tiếp tuyến $y=147(x+5)-232=147x+503$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{3x-7}{-2x+5}$, đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{3(-2x+5)-(3x-7)(-2)}{(-2x+5{)}^2}=\frac{-6x+15+6x-14}{(-2x+5{)}^2}=\frac{1}{(-2x+5{)}^2}$ (với $x\ne \frac{5}{2}$).

1) Tiếp điểm có hoành độ $x_0=2$: $y_0=f(2)=\frac{6-7}{-4+5}=-1$; $f^{\prime }(2)=\frac{1}{(-4+5{)}^2}=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=-1+1(x-2)=x-3$.

2) Tiếp điểm có tung độ $y_0=-2$: giải $\frac{3x-7}{-2x+5}=-2\Rightarrow 3x-7=4x-10\Rightarrow x_0=3$ (thỏa mãn $x\ne 5/2$). $f^{\prime }(3)=\frac{1}{(-6+5{)}^2}=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=-2+1(x-3)=x-5$.

3) Hệ số góc bằng $\frac{1}{25}$: $\frac{1}{(-2x+5{)}^2}=\frac{1}{25}\Rightarrow (-2x+5{)}^2=25\Rightarrow -2x+5=\pm 5\Rightarrow x=0$ hoặc $x=5$.
- Với $x_0=0$: $y_0=f(0)=-\frac{7}{5}$, tiếp tuyến: $y=-\frac{7}{5}+\frac{1}{25}(x-0)=\frac{x}{25}-\frac{7}{5}$.
- Với $x_0=5$: $y_0=f(5)=\frac{15-7}{-5}=-\frac{8}{5}$, tiếp tuyến: $y=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}(x-5)=\frac{x}{25}-\frac{9}{5}$.

Vậy có hai tiếp tuyến: $y=\frac{x}{25}-\frac{7}{5}$ và $y=\frac{x}{25}-\frac{9}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm, $\underset{x\to 6}{\lim }\frac{f(x)-f(6)}{x-6}=f^{\prime }(6)=2$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=4t+3$. Tại $t_0=2$: $v(2)=4\cdot 2+3=11$ (m/s). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của hàm độ cao: $h^{\prime }(t)=-9,8t$. Tại $t=5$ giây: $h^{\prime }(5)=-9,8\cdot 5=-49$ (m/s). Dấu âm chỉ chiều rơi xuống, nên độ lớn vận tốc là $49$ m/s. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vật chạm đất khi $h(t)=100-4,9t^2=0\Rightarrow t=\sqrt{\frac{100}{4,9}}\approx 4,515$ giây. Vận tốc là $v(t)=h^{\prime }(t)=-9,8t$, nên tốc độ khi chạm đất là $|v|=9,8\cdot 4,515\approx 44,25$ m/s, gần nhất với $44,27$ m/s. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^3-2x^2+3x$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+3$. Tại $x_0=-1$: $f(-1)=-1-2-3=-6$ và $f^{\prime }(-1)=3+4+3=10$. Phương trình tiếp tuyến: $y=f^{\prime }(-1)(x+1)+f(-1)=10(x+1)-6=10x+4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra điểm M: $f(1)=\frac{1}{3}+1-2+1=\frac{1}{3}$, đúng bằng tung độ của $M\left(1;\frac{1}{3}\right)$ nên $M$ thuộc $(C)$. Ta có $y^{\prime }=x^2+2x-2$, suy ra hệ số góc tại $x_0=1$ là $k=f^{\prime }(1)=1+2-2=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=\frac{1}{3}+1\cdot (x-1)=x-\frac{2}{3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$, đạo hàm $y^{\prime }=-\frac{2}{(x-1{)}^2}$. Tung độ bằng 3: $\frac{x+1}{x-1}=3\Rightarrow x+1=3x-3\Rightarrow x=2$. Hệ số góc tiếp tuyến: $k=y^{\prime }(2)=-\frac{2}{(2-1{)}^2}=-2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp điểm có tung độ bằng 0: (x-1)/(x+2)=0 ⟹ x=1 (thỏa x≠-2), tiếp điểm (1;0). y' = [(x+2)-(x-1)]/(x+2)² = 3/(x+2)², nên y'(1)=3/9=1/3. Tiếp tuyến: y = (1/3)(x-1). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2+6x$. Tiếp tuyến có hệ số góc $k=-9$ nên $x^2+6x=-9\iff (x+3{)}^2=0\iff x_0=-3$. Tại $x_0=-3$: $y_0=\frac{(-3{)}^3}{3}+3(-3{)}^2-2=-9+27-2=16$. Phương trình tiếp tuyến: $y-16=-9(x-(-3))=-9(x+3)$, tức $y-16=-9(x+3)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x$. Cho $y^{\prime }=9\Rightarrow 3x^2-6x-9=0\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$. Với $x=3$: $y=27-27+1=1$, tiếp tuyến $y=9(x-3)+1=9x-26$. Với $x=-1$: $y=-1-3+1=-3$, tiếp tuyến $y=9(x+1)-3=9x+6$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $y^{\prime }=3x^2-6x$. b) Đúng: $y^{\prime }(2)=12-12=0$. c) Sai: với $x=0$ thì $y=2\ne 3$, nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị. d) Sai: tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $a$ là $y=(3a^2-6a)(x-a)+a^3-3a^2+2$. Tia sáng qua $P(0;3)$ khi $-a(3a^2-6a)+a^3-3a^2+2=3$, tức $2a^3-3a^2+1=0\iff (a-1{)}^2(2a+1)=0$, cho $a=1$ hoặc $a=-\frac{1}{2}$. Vì xe chạy theo chiều hoành độ tăng dần, tia sáng hướng theo $x$ tăng; tại cả hai vị trí này $P$ nằm phía sau ($x=0<a$) nên tia không rọi tới $P$ theo hướng chiếu (thực chất chỉ 1 đường thẳng tiếp tuyến qua $P$ ứng với $a=-\frac{1}{2}$, và không có đúng 2 thời điểm rọi trúng). Vậy mệnh đề 'có đúng 2 thời điểm' là sai, khớp đáp án mã đề 1102 (1a D, 1b D, 1c S, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x$ đúng theo quy tắc đạo hàm đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(2)=3\cdot 4-6\cdot 2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$, $y=2\ne 3$ nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tiếp tuyến qua $P(0;3)$ dẫn đến $2a^3-3a^2+1=0\iff (a-1{)}^2(2a+1)=0$; xét hướng chiếu theo $x$ tăng dần, không có đúng 2 thời điểm tia sáng rọi trúng $P$, nên mệnh đề sai.

Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm $t(s)$ là: $v(t)=s^{\prime }(t)=20-5t$ .
Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh ($t=0(s)$) là:
$v(0)=20-5.0=20(m/s)$ . Ta có: $20m/s=72km/h>70km/h$ .
Suy ra ô tô trên đã chạy quá tốc độ giới hạn cho phép.
Khi xe đứng hẳn, vận tốc $v(t)=0\iff 20-5t=0\iff t=4$ (giây). Do đó, khoảng thời gian xe chuyển động chậm dần đều tính từ lúc phanh đến lúc đứng lại hẳn (nếu không va chạm) là $t\in [0;4]$ .
Khi xảy ra va chạm, ô tô đã đi được 20,4 m kể từ khi đạp phanh nên
$$20,4=20t-\frac{5}{2}{t}^2\iff \{\begin{array}{l}t=1,2\\ t=6,8\end{array}\text{ neˆn }t=1,2(s).$$
Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm $(t=1,2(s))$ là:
$$v(1,2)=20-5\cdot 1,2=14(m/s).$$

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=2t+4$. Tại $t=3$: $v(3)=2\cdot 3+4=10m/s$. Khớp với đáp án B trong bảng đáp án mã đề 1102.