Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $y^{\prime }=3x^2-6x$. b) Đúng: $y^{\prime }(2)=12-12=0$. c) Sai: với $x=0$ thì $y=2\ne 3$, nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị. d) Sai: xe tại điểm $(a;f(a))$ với $f(a)=a^3-3a^2+2$, tiếp tuyến có phương trình $y=(3a^2-6a)(x-a)+a^3-3a^2+2$. Tia sáng hướng theo hoành độ tăng dần nên chỉ chiếu tới $P(0;3)$ khi $a<0$ và $P$ nằm trên tiếp tuyến: thay $x=0$ được $-2a^3+3a^2+2=3\iff 2a^3-3a^2+1=0\iff (a-1{)}^2(2a+1)=0$, cho $a=1$ hoặc $a=-\frac{1}{2}$. Vì tia chiếu về phía hoành độ tăng dần, chỉ $a=-\frac{1}{2}<0$ thỏa (tại $a=1$, điểm $P$ nằm phía sau xe). Vậy chỉ có đúng 1 thời điểm, mệnh đề 'đúng 2 thời điểm' là sai. Khớp bảng đáp án mã đề 1101: 2a=D, 2b=D, 2c=S, 2d=S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x$ đúng theo quy tắc đạo hàm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(2)=3\cdot 4-6\cdot 2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$, $y=2\ne 3$ nên $P(0;3)$ không thuộc đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $(a;a^3-3a^2+2)$ qua $P(0;3)$ khi $2a^3-3a^2+1=(a-1{)}^2(2a+1)=0$, tức $a=1$ hoặc $a=-\frac{1}{2}$. Do tia sáng hướng theo hoành độ tăng dần, chỉ $a=-\frac{1}{2}$ hợp lệ, nên chỉ có 1 thời điểm chứ không phải 2.

Vận tốc tức thời của ô tô tại thời điểm $t(s)$ là: $v(t)=s^{\prime }(t)=20-5t$ .
Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi đạp phanh ($t=0(s)$) là:
$v(0)=20-5.0=20(m/s)$ . Ta có: $20m/s=72km/h>70km/h$ .
Suy ra ô tô trên đã chạy quá tốc độ giới hạn cho phép.
Khi xe đứng hẳn, vận tốc $v(t)=0\iff 20-5t=0\iff t=4$ (giây). Do đó, khoảng thời gian xe chuyển động chậm dần đều tính từ lúc phanh đến lúc đứng lại hẳn (nếu không va chạm) là $t\in [0;4]$ .
Khi xảy ra va chạm, ô tô đã đi được 20,4 m kể từ khi đạp phanh nên
$$20,4=20t-\frac{5}{2}{t}^2\iff \{\begin{array}{l}t=1,2\\ t=6,8\end{array}\text{ neˆn }t=1,2(s).$$
Vận tốc tức thời của ô tô ngay khi xảy ra va chạm $(t=1,2(s))$ là:
$$v(1,2)=20-5\cdot 1,2=14(m/s).$$

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=2t+4$. Tại $t=3$: $v(3)=2\cdot 3+4=10m/s$. Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1101.

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 1: giải $f(x)=1\iff x^3-3x^2+1=1\iff x^2(x-3)=0\iff x=0$ hoặc $x=3$.
$y=f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
- Tại $x=0$: $f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0$ → tiếp tuyến: $y=1$.
- Tại $x=3$: $f(3)=1$, $f^{\prime }(3)=27-18=9$ → tiếp tuyến: $y=9(x-3)+1=9x-26$.
Vậy có hai tiếp tuyến: $y=1$ và $y=9x-26$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0=1$ là $f^{\prime }(1)$. Với $f(x)=2x^2$ ta có $f^{\prime }(x)=4x$, nên $f^{\prime }(1)=4$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=1$ có hệ số góc âm (đường thẳng đi xuống từ trái qua phải), nên $f^{\prime }(1)<0$. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ có hệ số góc dương (đường thẳng đi lên từ trái qua phải), nên $f^{\prime }(2)>0$. Do đó $f^{\prime }(1)<f^{\prime }(2)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(2)=8-8+1=1$ và $f^{\prime }(x)=3x^2-4x$ nên $f^{\prime }(2)=12-8=4$. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 2 là $y=4(x-2)+1=4x-7$, tức $a=4,b=-7$. Vậy $a+2b=4+2(-7)=-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x$.

Tại $x_0=-1$:
- Tung độ tiếp điểm: $y_0=(-1{)}^3-3(-1{)}^2+2=-1-3+2=-2$.
- Hệ số góc: $y^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2-6(-1)=3+6=9$.

Phương trình tiếp tuyến:
$$y=y^{\prime }(-1)(x-x_0)+y_0=9(x+1)-2=9x+7.$$

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=9x+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=2t-1$. Tại $t=2$: $v(2)=2\cdot 2-1=3(m/s)$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vật chạm đất khi $h(t)=0$: $24,5t-4,9t^2=0\Rightarrow t(24,5-4,9t)=0\Rightarrow t=0$ (lúc phóng) hoặc $t=5$ giây. Vận tốc là $v(t)=h^{\prime }(t)=24,5-9,8t$. Tại $t=5$: $v(5)=24,5-9,8\cdot 5=24,5-49=-24,5$ m/s (dấu âm do vật đi xuống). Vậy tốc độ của vật khi chạm đất là $24,5$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến của $y=\ln x$ tại điểm có tung độ bằng 1: hoành độ $x_0$ thỏa $\ln x_0=1\Rightarrow x_0=e$, tiếp điểm $(e;1)$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{x}$, hệ số góc $k=y^{\prime }(e)=\frac{1}{e}$. Phương trình tiếp tuyến: $y=\frac{1}{e}(x-e)+1=\frac{x}{e}$ (vì $\frac{1}{e}(x-e)+1=\frac{x}{e}-1+1=\frac{x}{e}$). Vậy $y=\frac{x}{e}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=1$: $y(1)=\frac{1}{3}+1-2+1=\frac{1}{3}$, đúng bằng tung độ điểm $M$. Đạo hàm $y^{\prime }=x^2+2x-2$ nên $y^{\prime }(1)=1+2-2=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=\frac{1}{3}+1\cdot (x-1)=x-\frac{2}{3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-3$. Tại $x=2$: $y^{\prime }(2)=3\cdot 4-3=9$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ là $9$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln x+1$ xác định với $x>0$. Tại $x=1$: $y=\ln 1+1=1$, nên tiếp điểm là $(1;1)$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{x}$, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại $x=1$ là $k=y^{\prime }(1)=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y=k(x-1)+y_0=1\cdot (x-1)+1=x$. Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ xác định tại $x_0=2$. Tọa độ tiếp điểm: $y_0=\frac{2+1}{2-1}=3$, tức điểm $T(2;3)$.

Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$. Tại $x_0=2$: $y^{\prime }(2)=\frac{-2}{1}=-2$.

Phương trình tiếp tuyến: $y=y^{\prime }(2)(x-2)+y_0=-2(x-2)+3=-2x+7$.

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=-2x+7$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x$, $y^{\prime }(1)=-3$. Tiếp tuyến: $y=-3(x-1)-2=-3x+1$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến vuông góc với Δ: y=9x−4 nên hệ số góc a = −1/9. Ta có f'(x) = −1/(x+1)². Giải −1/(x₀+1)² = −1/9 ⟹ (x₀+1)² = 9 ⟹ x₀ = 0 hoặc x₀ = −2. Với x₀ = 0: y₀ = 1, tiếp tuyến d₁: y = −(1/9)x + 1. Với x₀ = −2: y₀ = −1, tiếp tuyến d₂: y = −1 − (1/9)(x+2) = −(1/9)x − 11/9. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn: y = −(1/9)x + 1 và y = −(1/9)x − 11/9.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3(x-2)-(3x+5)}{(x-2{)}^2}=\frac{-11}{(x-2{)}^2}$ với $x\ne 2$. Tiếp tuyến $(d)$ song song với $(\Delta ):y=-11x+2$ nên hệ số góc $k=-11$. Giải $\frac{-11}{(x-2{)}^2}=-11\iff (x-2{)}^2=1\iff x=1$ hoặc $x=3$.
- Với $x_0=1$: $y_0=f(1)=\frac{3+5}{-1}=-8$, tiếp tuyến: $y=-8-11(x-1)=-11x+3$.
- Với $x_0=3$: $y_0=f(3)=\frac{9+5}{1}=14$... kiểm tra lại: $f(3)=\frac{14}{1}=14$, tiếp tuyến: $y=14-11(x-3)=-11x+47$.
Vậy có hai tiếp tuyến: $y=-11x+3$ và $y=-11x+47$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{-1/3\}$. $y^{\prime }=\frac{(-2)(3x+1)-3(-2x+3)}{(3x+1{)}^2}=\frac{-11}{(3x+1{)}^2}$. Tiếp tuyến vuông góc với $(\Delta ):y=\frac{16}{11}x$ nên hệ số góc $a=-\frac{11}{16}$. Giải $\frac{-11}{(3x+1{)}^2}=-\frac{11}{16}\iff (3x+1{)}^2=16\iff 3x+1=\pm 4\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{5}{3}$. Với $x=1$: $y=\frac{-2+3}{3+1}=\frac{1}{4}$, tiếp tuyến $y=-\frac{11}{16}(x-1)+\frac{1}{4}=-\frac{11}{16}x+\frac{15}{16}$. Với $x=-\frac{5}{3}$: $y=\frac{10/3+3}{-4}=-\frac{19}{12}$, tiếp tuyến $y=-\frac{11}{16}\left(x+\frac{5}{3}\right)-\frac{19}{12}=-\frac{11}{16}x-\frac{131}{48}$. Vậy có hai tiếp tuyến: $y=-\frac{11}{16}x+\frac{15}{16}$ và $y=-\frac{11}{16}x-\frac{131}{48}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\frac{3x-1}{x+5}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-5\}$. Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{3(x+5)-(3x-1)}{(x+5{)}^2}=\frac{16}{(x+5{)}^2}$. Đường thẳng $(d):y=-\frac{1}{4}x+7$ có hệ số góc $-\frac{1}{4}$, nên tiếp tuyến $(\Delta )$ vuông góc với $(d)$ có hệ số góc $k=4$. Giải $f^{\prime }(x)=4\iff \frac{16}{(x+5{)}^2}=4\iff (x+5{)}^2=4\iff x=-3$ hoặc $x=-7$ (đều thuộc TXĐ).
- Với $x_0=-3$: $y_0=\frac{-9-1}{2}=-5$, tiếp tuyến: $y=4(x+3)-5=4x+7$.
- Với $x_0=-7$: $y_0=\frac{-21-1}{-2}=11$, tiếp tuyến: $y=4(x+7)+11=4x+39$.
Vậy có hai tiếp tuyến: $({\Delta }_1):y=4x+7$ và $({\Delta }_2):y=4x+39$.