Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-x^2+3x-3$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-2x+3$, $f^{\prime \prime }(x)=6x-2$.
a) Sai. Định nghĩa đạo hàm tại $x_0=-3$ là $f^{\prime }(-3)=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{f(x)-f(-3)}{x-(-3)}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{f(x)-f(-3)}{x+3}$, không phải $x-3$.
b) Đúng. $f^{\prime }(4)=3\cdot 16-8+3=43$ và $f^{\prime }(-2)=3\cdot 4+4+3=19$, nên $f^{\prime }(4)>f^{\prime }(-2)$.
c) Sai. $f^{\prime \prime }(-3)=6\cdot (-3)-2=-20\ne -15$.
d) Sai. Giao điểm của $(C)$ với trục hoành: $x^3-x^2+3x-3=(x-1)(x^2+3)=0\Rightarrow x=1$. Tiếp tuyến tại $(1;0)$: $f^{\prime }(1)=3-2+3=4$, nên $y=4(x-1)=4x-4\ne 3x-3$.
Kết quả khớp bảng đáp án SĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định nghĩa đạo hàm tại $x_0=-3$ phải có mẫu $x-(-3)=x+3$, không phải $x-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-2x+3$; $f^{\prime }(4)=43>19=f^{\prime }(-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=6x-2$ nên $f^{\prime \prime }(-3)=-20\ne -15$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục hoành là $x=1$ (vì $x^3-x^2+3x-3=(x-1)(x^2+3)$); tiếp tuyến tại đó là $y=4x-4\ne 3x-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Với $f(x)=\sqrt{6x+4}$: $f(0)=\sqrt{4}=2$, $f(2)=\sqrt{16}=4$. Do đó $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{6x+4}-2}{x}$ và $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{6x+4}-4}{x-2}$. Kiểm tra từng phương án: A sai vì tử số phải là $\sqrt{6x+4}-2$ chứ không phải $\sqrt{6x+4}-4$; B sai vì $f(2)=4$ nên tử số phải là $\sqrt{6x+4}-4$; C sai vì tử số phải là hiệu $\sqrt{6x+4}-4$; D đúng vì khớp hoàn toàn với định nghĩa đạo hàm tại $x=0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $V(t)=5000{\left(1-\frac{t}{40}\right)}^2$, $0\le t\le 40$. Theo định nghĩa trong đề, lưu lượng $Q=V^{\prime }(t)=5000\cdot 2\left(1-\frac{t}{40}\right)\cdot \left(-\frac{1}{40}\right)=-250\left(1-\frac{t}{40}\right)$ lít/phút (giá trị âm vì thể tích giảm). Trong thực tế, lưu lượng nước chảy ra được hiểu là tốc độ dòng chảy — một đại lượng dương bằng $|Q(t)|=250\left(1-\frac{t}{40}\right)$ lít/phút. Đây chính là quy ước nhất quán của đáp án nguồn (trang 8, PHẦN II, Câu 2: SĐSS).
a) $V(30)=5000{\left(1-\frac{30}{40}\right)}^2=5000\cdot \frac{1}{16}=312,5$ lít $>300$ lít, nên khẳng định 'còn lại ít hơn 300 lít' là Sai.
b) Lưu lượng sau 5 phút: $|Q(5)|=250\left(1-\frac{5}{40}\right)=250\cdot \frac{35}{40}=218,75$ lít/phút → Đúng.
c) $Q(10)=-187,5$ lít/phút về dấu đại số, nhưng lưu lượng nước chảy (đại lượng dương) là $187,5$ lít/phút, không phải $-187,5$ lít/phút → Sai theo quy ước lưu lượng dương.
d) Bể chảy hết $\frac{3}{4}$ tức còn $V=1250$ lít: $5000{\left(1-\frac{t}{40}\right)}^2=1250\Rightarrow 1-\frac{t}{40}=\frac{1}{2}\Rightarrow t=20$ phút. Khi đó lưu lượng là $|Q(20)|=250\cdot \frac{1}{2}=125$ lít/phút (dương), không phải $-125$ lít/phút → Sai theo quy ước lưu lượng dương.
Đáp án nguồn (trang 8, PHẦN II, Câu 2): SĐSS — nhất quán với quy ước lưu lượng là tốc độ dòng chảy dương.
a) (AI giải đề cho tôi)
V(30)=312,5 lít > 300 lít nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Lưu lượng sau 5 phút là 218,75 lít/phút → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lưu lượng (đại lượng dương) sau 10 phút là 187,5 lít/phút, không phải −187,5 lít/phút → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi bể còn 1/4 (t=20 phút), lưu lượng là 125 lít/phút (dương), không phải −125 lít/phút → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+36t+1$ trên $[0;18]$. Đây là parabol bậc hai với đỉnh tại $t=\frac{-36}{2(-3)}=6\in [0;18]$. Vận tốc lớn nhất: $v(6)=-3(36)+36(6)+1=-108+216+1=109$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn 109.

Trả lời: 2. Gọi $M(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. $$y=\sqrt{2x+1}\Rightarrow y^{\prime }=f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$$ Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=-3x+2$ nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng $\frac{1}{3}$ $$\iff f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{3}\iff \frac{1}{\sqrt{2x_0+1}}=\frac{1}{3}\iff x_0=4\Rightarrow y_0=3$$ $$\Rightarrow \text{PTTT: }y=\frac{1}{3}(x-4)+3=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$$ Suy ra $a=\frac{1}{3},b=\frac{5}{3}\Rightarrow P=2$.

Đáp án: ĐĐSĐ. a) Đúng. Quãng đường vật đi được sau 3 giây là $S(3)=-2.3^3+24.3^2+9.3-3=186$ (m). b) Đúng. Vận tốc chuyển động của vật được xác định theo công thức $v(t)=s^{\prime }(t)=-6t^2+48t+9$. c) Sai. Ta có $v^{\prime }(t)=-12t+48$; $v^{\prime }(t)=0\iff t=4$. Từ đó ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Từ thời điểm bắt đầu chuyển động đến thời điểm $t=4$ giây, vật chuyển động nhanh dần. Từ thời điểm $t=4$ giây đến thời điểm $t=10$ giây, vật chuyển động chậm dần. d) Đúng. Trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc của vật được tính bởi $v(t)=s^{\prime }(t)=-6t^2+48t+9=-6(x-4{)}^2+105\le 105$. Do đó, vận tốc lớn nhất của vật là 105 (m/s) đạt được tại thời điểm $t=4$ (s).
a) Đúng. Quãng đường vật đi được sau 3 giây là $S(3)=-2.3^3+24.3^2+9.3-3=186$ (m).
b) Đúng. Vận tốc chuyển động của vật được xác định theo công thức $v(t)=s^{\prime }(t)=-6t^2+48t+9$.
c) Sai. Ta có $v^{\prime }(t)=-12t+48$; $v^{\prime }(t)=0\iff t=4$. Từ đó ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Từ thời điểm bắt đầu chuyển động đến thời điểm $t=4$ giây, vật chuyển động nhanh dần. Từ thời điểm $t=4$ giây đến thời điểm $t=10$ giây, vật chuyển động chậm dần.
d) Đúng. Trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc của vật được tính bởi $v(t)=s^{\prime }(t)=-6t^2+48t+9=-6(x-4{)}^2+105\le 105$. Do đó, vận tốc lớn nhất của vật là 105 (m/s) đạt được tại thời điểm $t=4$ (s).

Ta có: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-3t+10$. Khi vận tốc của vật đạt $20m/s$ ta có: $$t^2-3t+10=20\iff t^2-3t-10=0$$ $$\iff \left[\begin{array}{c}t=5\\ t=-2\end{array}\right].$$ Vì $t>0$ nên nhận $t=5(s)$. Lúc đó quãng đường vật đi được là: $s(5)-s(0)=\frac{337}{6}-2\approx 54,2m$. Đáp án: 54,2

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2+6t+1$. Tại $t=5$: $v(5)=3\cdot 25+6\cdot 5+1=75+30+1=106$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn 106.

Nguồn lời giải (trang 9) được viết cho điểm $A(2;5)$, khác với đề bài $A(2;3)$ trên trang 6: a) Ta có $f^{\prime }(x)=2x+1$; b) Tính được hệ số góc của tiếp tuyến $f^{\prime }(2)=5$; Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm $A(2;5)$ là $y=f^{\prime }(2).(x-2)+5\iff y=5.(x-2)+5\iff y=5x-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2+2t+3$. Tại $t=3$: $v(3)=9+6+3=18$ (m/s). Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 102.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 101 (trang 7): Phần II Câu 1 là SĐĐĐ, tức a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Lưu ý: về mặt toán học, ý a) có vẻ đúng vì f'(x)=1 cho 3x²−4x=0 có hai nghiệm x=0 và x=4/3 (hai tiếp tuyến song song với y=x), mâu thuẫn với đáp án nguồn S; tuy nhiên đáp án nguồn được giữ nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2+4t+3$. Tại $t=6$: $v(6)=3\cdot 36+4\cdot 6+3=108+24+3=135$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn 135.

Nguồn lời giải (trang 9) được viết cho điểm $A(2;5)$, khác với đề bài $A(2;3)$ trên trang 3: a) Ta có $f^{\prime }(x)=2x+1$; b) Tính được hệ số góc của tiếp tuyến $f^{\prime }(2)=5$; Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm $A(2;5)$ là $y=f^{\prime }(2).(x-2)+5\iff y=5.(x-2)+5\iff y=5x-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=2t^2-2t+3$. Tại $t=5$: $v(5)=2\cdot 25-10+3=43$ (m/s). Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 101.

$f(x)=x^3-3x^2+4x+3\Rightarrow f^{\prime }(x)=3x^2-6x+4$.

Gọi $x_0$ là hoành độ của tiếp điểm.

Ta có: $f(x_0)=x_0^3-3x_0^2+4x_0+3=5\iff x_0^3-3x_0^2+4x_0-2=0\iff x_0=1$.

$f^{\prime }(1)=3.1^2-6.1+4=1$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+4x+1$ tại điểm có tung độ bằng 5 là $y=1(x-1)+5\iff y=x+4$.

(AI giải đề cho tôi)
[Lời giải do AI cung cấp, không phải lời giải gốc trong đề] Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=4t+3$ (m/s). Tại $t_0=2$: $v(2)=4\cdot 2+3=11$ (m/s). Vậy đáp án A (đơn vị trong đề ghi $m/s^2$ nhưng bản chất là vận tốc m/s). Khớp bảng đáp án nguồn: Phần I câu 7, mã đề 1102 = A.

$f(x)=x^3-3x^2+4x+3\Rightarrow f^{\prime }(x)=3x^2-6x+4$.

Gọi $x_0$ là hoành độ của tiếp điểm.

Ta có: $f(x_0)=x_0^3-3x_0^2+4x_0+3=5\iff x_0^3-3x_0^2+4x_0-2=0\iff x_0=1$.

$f^{\prime }(1)=3.1^2-6.1+4=1$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+4x+1$ tại điểm có tung độ bằng 5 là $y=1(x-1)+5\iff y=x+4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=4t+3$ (m/s). Tại $t_0=2$: $v(2)=4\cdot 2+3=11$ m/s. Chọn A. (Lời giải do AI cung cấp; đáp án A khớp bảng đáp án nguồn, Phần I câu 6, mã đề 1101 = A. Lưu ý: đề nguồn in đơn vị phương án là m/s², tuy nhiên đơn vị đúng của vận tốc là m/s.)

(AI giải đề cho tôi)
s(t)=t^3-3t^2+4t nên v(t)=s'(t)=3t^2-6t+4 (m/s). a) Sai vì thiếu số hạng +4. b) v(3)=27-18+4=13 m/s, đúng. c) v(t)=3(t-1)^2+1 >= 1, min =1 tại t=1, đúng. d) a(t)=v'(t)=6t-6<0 khi t<1, đúng. Khớp đáp án mã đề 112: SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=s'(t)=3t^2-6t+4 (m/s), không phải 3t^2-6t (thiếu +4).
b) (AI giải đề cho tôi)
v(3)=3.9-6.3+4=27-18+4=13 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=3(t-1)^2+1 >= 1 với mọi t>=0, giá trị nhỏ nhất bằng 1 m/s tại t=1.
d) (AI giải đề cho tôi)
a(t)=v'(t)=6t-6<0 khi t<1.