Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=gt=9,8t$. Tại $t=3$: $v(3)=9,8\cdot 3=29,4m/s$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+5$. Tại $t=3$: $v(3)=3\cdot 9-6\cdot 3+5=27-18+5=14$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=6t+5$. Tại $t=2$: $v(2)=6\cdot 2+5=17$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời: $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t-9$, với $t\in [0;5]$. Xét $v^{\prime }(t)=-6t+12=0\Rightarrow t=2$. Ta có $v(0)=-9$, $v(2)=-12+24-9=3$, $v(5)=-75+60-9=-24$. Vậy $\max v(t)=v(2)=3$, tức $M=3$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ tăng nhiệt độ là đạo hàm $f^{\prime }(t)=2t+1$. Tại $t=5(s)$: $f^{\prime }(5)=2\cdot 5+1=11$. Vậy tốc độ tăng nhiệt độ tại thời điểm $t=5(s)$ là $11{}^{0}C/s$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục tọa độ: gốc $O$ tại trung điểm $AB$ trên mặt đất, trục $Ox$ nằm ngang, trục $Oy$ thẳng đứng qua đỉnh cổng. Khi đó $A(-20;0)$, $B(20;0)$, đỉnh cổng $(0;24)$. Parabol có dạng $y=a{x}^2+24$. Thay điểm $B(20;0)$: $400a+24=0\Rightarrow a=-0,06$. Vậy $y=-0,06x^2+24$, với $x\in [-20;20]$.

Độ dốc tại điểm hoành độ $x$ là góc $\alpha$ giữa tiếp tuyến và phương ngang, với $\tan \alpha =|y^{\prime }|=0,12|x|$.

Độ dốc tối đa đạt tại chân cổng $x=\pm 20$: $\tan {\alpha }_{max}=0,12\cdot 20=2,4$.

Suy ra ${\alpha }_{max}=\arctan (2,4)\approx 67,38^{\circ }\approx 67^{\circ }23^{\prime }$.

Vậy độ dốc tối đa của cổng gần đúng bằng $67,4^{\circ }$ (khoảng $67^{\circ }$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^4+x$ có đạo hàm $y^{\prime }=4x^3+1$. Kiểm tra điểm $A(-1;0)$ thuộc đồ thị: $(-1{)}^4+(-1)=1-1=0$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $x=-1$ là $k=y^{\prime }(-1)=4(-1{)}^3+1=-4+1=-3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
h(t)=-t^2+8t. a) h(3)=-9+24=15 (m), không phải 14 → Sai. b) v(t)=h'(t)=-2t+8, không phải -2t-8 → Sai. c) v(2)=-4+8=4 (m/s) → Đúng. d) v(t)=0 ⇔ t=4 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
h(3)=-3^2+8·3=15 (m) ≠ 14 (m).
b) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=h'(t)=-2t+8 (m/s), không phải -2t-8.
c) (AI giải đề cho tôi)
v(2)=-2·2+8=4 (m/s).
d) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=-2t+8=0 ⇔ t=4 (giây).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-4t+6$ (m/s). Tại $t=2$: $v(2)=4-8+6=2$ (m/s).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Do đó đáp án D. Các phương án A, B, C sai vì mẫu số không phải là $x-x_0$ (A, B dùng $x+x_0$; C dùng tử $f(x+x_0)-f(x_0)$ không đúng định nghĩa).

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc tiếp tuyến tại $P(x_0;f(x_0))$ chính là đạo hàm $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ (định nghĩa đạo hàm qua giới hạn tỷ số hiệu). Do đó đáp án A. Các phương án B, C, D không đúng định nghĩa này.

(AI giải đề cho tôi)
Vật chạm đất khi $h(t)=0$: $10-4,9t^2=0\Rightarrow t^2=\frac{10}{4,9}\Rightarrow t=\sqrt{\frac{10}{4,9}}\approx 1,4286$ giây.

Vận tốc tức thời là $v(t)=h^{\prime }(t)=-9,8t$. Tại thời điểm chạm đất:
$$v=-9,8\cdot \sqrt{\frac{10}{4,9}}=-9,8\cdot \frac{\sqrt{98}}{7}=-14\text{(m/s)}.$$

Dấu âm chỉ chiều rơi xuống, nên độ lớn vận tốc (tốc độ) của vật khi chạm đất là $14$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x$. Tiếp tuyến song song với $y=9x+7$ nên hệ số góc $k=9$, tức $3x^2-6x=9\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$.

- Với $x_0=3$: $y_0=27-27+2=2$, tiếp tuyến: $y=9(x-3)+2=9x-25$.
- Với $x_0=-1$: $y_0=-1-3+2=-2$, tiếp tuyến: $y=9(x+1)-2=9x+7$.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn: $y=9x-25$ và $y=9x+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-2x$. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 nên $3x^2-2x=1\iff 3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Vì điểm $M$ có hoành độ dương nên $x_0=1$, khi đó $y_0=1^3-1^2+10=10$, tức $M(1;10)$. Phương trình tiếp tuyến: $y=1\cdot (x-1)+10=x+9$. Vậy $y=x+9$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(11)=\underset{x\to 11}{\lim }\frac{f(x)-f(11)}{x-11}=12$. Giới hạn này chỉ cho biết đạo hàm của $f$ tại điểm $x=11$ bằng 12, không kết luận được $f^{\prime }(x)$ bằng hằng số nào với mọi $x$, cũng không nói gì về $f^{\prime }(12)$. Do đó khẳng định đúng là $f^{\prime }(11)=12$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1145, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xe chuyển động chậm dần đều: v(t)=25-5t, dừng khi v(t)=0 ⟹ t=5 s. a) Chuyển động chậm dần đều nên vận tốc trung bình = (25+0)/2 = 12,5 m/s → đúng. b) Quãng đường = v₀²/(2|a|) = 625/10 = 62,5 m (hoặc ∫₀⁵(25-5t)dt = 62,5) → đúng. c) v(t)=v₀+at = 25-5t → đúng. d) Xe dừng tại t=5 s (giây thứ 5), không phải giây thứ 4 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chuyển động chậm dần đều nên v_tb = (v₀+v)/2 = (25+0)/2 = 12,5 m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường đến lúc dừng: s = v₀²/(2|a|) = 25²/(2·5) = 62,5 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
v(t) = v₀ + at = 25 - 5t (m/s), đúng với t từ 0 đến 5 s.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi v(t)=0 ⟹ t = 25/5 = 5 s, tức giây thứ 5 chứ không phải giây thứ 4.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+36t+1$. Tại $t=1$: $v(1)=-3(1{)}^2+36(1)+1=-3+36+1=34$ m/s. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2x(x-1)=2x^2-2x$. Tính $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=2(x+\Delta x{)}^2-2(x+\Delta x)-(2x^2-2x)=2x^2+4x\Delta x+2(\Delta x{)}^2-2x-2\Delta x-2x^2+2x=4x\Delta x+2(\Delta x{)}^2-2\Delta x$. Do đó tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x(4x+2\Delta x-2)}{\Delta x}=4x+2\Delta x-2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(3)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=2$. Giới hạn này chỉ cho biết đạo hàm của $f$ tại điểm $x=3$ bằng 2, không kết luận được $f^{\prime }(x)$ với mọi $x$ hay giá trị $f^{\prime }(2)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý cơ bản: nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f$ liên tục tại $x_0$. Thật vậy, từ $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$ tồn tại, ta có $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)-f(x_0))=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot 0=0$, tức $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Vậy phát biểu C đúng. Phát biểu A và D sai: đạo hàm một bên (trái hoặc phải) tồn tại không kéo theo tính liên tục, ví dụ $f(x)=1$ với $x\ge 0$, $f(x)=0$ với $x<0$ có đạo hàm phải tại $0$ bằng $0$ nhưng gián đoạn tại $0$. Phát biểu B sai vì có đạo hàm tại $x_0$ chỉ bảo đảm liên tục tại $x_0$, không nói gì về điểm $-x_0$.