Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2x$ nên $f^{\prime }(2)=4=a$. Tiếp tuyến: $y=4(x-2)+4=4x-4$, vậy $b=-4$. Do đó $a-b=4-(-4)=8$.

$y=f(x)=0,0001x^2-0,2x+10000$

+ $y^{\prime }=f^{\prime }(x)=0,0002x-0,2$.

+ Tại $x_0=\sqrt{6}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(\sqrt{6}\right)\approx -0,1995\to A\\ B=f\left(\sqrt{6}\right)-A.x_0\approx 9999,9994\end{array}$

+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=A.x+B$ với $A\approx -0,1995$ và $B\approx 9999,994$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(x_0;y_0)$ với $y_0=f(x_0)$ có hệ số góc bằng đạo hàm $f^{\prime }(x_0)$ và đi qua điểm $M(x_0;y_0)$. Theo phương trình điểm - hệ số góc: $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Đây chính là đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0;y_0)$ với $y_0=f(x_0)$ có hệ số góc $k=f^{\prime }(x_0)$ và đi qua điểm $M(x_0;y_0)$, nên phương trình là $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$. Điều này khớp với đáp án B (đáp án trong bảng mã đề 101 cho câu 7 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x$ bởi $1-x$ trong $2f(x)+f(1-x)=x^2+2x-1$ ta được $2f(1-x)+f(x)=(1-x{)}^2+2(1-x)-1=x^2-4x+2$. Hệ hai phương trình: $2f(x)+f(1-x)=x^2+2x-1$ và $f(x)+2f(1-x)=x^2-4x+2$. Nhân phương trình thứ hai với 2 rồi trừ phương trình thứ nhất: $3f(x)=2(x^2-4x+2)-(x^2+2x-1)=x^2-8x+3$, suy ra $f(x)=\frac{x^2-8x+3}{3}$... kiểm tra lại: thực hiện trừ theo hướng khác, từ phương trình thứ nhất $f(1-x)=x^2+2x-1-2f(x)$, thay vào thứ hai: $f(x)+2(x^2+2x-1-2f(x))=x^2-4x+2\Rightarrow -3f(x)=x^2-4x+2-2x^2-4x+2=-x^2-8x+4$, nên $f(x)=\frac{x^2+8x-4}{3}$. Khi đó $f^{\prime }(x)=\frac{2x+8}{3}$, do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x+2)-f(2)}{x}=f^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 2+8}{3}=\frac{12}{3}=4$. Kết quả khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}=120-\frac{400}{t+5}$ với $t\ge 0$, nên $v(t_0)=f^{\prime }(t_0)=\frac{400}{(t_0+5{)}^2}$.
a) $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=120$, vậy về lâu dài dân số xấp xỉ 120 nghìn người. Đúng.
b) $v(5)=\frac{400}{10^2}=4$ (nghìn người/năm). Đúng.
c) $f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người). Đúng.
d) Với $t\in [0;9]$: $v(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}\ge 2\iff (t+5{)}^2\le 200\iff t\le 10\sqrt{2}-5\approx 9,14$. Vì $9<9,14$ nên trên $[0;9]$ luôn có $v(t)\ge 2$. Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1101: aĐ bĐ cĐ dĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(120-\frac{400}{t+5}\right)=120$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=f^{\prime }(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$, nên $v(5)=\frac{400}{100}=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người).
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)\ge 2\iff t\le 10\sqrt{2}-5\approx 9,14$, do đó với mọi $t\in [0;9]$ ta có $v(t)\ge 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=6t+2$. Tại $t_0=4$: $v(4)=6\cdot 4+2=26$ (m/s). Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm, $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=f^{\prime }(3)=4$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_0(x_0;f(x_0))$ có dạng $y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$. Kiểm tra: tại $x=x_0$ ta được $y=f(x_0)$, đúng đi qua $M_0$; hệ số góc là $f^{\prime }(x_0)$, đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+6t+1$ với $t\ge 0$. Xét $v^{\prime }(t)=-6t+6=0\Rightarrow t=1$. Vì $v(t)$ là parabol bậc hai có nhánh hướng xuống nên đạt giá trị lớn nhất tại $t=1$: $v(1)=-3+6+1=4$ (m/s). Vậy vận tốc tức thời lớn nhất bằng $4$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=2\sqrt{x}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ với $x>0$. Tại $x_0=1$: $f^{\prime }(1)=\frac{1}{\sqrt{1}}=1$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=1$ bằng $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=-\frac{3}{2}{t}^2+6t$ với $t\ge 0$. Xét $f(t)=-\frac{3}{2}{t}^2+6t$, hàm parabol bậc hai với đỉnh tại $t=\frac{-6}{2\cdot (-3/2)}=2$. Trên $[0;2]$ hàm đồng biến, sau đó nghịch biến, nên vận tốc lớn nhất đạt tại $t=2$ giây, $v_{\max }=v(2)=-6+12=6$ (m/s). Quãng đường đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm đó là $s(2)=-\frac{1}{2}\cdot 8+3\cdot 4+20=-4+12+20=28$ (m). Vậy quãng đường cần tính là $28$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ thay đổi cân nặng là đạo hàm $w^{\prime }(t)=3\cdot 0,000758t^2-2\cdot 0,0596t+1,82=0,002274t^2-0,1192t+1,82$. Hai năm tuổi tương ứng $t=24$ tháng. Khi đó $w^{\prime }(24)=0,002274\cdot 576-0,1192\cdot 24+1,82=1,309824-2,8608+1,82=0,269024\approx 0,269$ (pound/tháng). Vậy tại thời điểm 2 năm tuổi, cân nặng của bé tăng với tốc độ khoảng $0,269$ pound mỗi tháng.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^2+2x$. a) Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm, $f^{\prime }(1)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$, mệnh đề đúng. b) $f^{\prime }(x)=2x+2$, đúng. c) $f^{\prime }(3)=2\cdot 3+2=8\ne 6$, mệnh đề sai. d) Tại $x_0=1$: $f(1)=3$, $f^{\prime }(1)=4$, tiếp tuyến $y=4(x-1)+3=4x-1$, mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa đạo hàm của $f$ tại điểm $x=1$: $f^{\prime }(1)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=x^2+2x$ là đa thức nên $f^{\prime }(x)=2x+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(3)=2\cdot 3+2=8\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x_0=1$: $f(1)=1+2=3$, $f^{\prime }(1)=4$. Tiếp tuyến: $y=4(x-1)+3=4x-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3+1$. a) Theo định nghĩa đạo hàm tại điểm $x_0=2$: $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$, đúng. b) $f^{\prime }(x)=3x^2\ne x^2$, sai. c) $f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2=3\ne -1$, sai. d) Tại $x_0=2$: $f(2)=9$, $f^{\prime }(2)=12$, tiếp tuyến $y=12(x-2)+9=12x-15\ne 12x-3$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2$, không phải $x^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2=3\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=9$, $f^{\prime }(2)=12$ nên tiếp tuyến là $y=12(x-2)+9=12x-15\ne 12x-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5: $f(x)=x^2+2$.
a) Đúng theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ (hàm đa thức nên tồn tại với mọi $x_0$).
b) $f^{\prime }(x)=2x$ đúng.
c) $f^{\prime }(3)=2\cdot 3=6$ đúng.
d) Tại $x_0=1$: $f(1)=3$, $f^{\prime }(1)=2$, tiếp tuyến $y=2(x-1)+3=2x+1$ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa đạo hàm của hàm số tại $x_0$; vì $f$ là đa thức nên đạo hàm tồn tại với mọi $x_0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(x^2+2{)}^{\prime }=2x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(3)=2\cdot 3=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x_0=1$: $f(1)=3$, hệ số góc $f^{\prime }(1)=2$, nên tiếp tuyến là $y=2(x-1)+3=2x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$. Tại $x_0=0$: $f^{\prime }(0)=\frac{-2}{(0-1{)}^2}=-2$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=2\sqrt{x}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ với $x>0$. Tại $x_0=1$: $f^{\prime }(1)=\frac{1}{\sqrt{1}}=1$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=1$ bằng $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{x}$, suy ra $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$. Tại $x_0=-1$: $f^{\prime }(-1)=-\frac{1}{(-1{)}^2}=-1$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=4t+5$. Tại $t=4$: $v(4)=4\cdot 4+5=21$ (m/s).