Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm): Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ (nếu giới hạn này tồn tại). Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu $x+x_0$; D sai vì giới hạn $x\to -x_0$ không phù hợp. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm: $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. So sánh với các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu là $x+x_0$; D sai vì $x\to -x_0$. Chỉ phương án B đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t)=S^{\prime }(t)=3t^2-4t+4$. Tại $t=3$: $v(3)=3\cdot 9-4\cdot 3+4=27-12+4=19$ (m/s). Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=3$ là $19\text{m/s}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(x-2)-x}{(x-2{)}^2}=\frac{-2}{(x-2{)}^2}$, xác định với $x\ne 2$. Tiếp tuyến song song với $d:y=-2x+1$ nên hệ số góc $k=-2$. Giải $\frac{-2}{(x-2{)}^2}=-2\iff (x-2{)}^2=1\iff x=1$ hoặc $x=3$.
- Với $x_0=1$: $y_0=f(1)=\frac{1}{-1}=-1$, tiếp tuyến: $y=-1-2(x-1)=-2x+1$.
- Với $x_0=3$: $y_0=f(3)=\frac{3}{1}=3$, tiếp tuyến: $y=3-2(x-3)=-2x+9$.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn: $y=-2x+1$ và $y=-2x+9$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-2x^2+2x+4$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x$ là $k(x)=-2x^2+2x+4$, một hàm bậc hai với $a=-2<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{-2}{2\cdot (-2)}=\frac{1}{2}$, khi đó $k_{\max }=-2\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$.

Tính tung độ tiếp điểm: $y\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{4}+2-2=-\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$.

Phương trình tiếp tuyến: $y=\frac{9}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{6}=\frac{9}{2}x-\frac{9}{4}+\frac{1}{6}=\frac{9}{2}x-\frac{25}{12}$.

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất là $y=\frac{9}{2}x-\frac{25}{12}$, tiếp xúc tại điểm $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$ với hệ số góc $\frac{9}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi (Câu 1, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm): Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)$. Theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu $x+x_0$; D sai vì giới hạn lấy $x\to -x_0$ thay vì $x\to x_0$. Chỉ phương án B đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi (Câu 1, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm): Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)$. Mệnh đề nào sau đây đúng? Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm: $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Xét các phương án: A sai vì mẫu số là $x+x_0$ thay vì $x-x_0$; C sai vì tử số là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu là $x+x_0$; D sai vì giới hạn lấy $x\to -x_0$ thay vì $x\to x_0$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi (Câu 1, Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm): Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)$. Theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu $x+x_0$; D sai vì giới hạn $x\to -x_0$ (đây là công thức sai, giới hạn phải tiến tới $x_0$). Chỉ phương án B đúng với định nghĩa.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm): Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu $x+x_0$; D sai vì $x\to -x_0$. Chỉ phương án B đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm). Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ (nếu giới hạn tồn tại). Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu $x+x_0$; D sai vì giới hạn lấy $x\to -x_0$ (không phải định nghĩa đạo hàm tại $x_0$). Chỉ phương án B đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu hỏi trắc nghiệm trên trang 20 là Câu 1 (Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm): Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)$. Theo định nghĩa, $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu là $x+x_0$; D sai vì giới hạn $x\to -x_0$. Chỉ phương án B đúng với định nghĩa đạo hàm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm): Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Kiểm tra các phương án: A sai vì mẫu là $x+x_0$; C sai vì tử là $f(x)+f(x_0)$ và mẫu $x+x_0$; D sai vì giới hạn $x\to -x_0$ (phải là $x\to x_0$). Chỉ phương án B đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^2+7x+4$. a) $f(5)=25+35+4=64$ nên ${\lim }_{x\to 5}\sqrt{f(x)}=\sqrt{64}=8\ne 7$ → sai. b) $f$ liên tục tại $x=1$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=f(1)=1+7+4=12\ne -2$ → sai. c) Vận tốc tức thời tại $x_0=5$ là $f^{\prime }(5)=2\cdot 5+7=17$ m/s $\ne 16$ → sai. d) ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{x^2+7x+4}{x^2}={\lim }_{x\to -\infty }\left(1+\frac{7}{x}+\frac{4}{x^2}\right)=1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(5)=64$ nên ${\lim }_{x\to 5}\sqrt{f(x)}=\sqrt{64}=8\ne 7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f$ liên tục nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=f(1)=12\ne -2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $f^{\prime }(x_0)=2x_0+7$, tại $x_0=5$ là $17$ m/s, không phải 16 m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -\infty }\frac{f(x)}{x^2}={\lim }_{x\to -\infty }\left(1+\frac{7}{x}+\frac{4}{x^2}\right)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-2025$. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $a$: $y=(3a^2-2025)(x-a)+a^3-2025a$. Phương trình hoành độ giao điểm với $(C)$: $x^3-2025x=(3a^2-2025)x-2a^3+2025a\iff x^3-3a^{2}x+2a^3=0\iff (x-a{)}^2(x+2a)=0$. Vậy giao điểm khác $M$ có hoành độ $x_{k+1}=-2x_k$. Với $x_1=1$ ta được $x_n=(-2{)}^{n-1}$. Điều kiện $2025x_n+y_n+2^{2025}=0$ với $y_n=x_n^3-2025x_n$ trở thành $x_n^3+2^{2025}=0\Rightarrow x_n=-2^{675}$. Do đó $(-2{)}^{n-1}=-2^{675}\Rightarrow n-1=675\Rightarrow n=676$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=x^3-2025x$, $y^{\prime }=3x^2-2025$. Tiếp tuyến tại điểm hoành độ $x_0$: $y=(3x_0^2-2025)(x-x_0)+x_0^3-2025x_0$. Phương trình hoành độ giao điểm với $(C)$: $x^3-2025x=(3x_0^2-2025)(x-x_0)+x_0^3-2025x_0$. Rút gọn: $x^3-3x_0^{2}x+2x_0^3=0=(x-x_0{)}^2(x+2x_0)$. Vậy giao điểm khác có hoành độ $x_{k+1}=-2x_k$. Suy ra $x_n=(-2{)}^{n-1}{x}_1=(-2{)}^{n-1}$. Điều kiện $2025x_n+y_n+2^{2025}=0$ với $y_n=x_n^3-2025x_n$ cho $x_n^3+2^{2025}=0$, tức $x_n^3=-2^{2025}$, nên $x_n=-2^{675}$. Do đó $(-2{)}^{n-1}=-2^{675}\Rightarrow n-1=675\Rightarrow n=676$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của tọa độ: $v(t)=y^{\prime }(t)=3t^2-12$. Tại $t=8$: $v(8)=3\cdot 64-12=192-12=180$ m/s. Kết quả khớp với đáp án nguồn (180).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}=120-\frac{400}{t+5}$. a) $f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người) → Đúng. b) $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=120$ → Đúng. c) $v(t_0)=f^{\prime }(t_0)=\frac{400}{(t_0+5{)}^2}$, nên $v(5)=\frac{400}{100}=4$ (nghìn người/năm) → Đúng. d) Với $t\in [0;10]$, $v(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$ giảm và đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=10$: $v(10)=\frac{400}{225}=\frac{16}{9}\approx 1,78<2$, nên tốc độ tăng không luôn $\ge 2$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)Đ - b)Đ - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(120-\frac{400}{t+5}\right)=120$ (nghìn người).
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=f^{\prime }(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$, nên $v(5)=\frac{400}{100}=4$ (nghìn người/năm).
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$ giảm trên $[0;10]$, giá trị nhỏ nhất $v(10)=\frac{16}{9}\approx 1,78<2$, nên không luôn $\ge 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(6)=\underset{x\to 6}{\lim }\frac{f(x)-f(6)}{x-6}=2$. Vậy $f^{\prime }(6)=2$, chọn đáp án D.